微分方程教學中強化建模思想的探討
——2016 全國大學生數學建模競賽題啟示

王利東， 張運杰， 高 紅

（大連海事大學理學院，遼寧大連116026）

0 引 言

微分方程是科學研究與生產實踐中強有力的工具，涉及物理、天文、醫學、經濟學、生物學、通信工程、航空航天技術等領域的眾多問題都可以歸為微分方程的求解［1］。基于微分方程的實際問題建模與求解的過程主要通過研究問題背景、簡化假設、分析內在規律等工作的基礎上，建立模型來對具體現象進行機理分析、計算和檢驗［2］。上述步驟往往需要計算機編程技術來輔助進行，并且通過直觀的圖形來對具體問題進行深入分析。因此，在微分方程教學中融入數學建模思想和實際案例教學手段，不僅有助于學生更好地掌握相關的理論知識，而且能提升學生對實際問題的分析、建模、表述、求解的能力。

盡管案例教學引起廣大教師關注與使用，在課堂效果上已經取得一定的效果，但對于實踐活動還處于展示與觀看階段，沒有達到引導學生親自建模實踐的目標。通過幾年來的教學實踐和數學建模競賽指導，發現學生還不能夠靈活應用模型和根據實際問題將模型進行擴展。結合2016 年全國大學生數學建模競賽答題情況和高等數學中相關知識點，對現在微分方程教學中出現的問題進行分析、并給出相應的對策，以此促進學生的應用數學意識和建模與求解的能力。

1 賽題啟示與課程改革的必要性

微分方程是一種用來描述事物發展過程的數學語言工具，可以刻畫對象特征隨時間或空間的演變過程。微分方程已成為機理分析的重要工具，也是數學建模競賽的重點題型之一。2016 年全國大學生數學建模競賽A題以近淺海觀測網傳輸節點布局為背景，在已知浮標、鋼管、鋼桶、重物球、電焊錨鏈等重要組件信息及海水深度、風力、流速等外界環境數據基礎上，要求學生確定相關組件信息來使得系統能夠在風速、水速的極端情況下及海水深度變化的情況下能夠正常工作［3］。

1.1 賽題對教學的啟示

賽題參考解答中將錨鏈、鋼桶、鋼管都簡化為柔軟的繩索，利用懸掛重物的3 段懸鏈線來求解，其中涉及懸鏈線方程推導［3］。此方程恰好在同濟大學出版社出版的第7 版《高等數學（上冊）》第324 頁例4 中出現過，過程如下［4］：

在最低點（見圖1）為A 點，取y 軸通過點A 鉛直向上。記曲線的方程為y = y（x），現考察曲線上A 到P（x，y）點間的一段弧AP，設其長為s.假定繩索的線密度ρ，則弧AP所受重力為ρgs。θ是該點切線與x軸的夾角。通過分析AP 段兩個方向力的平衡問題，可有：

圖1 鏈線的受力情況

求解上述降階型的微分方程可借助于Matlab內部函數dsolve 來實現：dsolve（D2y = 1 / a * sqrt（1 +（Dy）^2），y（x0）= a，Dy（x0）= 0 ，x）。上述求解過程將問題背景、實際問題推導、教材上的例題有機結合起來。

在上述懸鏈線求解中，有幾個特殊的假設：①曲線質地均勻；②在A點處的切線方向與x軸平行。然而這些假設條件限制模型在實際問題中應用。例如在2016 全國數學建模賽題中需要建立錨鏈被全部拉起的數學模型，即A點處的切線與x 軸有一角度。實際需要尋求一個通用的模型來描述懸鏈線狀態。因此，僅僅簡單記住書本的公式不能完全解決具體問題，有必要掌握建模思想在已有知識基礎上建立符合實際需要的數學模型。此時，微元法建模思想就可以發揮作用，依據局部分析得到整體的規律。

關于降階型的微分方程，在數學建模中還有其他應用案例。例如，經典的數學建模案例——緝私艇追擊走私船問題：海上邊防緝私艇發現距c km處有一走私船正以勻速a沿直線行駛，緝私艇立即以最大速度b追趕，在雷達的引導下，緝私艇的方向始終指向走私船，見圖2。

