基于時變Markov的DCC-GARCH模型最小風險套期保值研究

王 佳，金 秀，王 旭，李 剛

(1.東北大學秦皇島分校經濟學院，河北 秦皇島 066004；2.東北大學工商管理學院，遼寧 沈陽 110819；3.河北環境工程學院經濟學院，河北 秦皇島 066102)

1 引言

期貨市場作為金融市場的重要組成部分，主要通過套期保值策略實現風險轉移功能。由于期貨價格和現貨價格變化趨勢基本相同，持有現貨頭寸的交易者在期貨市場通過調整期貨頭寸進行反向的對沖交易來實現套期保值，從而將價格穩定在目標水平以達到規避系統性風險的目的。套期保值理論的核心問題就是確定最優套期保值比率。傳統的完全套期保值策略要求套期保值比率為1∶1，即期貨合約必須與持有的現貨數量相等。但由于存在基差風險，套期保值比率為1的策略可能并不是最優。因此，Ederington[1]在均值-方差框架下，首次利用普通最小二乘法(OLS)提出了最小方差套期保值策略，在一定程度上彌補了傳統完全套期保值策略的不足。

隨著計量經濟學理論的不斷發展，一些學者發現OLS方法忽略了波動集聚性，且該方法估計的最小風險套期保值比率是靜態的。市場中最優套期保值比率應隨著現貨和期貨價格的波動而具有時變特征[2]。因此，有學者提出利用廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)估計的動態最優套期保值策略更符合實際，此后GARCH族模型被廣泛應用于套期保值的研究中[3-4]。Chang等[5]分別利用CCC-GARCH和BEKK-GARCH模型研究牛市和熊市下能源期貨市場的套期保值問題，并得出結論CCC-GARCH模型的套期保值績效優于BEKK-GARCH模型。Zhou Jian[6]進一步利用具有動態相關系數的DCC-GARCH模型研究標準普爾全球REIT指數和REIT指數期貨的套期保值問題，并證明了DCC-GARCH模型能夠估算出比CCC-GARCH模型更準確的套期保值比率。Basher等[7]利用DCC、非對稱DCC(ADCC)和GO-GARCH模型研究新興市場股票、原油、波動指數VIX、黃金和債券間的套期保值問題，并得出結論，在度量股票與原油、VIX或債券間的套期保值時，ADCC模型最優，在度量股票與黃金間的套期保值時，GO-GARCH模型最優。

然而隨著對GARCH模型的不斷深入研究，許多學者認為GARCH模型也存在一定的缺陷，即波動率具有高持續性，歷史波動率的變化對當前及未來波動率具有持續性的影響。因此，GARCH模型不能準確地刻畫資產價格經歷的大波動狀態和小波動狀態[8]。基于此，一些學者考慮波動率對狀態的依賴性，在GARCH模型中引入Markov狀態轉移機制構建基于Markov的GARCH模型(MRS-GARCH)，分別從理論和實證方面探究狀態轉移特征對于提高套期保值比率的準確性和套期保值績效所起的作用。Markopoulou等[9]將ARMA、ARMA-GARCH、ARFIMA、Markov和HAR模型相結合分別研究標準普爾500指數、富時100指數、歐元/美元匯率、英鎊/美元匯率的最小方差套期保值問題。Su[10]在存在套期成本的條件下將基于Markov的VECM-GARCH模型(MRS-VECM-GARCH)與MRS-VECM、MRS-GARCH、VECM-GARCH和OLS模型在套期保值比率和套期保值績效方面分別進行對比，結果表明，4種模型中沒有任何模型在所有績效指標下都是最優的。Yan Zhipeng和Li Shenghong等[11]利用基于Markov的BEKK-GARCH模型(MRS-BEKK-GARCH)估計滬深300股指期貨的套期保值比率，并將其結果與BEKK-GARCH、OLS估計的結果進行對比，得出結論，MRS-BEKK-GARCH模型的套期保值績效優于其他模型。Philip和Shi等[11]在Billio和Caporin[13]提出的基于Markov的動態條件相關模型(MRS-DCC)基礎上，改進了Billio只在DCC的相關系數參數中引入狀態變量的不足，同時考慮DCC和GARCH中各參數的狀態轉移特征構建MRS-DCC-GARCH模型，研究歐洲碳排放市場的最優套期保值問題，結果表明，考慮狀態轉移的套期保值策略明顯優于單狀態下的套期保值策略。Billio等[14]在貝葉斯框架下構建多元的MRS-GARCH模型研究原油期貨市場的魯棒套期保值問題。

