基于GM（1,1）模型的繞陽河流域豐水年預測

王 垠

（遼寧省阜新水文局，遼寧 阜新 123000）

1982 年我國控制論專家鄧聚龍教授提出了灰色系統理論，該理論一經提出后便在國際上引起了極大的關注。其主要觀點是把隨機量看作在一定范圍內變化的灰色量，盡管這些灰色量間存在著無規則的干擾因子，但經過處理后總能發現其規律性。它是一種獨特的預測方法，一般表達方式為GM(1，1)，即表示利用n 階微分方程對x 個變量所建立的模型，在原始數據量較少時具有優勢。目前，灰色理論已經廣泛地應用于農業科學、經濟管理、水利水電、生命科學等各學科，灰色預測是灰色系統應用的范疇之一。灰色預測是通過鑒別系統因素之間發展趨勢的相異程度，即進行關聯分析，并對原始數據進行生成處理來尋找系統變動的規律，生成有較強規律性的數據數列，然后建立微分方程模型，從而預測事務未來發展趨勢的狀況。常見的灰色模型有GM（1,1）、GM（2,1）、DGM 和Verhulst，其中后三者適用于非單調的擺動序列或有飽和的S型序列，而GM（1，1）模型適用于具有較強指數規律的序列，因此，在灰色預測中，GM（1,1）灰色模型是最常用的模型[1]。目前，GM（1,1）模型廣泛應用于水文數據預測方面的研究中，如杜小剛、原文林等人應用改進GM（1,1）模型對某站的徑流量做出中長期預測[2]；李東奎、冮行久應用灰色模型對柳河流域的干旱年進行模型建立及預測[3]；李建峰,吳愛祥等人利用GM（1,1）模型對某邊坡工程降雨量進行模型建立及預測[4]。

1 灰色系統的GM（1,1）預報模型

GM（1,1）主要形式是將離散的隨機數經過依次累加成算子，削弱其隨機性，得到較有規律的生成數，然后建立微分方程，解方程進而建立模型。其模型建立具體方法如下：

將X（0）設定為原始時間序列，則X（0）可生成序列X（0）=X（0）（k）（k=1，2，3……n），設X（1）為生成序列，則X（1）=X（1）（k）（k=1，2，3……n）。根據GM（1,1）模型概念將離散的隨機數經過依次累加成算子，當增加濾掉信息時，X（0）和X（1）之間關系為由于上式為隨機數據的累加形式滿足指數分布，故可得關于X（1）的微分方程。本文將X（1）看為關于時刻t 的連續函數，X（1）=X（1）（t），建立GM（1，1）模型：

式中：α 和μ 為模型參數。

由（1）式可得X（1）的離散的預測數列：

通過數列計算確定α 和μ 值后，按模型進行遞推即可求得預測的累加數列，通過檢測后，再進行累減，即可得到預測值。本文均為等時間，間隔Δt=1，因此，ΔX（1）（t）=μ+αX（1）（t），前差Δf 和后差Δb 分別為：

由（5）按最小二乘法原則可以求出（2）式的系數矩陣：

2 GM（1,1）模型的應用

2.1 繞陽河流域豐水年預測模型建立

繞陽河發源于遼寧省阜新市阜蒙縣扎蘭營子鄉駱駝山,境內河長114 km，境內流域面積3669.1 km2，流域形狀呈扇形。其主要支流有羊腸河、東沙河、二道河、葦塘河等。本流域地勢多屬丘陵，西高東低，植被稀疏,水土流失嚴重。該流域降雨時空分布不均，屬暴漲暴落河流，多年平均降雨量為439.8 mm，多年平均蒸發量為1746 mm。該區域四季分明，雨熱同季，日照豐富，干燥多風，因自然地理條件不同，氣候差異顯著。流域內有韓家杖子水文站，位于繞陽河上游，該斷面以上流域內包括阜蒙縣的鶩歡池鎮、建設鎮、塔營子鄉、平安地鎮，彰武縣的哈爾套鎮和四堡子鎮部分地區。本文采用流域內韓家杖子水文站1951 年～2018 年降雨資料，利用GM（1,1）模型對本流域的豐水年進行預測。韓家杖子水文站歷年降雨量見圖1。

圖1 韓家杖子站歷年降水量過程線圖

根據韓家杖子水文站降雨資料，本文以大于600 mm 的年份作為豐水年，建立表1。其中X（0）為洪水年份在時間序列中的排列位數，X（1）為其排列位數累加項。

表1 豐水年對象表

按式（7）、式（8）得：

2.2 模型精度檢驗

2.2.1 后驗差檢驗

后驗差檢驗，即對殘差分布的統計特性進行檢驗。后驗差檢驗是按照精度檢驗C（后驗差）和P（小誤差概率）兩個指標進行檢驗。

其中e（0）（t）=x（0）（t）-x（0）（t），t=1，2，…，n 為殘差數列。

3）計算后驗差比值

后驗差檢驗要求指標C 越小越好，C 指標越小表示S1越大而S2越小；指標P 越大表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.6745S1的點越多。其精度等級可以根據表2 判斷。

表2 GM（1,1）模型精度表

所有的Δ（t）均小于0.6745S1，因此可以判斷，P=1＞0.95，C=0.12＜0.35，模型精度為好，計算模型合格。殘差具體計算過程見表3。

表3 殘差檢驗表

2.2.2 關聯度檢驗

關聯度即是在預測值與累加值（或還原值與原始值）之間，計算其接近程度。關聯度大，精度較高，反之則差。對GM（1,1）模型做關聯度檢驗，可以以x0（k）作為參考系列，與x1（k）作關聯度分析。關聯系數計算利用如下公式：

其中X0（k）為參考數列的第k 個取值，Xi（k）為比較數列第k 個取值，ρ∈[0,1]為分辨系數，一般取ρ=0.5。

根據表3 殘差檢驗表，由于i=1，所以：

因此根據公式（9）：ξ（1）=1；ξ（2）=0.5201；ξ（3）=0.9092；ξ（4）=0.3333。

3 繞陽河流域豐水年預測

根據模型計算，當k=5 時，x1（5）=94.5338，還原數據x0（5）=44.5862；還原數據減去原點年份數據，則第五次洪水發生年份為第四次豐水年份后的第15 年，即1994 年。根據韓家杖子雨量站歷年降雨量數據，1994 年雨量為751 mm，降雨量大于600 mm，符合實際情況。

當k=6 時，x1（6）=156.7934，還原數據x0（6）=62.2596；還原數據減去原點年份數據，即預測第六次豐水發生年份為第4 次豐水年份后的第33 年，即2012 年。根據韓家杖子雨量站歷年降雨量數據，2012 年雨量為632.1 mm，降雨量大于600 mm，符合實際情況。

4 結語

根據預測結果，預測數值與實際情況相符，可以看出對繞陽河流域洪水年模型的建立是合理的。這對該流域降雨特點的研究提供極大的便利條件，為今后該流域水文監測預警機制提供數據支撐。GM(1,1）模型在水文數據預測中的適用面十分廣泛，本文主要是對韓家杖子流域洪水年進行模型建立并進行豐水年預測，同樣可以適用于各區域干旱年、徑流量等方面預測。但GM（1,1）模型的建立還存在一定局限性，有時會產生誤差較大、數據選取不合理等方面問題，因此在應用中要注意數據處理、精度檢驗等方面問題。