圖2 追擊路線示意圖

假定走私船初始位置在點（0，0），行駛方向為y軸正方向，緝私艇的初始位置在點C（c，0），緝私艇行駛的路程為s。在時刻t：走私船的位置到達點M0（0，at），緝私艇到達點M（x，y）.通過建立關系式有：

進而將上述關系式轉化為y″ = f（x，y）型的微分方程：

進一步還可以通過數值模擬探討不同的速度對追趕時間的影響。這些模型的建立和求解不僅可以讓學生認識到微分方程的實用性，更能從實際問題求解中鍛煉學生的建模意識和動手編程能力。因此，在實際教學中適當增加與有關實際應用的微分方程模型介紹、改進，這樣將對今后的學習和工作會產生深遠的影響。

1.2 教學改革的必要性

從當年本校學生競賽情況看，部分學生未能根據具體問題加以分析建模。這也反映出實際教學中的一些薄弱環節。盡管多種教學改革模式被不斷提出來促進教學效果，其中包括案例教學、將數學建模思想嵌入到微分方程教學中。但是，隨著課時數調整，章節的學時數減少，再加上統一考試等因素使得部分知識點只能一帶而過。事實上，該題涉及的y″ = f（x，y′）型微分方程建模與應用在教學中僅要求了解。教師重點關注學生求解運算能力，未能充分將數學建模思想以及學科的前沿知識滲透到教學各環節中［5］。

由于微分方程具有較為廣泛的應用性，若在教學中缺乏學生的積極主動參與、配合，將無法達到培養建模意識和創新人才的目標。因此，在微分方程教學中，應在教學內容設置與教學方式上高度融入建模思想，在課后和課程結束后持續進行創新指導，達到在現有課時下讓學生既能打下扎實的理論基礎，又能動手實踐對實際問題建模、求解和分析的目的［5］。

2 課程改革的建議及應采取的對策

在微分方程原有教學體系下，有目的地將工程領域的實際問題作為案例引入到課上，體現用常微分方程知識求解實際問題的全過程；在課后進一步拓展課外實踐教學，開展擴展問題的自我學習。

2.1 案例實驗教學資源的建設

注重搜集與整理一些與建模競賽、后續課程和生產實際中有關的微分方程模型，并融于課堂教學中，開闊學生視野、提升他們的學習興趣。從歷屆數學競賽看，利用微分方程來建立具體模型的題經常出現，例如：2003 年SARS 傳播預測的數學模型［6］，2014 年嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略［7］，2018 年高溫作業專用服裝設計［8］等。在現實生活中微分方程應用也隨處可見，兩根電線桿間垂下來的電線、帶著露珠的蜘蛛網線、拱橋等均涉及懸鏈線方程；謠言傳播、藥物吸收、計算機病毒傳播、土壤和大氣污染均可以通過建立微分方程進行傳播機理分析［9-11］。不經意間，微分方程建模、科研以及平凡的生活巧妙而無縫聯結在一起。為培養建模能力和創新思維，除了會利用力學、物理、化學等學科中的定理或規律等來建立微分方程模型外，還要對具體問題加以具體分析、建模、編程和求解。從問題的不同角度分析找出相應變量的變化規律和等量關系來建立微分方程。因此，除了課上展示微分方程應用案例外，更需要基于已學的理論知識設計一些課外開放問題，要將教學和科研、生成需要有效地結合起來，讓學生自主編程并廣泛參與到建模活動中。

此外，產教融合是高校基于社會需求的人才培養模式，它通過學校或院系組織，與教學相關的企業合作，協同育人，達到學生、學校和企業“利益”同增長，全面促進高素質人才的培養。在產教融合的模式下，以產業需求為導向，學習者為中心，集專業理論與實踐、認知與探索為一體。在社會情境中進行專業實踐，以實際案例學習的方式，讓學生深刻體會到社會的需求，綜合科學、技術、工程、藝術和數學等方面的知識，培養學習者跨學科解決問題的能力、團隊協作能力及敢于創新能力。借鑒產教融合的模式，讓高校的人才培養方案和學科建設符合社會和產業的需求，也充分通過案例教學調動學習的主體學生的內在興趣，自覺地去認識與體驗，發揮自身的創意思維和創造能力。