國內學者也對中國期貨市場進行了套期保值研究。謝赤等[15]建立M-Copula-GJR-VaR動態套期保值比率估計模型，并利用中國黃金現貨和期貨市場數據進行實證分析，得出結論，該模型估計的套期保值效果較好。彭紅楓和陳弈等[16]利用MRS-DCC-GARCH模型研究中國銅期貨的最優套期保值比率，結果表明，引入Markov模型能夠提高套期保值績效。余星等[17]分別考慮期貨機會成本和期權預算約束，利用等價鞅測度構建最優期貨和期權套期保值模型。

國內外大部分學者在引入Markov狀態轉移機制研究套期保值問題時，均假設狀態轉移概率保持恒定。Filardo[18]針對金融市場的不確定性提出時變的狀態轉移概率思想，并指出與恒定轉移概率(FTP)相比，時變轉移概率(TVTP)具有更大的靈活性。隨后，一些學者在Filardo的基礎上對基于時變轉移概率的Markov模型進行研究，并得出結論，時變的狀態轉移概率能夠提高Markov模型的預測能力[19-20]。本文研究的滬深300指數期貨和現貨資產的風險均具有隨機不確定性，傳統的恒定狀態轉移模型可能存在一定局限性，不能真實地描述兩指數的隨機波動和時變狀態轉換特征。因此，有必要考慮轉移概率的動態變化，構建基于時變Markov狀態轉移機制的套期保值模型，探究時變轉移概率對滬深300指數期貨的最優套期保值比率和套期保值績效的影響。

本文在Philip等[11]提出的MRS-DCC-GARCH基礎上進行改進，引入時變狀態轉移概率，構建基于時變Markov的DCC-GARCH模型(TVTP- DCC-GARCH)研究最小風險套期保值比率的估計方法，并利用兩階段極大似然法估算模型參數。進一步，以滬深300指數期貨和現貨的實際數據為樣本，分別從樣本內和樣本外估算最小風險套期保值比率，檢驗該模型的套期保值績效。并將檢驗結果與轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH、DCC-GARCH、OLS、1∶1完全套期保值策略以及無套期保值的滬深300指數現貨的績效進行對比研究。

2 研究方法

2.1 基于時變Markov的DCC-GARCH模型構建

本文在Philip 等[11]提出的MRS-DCC-GARCH基礎上進行改進，引入狀態轉移概率的時變特征，構建基于時變Markov的DCC-GARCH套期保值模型(TVTP- DCC-GARCH)。均值方程表示為：

rt=μst+εt,st,εt,st|Ωt-1～N(0,Ht,st)

(1)

其中，rt=(rc,t,rf,t)′表示現貨和期貨的收益率向量，μst=(μc,st,μf,st)′表示現貨和期貨的條件均值收益向量，εst,t=(εc,t,st,εf,t,st)′為均值方程的殘差項，服從均值為0，協方差矩陣為Ht,st的二元正態分布，Ωt-1為t-1時刻前各資產收益的信息集。st={1,2}為不可觀測的狀態變量，服從一階兩狀態Markov過程。借鑒Filardo[18]的思想，某狀態當前時刻的轉移概率應為前期可觀測信息的函數，因此狀態轉移概率是時變的、動態的，為保證轉換概率在0和1之間，建立logistic函數

(2)

(3)

