線電荷與帶有垂直低脊的接地導體薄圓筒所形成的電場及其數值模擬（下）

殷 勇， 王福謙

（西南交通大學希望學院，成都610400）

0 引 言

文獻［1-8］中分別運用鏡像法和保角變換法分析了接地薄圓筒內線電荷的電場，而線電荷與帶有低脊的接地導體薄圓筒所形成的電場的研究，還未見相關文獻報道。為此，本文擬通過保角變換法討論線電荷帶有多條垂直低脊的接地導體薄圓筒所形成的電場，給出其電勢分布函數，并利用數學軟件Matlab 對其場分布進行數值模擬，繪制出電場線和等勢線（面）圖。

1 電勢分布函數

半徑為1 的無限長接地導體薄圓筒外表面帶有n條高度等于a 的導體低導體脊與圓筒表面垂直。一電荷線密度為λ 的均勻荷電線平行于圓筒軸線放置且到圓筒中心O距離為d。因在垂直于圓筒軸線（或荷電線）的所有平面上電場的分布均相同，故所求的電場為平行平面場，可取任一截面為復平面z，圓筒及線電荷在該復平面上的位置如圖1 所示（此圖為n = 3的情形）。以圓筒截面圓心為原點建立坐標系，討論電勢和場強在該復平面上的分布。為方便地求出圓筒外部的電勢分布，可作如下的保角變換［9］：

此變換消去了圓筒外壁上的低脊，將帶有低脊的圓筒變換為光滑圓筒，并將線電荷的位置由z 平面上的z0= d處，變換到ζ平面上的ζ0= d0處。d0的數值由下式給出：

變換后的情形如圖2 所示。

圖1 帶有三條低脊的薄圓筒與線電荷的橫截面

圖2 變換后的接地薄圓筒與線電荷的橫截面

對于垂直于圓筒外表面的低脊數目n = 3 的情形，式（1）、（2）的具體形式為：

式（3）、（4）可將z平面上的帶有3 條垂直于圓筒外壁低脊的接地圓筒變換為不帶低脊的光滑圓筒，并將線電荷的位置由z平面上的z0= d位置，變換到ζ平面上的ζ0= d0位置。

下面由導體圓柱面鏡像法［10-12］求ζ平面上的電勢分布。如圖3 所示，對于ζ平面上的場點P（ξ，η），位于（d0，0）處線電荷λ 和位于（d′，0）（d′ = R2/ d0=1 / d0）處的像電荷λ′（λ′ = - λ）在此處產生的電勢為：

設復函數z = x + iy，則ζ（z）= ξ（x，y）+ iη（x，y），由式（3）、（4）得：

圖3 由導體圓柱面鏡像法計算電勢分布

式中：A = x3- 3x2y + 1；B = x3- 3x2y - 1；C = 3x2y - y3。

將式（6）中的ξ和η的值代入式（5），即得線電荷與帶有3 條垂直低脊的接地導體薄圓筒所形成的電場的電勢分布為：

線電荷與帶有多條垂直脊的接地薄導體圓筒所形成的電場，也可用上述方法計算。

2 場分布的數值模擬

為了給出線電荷與帶有多條低脊的接地薄圓筒導體所形成電場的電場分布的直觀圖像，并檢驗本文研究結果的正確性，下面通過式（1）、（2）及（5），利用數學軟件Matlab［13-15］繪制出的線電荷與帶有低脊的接地薄圓筒導體所形成電場的電場線等勢線（面）圖，其中線電荷的密度λ = 0.5 C / m、電勢φ0= 5 V。

圖4（a）～（c）為接地導體薄圓筒外表面低脊數目分別為3、4、5 時，線電荷與帶有低脊的接地薄導體圓筒所形成電場的電場和等勢線（面）圖。由圖4（a）～（c）可見，當低脊的高度及線電荷到導體薄圓筒的距離均一定時，低脊的數目不同，其對電場的分布影響不同；圖4（d）～（f）為接地導體薄圓筒外表面低脊的數目一定時，線電荷與帶有低脊的接地薄導體圓筒所形成電場的電場線等勢線（面）圖。由圖4（d）～（f）可見，圓筒外部的電場，受其表面上的低脊高度的影響較大，低脊的高度越大，對線電荷電場的聚集作用越強；當低脊消失時，其外部的電場分布又回到線電荷與接地導體圓筒所形成電場的情形［16］（見圖4（g）），此為必然結果。以上各場圖中的電場線垂直于導體表面和等勢線，場線分布特征均科學合理，為預期結果。這說明本文所研究方法正確，結論可靠。

圖4 線電荷與帶有低脊的接地薄導體圓筒所形成的電場

3 研究方法的適用范圍

因為變換函數式（1）僅適用于低脊的間距較大且其高度很低的情形，當低脊的數目過大，以至于相鄰低脊的間距很小，或低脊的高度較高時，帶有低脊的接地薄導體圓筒所形成電場不能應用本文給出的方法進行研究，也就是說，本文的研究方法僅適合于低脊的間距較大且高度很小的情形。

4 結 語

本文將理論分析與計算機數值模擬相結合，研究了線電荷與帶有多條低脊的接地薄導體圓筒所形成的電場，給出其電勢及場強分布的解析解，并利用Matlab軟件對其進行數值模擬，實現了場分布的可視化，為邊界復雜的靜電場邊值問題的求解提供了一種思路與方法，在科研和教學上也具有一定的參考價值。