2.2 課后創新學習與實踐

創新能力和意識是個人發展和成長的必備素質，對培養學生創新能力和意識來說，重要的是要協調好人才培養過程中“共性”與“個性”之間的矛盾。課堂教學要遵循教學大綱，過多引入實際建模案例對按時完成教學任務和學生普遍接受度都是一種挑戰。隨著人工智能時代的來臨，教學資源不斷豐富，為實現學生的個性發展創造了優越的條件。結合個性發展來培養專業技能，這也將成為個人發展的前進動力和社會發展的重要推動力量。打造網絡教學平臺能夠避免少學時下知識點理解不到位的情形，搭建理論學習與實踐鍛煉的橋梁，實現立體式教學，從而激發學生自我學習的興趣與創造欲。在微分方程教學之后，針對興趣愛好者可以進一步與創新活動相結合，針對實際需求來進行建模、求解與分析，以科研活動的形式體會微分方程知識在求解實際問題中的應用。

學科競賽是促進高等教育教學改革的平臺，它將激發實踐教學改革中新型的實踐教學手段及方法，為建立具有實踐特色的創新人才培養模式注入強勁動力，促進創新人才培養質量［12］。在課程結束后，可以通過數學建模選修課繼續加強基于微分方程的建模學習與實踐，也可以通過興趣班的形式繼續進行鼓勵他們以個人或團隊方式申報創新創業類項目，鼓勵學生參加相關學科競賽、參加本科生走進實驗室項目來融入教師研究團隊進行學術研究。以此讓學生接觸到微分方程建模新用途、新方向，讓“微分方程”課程結束的時間成為學生開始深入鉆研的開始，充分培養理論與實踐的能力［13］。

2.3 課程考評與師生角色的轉變

著重課后實踐教學改革的同時，也要注重課程考核評價辦法進行相應的調整。課程考核要注重全面，既要考核理論知識的學習能力，也要考核學生解決實際問題的創新實踐能力。實際操作中，可以利用單個或多個方式綜合來進行，如：調整平時分、撰寫論文等方式，督促學生動手實踐，達到提升學生的創新實踐能力。在這樣環境下，學生會對學習目標及學習資源的選擇有一定的自主權，在解決問題的同時又進行了知識上的學習，個性化發展與專業技能同時得到提升，這屬于深度學習。

培養建模能力與創新思維過程中，實施以學為中心的教學模式，強調學生的主體地位。教師不再是課堂的主導者，而是課上教學和課后實踐活動過程的引導者、參與者；同時，學生接受知識過程也不再是被動的狀態，而是主動、積極和探索的行為，從自己興趣愛好、職業規劃和掌握的基礎知識程度出發，按照自己的方式進行創新實踐［14］。為了培養學生的建模能力與探究創新精神，除了營造創新與探究的氛圍，教師在教學過程中可借鑒“翻轉課堂”轉換師生角色、更新教學理念，結合線上與線下提供多種學習資源，體現個性化的教學和學習［15］。通過鼓勵學生獨立思考和大膽猜測，尊重學生的興趣和愛好，激發學生的創新潛能及思想火花，這樣和諧、平等、民主的師生關系和學習氛圍為學生創造性思維的養成，創新探究能力的培養創造了良好的環境。

3 結 語

本文通過2016 年全國數學建模競賽的A 題“懸浮線模型在系泊系統設計中的應用”解答過程與高等數學相關知識點結合情況進行分析，探討了培養微分方程建模能力的重要性。針對教學中的問題，在課堂教學和課后實踐兩方面提出相關的建議，以此途徑增強學生對知識的求知欲及其創新精神，潛移默化地培養他們的建模素養，這必將有益于他們的未來職業發展。