其中，p12,t為t時刻處于狀態1，t+1時刻轉移到狀態2的概率，p21,t為t時刻處于狀態2，t+1時刻轉移到狀態1的概率。a1,b1,a2,b2為不受約束的常數，與其他未知參數一起由極大似然法估計得到。zt-1為t-1時刻的可觀測信息。Viswanath[19]指出，在期貨市場中基差水平在一定程度上可以提供未來價格走勢的信息，能夠對狀態的轉換產生影響。因此，本文將轉換概率看作滯后基差的函數，令zt-1為t-1時刻現貨價格和期貨價格之間的基差。

現貨和期貨收益的協方差矩陣Ht,st具有狀態依賴特征，表示為：

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，θ1,st和θ2,st為DCC參數，ρ為期貨和現貨間的無條件相關系數，ηt=[ηc,t,ηf,t]′為無條件標準化殘差向量，且ηi,t=εi,t/hi,t，i={c,f}。從式(5)-(7)可以看出，除ρ之外，該模型中的各參數均具有狀態轉移特征。由于條件方差對全部歷史數據具有依賴性，使得方程中的條件殘差和方差存在路徑依賴的問題。為解決這一問題，Gary[21]將考慮狀態轉移的條件殘差和方差分別進行重新結合，得到無條件殘差和無條件方差，表達式為：

εc,t=rc,t-E[rc,t|Ωt-1]=rc,t-[π1,tμc,1+π2,tμc,2]

(8)

εf,t=rf,t-E[rf,t|Ωt-1]=rf,t-[π1,tμf,1+π2,tμf,2]

(9)

-(π1,tμc,1+π2,tμc,2)2

(10)

-(π1,tμf,1+π2,tμf,2)2

(11)

其中，πst,t=P(st|Ωt-1)，st={1,2}，為條件狀態概率，表示已知直到t-1時刻的信息，t時刻處于狀態st的概率。

Lee和Yoder[22]在Gary的基礎上進行擴展，提出了解決條件協方差和動態條件相關系數路徑依賴問題的方法，表達式為：

hcf,t=E(rc,trf,t|Ωt-1)-E(rc,t|Ωt-1)E(rf,t|Ωt-1)

=π1,t[μc,1μf,1+hcf,t,1]+π2,t[μc,2μf,2+hcf,t,2]

-(π1,tμc,1+π2,tμc,2)(π1,tμf,1+π2,tμf,2)

(12)

-[π1,tμc,1+π2,tμc,2][π1,tμf,1+π2,tμf,2]}

(13)

由式(1)-(13)可知，TVTP-DCC-GARCH模型中的所有未知參數構成參數集

本文利用兩階段極大似然估計法對參數集Θ中的參數進行估計。

2.2 模型的兩階段極大似然估計

利用兩階段極大似然估計法對TVTP-DCC-GARCH模型進行估計，對數似然函數

(14)

其中，Θ為待估計的參數集。該模型的詳細估計過程為：

① 根據濾波概率P(st-1|Ωt-1)，計算條件狀態概率

(15)

其中，參考文獻[24]，設初始濾波概率π10=P(s0=1|Ω0)=0.5，π20=P(s0=2|Ω0)=0.5。

② 構建狀態依賴的條件密度函數，表達式為：

f(εt|st,Ωt-1)

(16)

③ 根據①的條件狀態概率和②的狀態依賴條件密度函數，構建混合的條件密度函數

(17)

④ 根據③的混合條件密度函數，更新濾波概率

P(st|εt,Ωt-1)=P(st|Ωt)

(18)

⑤ 重復第①～④步，進行濾波迭代，直到樣本結束，得到對數似然函數值

(19)

2.3 最小方差套期保值比率及套期保值有效性度量

假設投資者在t時刻持有1單位的滬深300指數現貨多頭，同時為了規避風險持有bt單位的滬深300指數期貨空頭。t時刻現貨和期貨的收益分別為rc,t和rf,t，則投資者的組合收益

rp,t=rc,t-bt·rf,t

(20)

利用最小方差方法估計套期保值比率，投資組合的方差越小，套期保值策略越優，目標函數為：

(21)

則最小風險下的最優套期保值比率

(22)

其中，hc,t、hf,t和ρcf,t分別為利用式(10)、(11)和(13)估計的值。

為了分析套期保值的有效性，考慮四種不同的度量指標。

第一個指標是風險降低比例(HE)，公式為：

(23)

第二個指標為預期效用值(EU)。借鑒Su[10]的思想，利用均值-方差方法構建效用函數，表達式為：

E[U(rp,t)|Ωt-1]=E[rp,t|Ωt-1]

(24)

其中，E[rpt|Ωt-1]為t時刻套期保值組合的期望收益率，λ表示投資者的風險厭惡系數，通常取值為λ=4[25]。該EU值越大，表明套期保值組合的預期效用越大，該套期保值策略越有效。

第三個指標為Sharp指數，表示單位風險下的超額投資組合收益，表達式為：

(25)

第四個指標為在險價值VaR。套期保值投資組合的VaR值表示在給定置信水平q下，組合的損失M超過臨界值l的概率不大于1-q，表達式為：

VaRq=inf{l∈:P(M>l)≤1-q}

(26)

該指標值越小，表明給定置信水平q下，套期保值組合可能達到的臨界損失越小，該套期保值策略越有效。

3 實證分析

在第2節構建的TVTP-DCC-GARCH模型基礎上，以滬深300指數期貨和現貨的實際數據為樣本，分別從樣本內和樣本外估算最小風險套期保值比率，并檢驗該模型的套期保值績效。進一步，將檢驗結果與轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH、DCC-GARCH、OLS、1∶1完全套期保值策略以及無套期保值的滬深300指數現貨的績效進行對比。

3.1 數據描述及統計性檢驗

本文以滬深300指數期貨和現貨為研究對象，所有數據來自Wind數據庫。滬深300指數現貨價格為每日收盤價。而同一期貨合約在不同交割月具有不同的期貨價格，臨近交割月的期貨合約交易較活躍，遠離交割月的期貨合約交易較少。因此，應選取離交割月較近的期貨合約收盤價作為期貨價格，同時為避免到期日效應，本文選用滬深300指數期貨下月連續(IF01)的日收盤價作為期貨價格。樣本區間為2011年1月4日-2018年4月27日。其中，樣本內區間為2011年1月4日-2015年12月31日，共1214個觀測值，主要用來估計模型參數，比較樣本內各模型的最優套期保值比率和套期保值績效。樣本外區間為2016年1月4日-2018年4月27日，共565個觀測值，主要用來預測樣本外各模型的最優套期保值比率，并檢驗套期保值績效。滬深300指數期貨和現貨的日對數收益率在樣本內和樣本外的描述性統計見表1。

表1 HS300和IF01收益率序列的描述性統計

從表1可以看出，① 滬深300指數收益率和IF01收益率的標準差在樣本內和樣本外區間均存在一定差異，與滬深300指數相比，IF01的波動性較大，這說明傳統1:1的套期保值比率不能在期貨市場上完全規避風險；② 滬深300指數收益率和IF01收益率的J-B正態性檢驗中，p值均為0，說明二者在樣本內和樣本外區間均不服從正態分布；③ ADF平穩性檢驗中，滬深300指數收益率和IF01收益率的p值均為0，說明在樣本內和樣本外兩資產的收益率序列都是平穩的。

圖1為滬深300指數和IF01在整個樣本期的走勢及兩指數間的基差?？梢钥闯觯瑴?00指數和IF01的整體走勢基本相同，說明IF01可以對滬深300指數進行追蹤，能夠通過調整期貨頭寸實現有效的套期保值。在基差走勢中，基差的波動范圍是[-167.6,547.4]，且大部分基差值大于0，滬深300指數處于現貨升水的情況多于現貨貼水。

圖1 HS300和IF01的價格波動及基差走勢

3.2 ARCH效應檢驗

對滬深300指數期貨IF01和現貨的收益率序列分別進行ARCH效應檢驗，檢驗結果見表2。

表2 HS300和IF01的ARCH效應檢驗結果

表2為滬深300指數期貨IF01和現貨的收益率序列的ARCH效應檢驗結果。從表2可以看出，兩收益率序列的ARCH效應檢驗中，p值均為0，說明二者均存在顯著的ARCH效應，可以建立GARCH模型描述兩資產的條件時變波動特征。

3.3 模型的參數估計

利用樣本內數據采用2.2節的兩階段極大似然估計法分別對轉移概率時變的MRS-DCC-GARCH(TVTP-DCC-GARCH)、轉移概率恒定的MRS-DCC-GARCH(FTP-DCC-GARCH)以及DCC-GARCH的參數進行估計，估計結果見表3。

表3 各模型的參數估計結果

從兩種MRS-DCC-GARCH模型的參數估計結果可以看出，① 在條件均值方面，狀態2時HS300和IF01的均值μ2都大于狀態1時的均值μ1，說明狀態2為高收益狀態，狀態1為低收益狀態；② 在條件方差方面，截距項、ARCH項和GARCH項的參數在兩種狀態下均具有不同的取值，且大部分都較為顯著，說明各參數具有明顯的狀態依賴特征；HS300和IF01在狀態2時的γ2都顯著地大于狀態1時的γ1，說明狀態2具有較高的穩態波動，為高波動狀態，狀態1為低波動狀態；③ HS300和IF01在狀態1時的α+β的值均小于狀態2時的值，說明與狀態1相比，狀態2具有較高的波動持續性。以上研究表明，兩模型的參數顯著性較好，利用基于Markov狀態轉移的DCC-GARCH模型對滬深300指數期貨和現貨的套期保值問題進行研究具有一定合理性。

另外，在對數似然值方面，TVTP-DCC-GARCH模型中兩資產的Log(L)值均最小，說明與其他兩模型相比，TVTP-DCC-GARCH模型的擬合效果最佳。

3.4 套期保值比率估計

(1)樣本內的估計結果

分別對TVTP-DCC-GARCH、FTP-DCC-GARCH、DCC-GARCH以及OLS在樣本內的套期保值比率進行估計，結果見圖2。

從圖2可以看出，在三種GARCH模型中，FTP-DCC-GARCH模型在樣本內的套期保值比率波動幅度最大，TVTP-DCC-GARCH模型次之，DCC-GARCH模型的套期保值比率波動幅度最小。OLS的套期保值比率為一恒定值0.7617。

圖2 各模型的套期保值比率(樣本內)

(2)樣本外的預測結果

圖3 各模型的套期保值比率(樣本外)

從圖3可以看出，TVTP-DCC-GARCH和FTP-DCC-GARCH模型在樣本外預測期的套期保值比率的波動幅度與樣本內的結果相比有所降低，DCC-GARCH模型在樣本外預測期的套期保值比率的波動幅度與樣本內的結果相比有所增加。另外，采用滾動窗口方法估計的OLS模型的套期保值比率走勢較平緩，波動幅度最小。

3.5 套期保值有效性比較

在3.4節估計的套期保值比率基礎上，分別對樣本內和樣本外的TVTP-DCC-GARCH、FTP-DCC-GARCH、DCC-GARCH、OLS、1:1完全套期保值以及無套期保值的滬深300指數期貨的套期保值績效進行對比，計算套期保值的有效性指標，包括平均風險降低比例HE、平均預期效用值EU、平均Sharp比率、VaRq(q=95%和90%)，計算結果見表4。

表4 各模型的套期保值有效性比較

(1)樣本內的結果比較

通過對比兩種MRS-DCC-GARCH模型的結果可以看出，在HE值、EU值和Sharp比率方面，TVTP-DCC-GARCH模型的值高于FTP-DCC-GARCH模型的值。在VaR95%和VaR90%方面，TVTP-DCC-GARCH模型的值低于FTP-DCC-GARCH模型的值，即在95%和90%的置信水平下，TVTP-DCC-GARCH模型得到的套期保值組合可能達到的臨界損失低于FTP-DCC-GARCH模型。以上研究表明，與轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH模型相比，考慮時變轉移概率的TVTP-DCC-GARCH模型得到的套期保值組合能夠有效地降低組合風險，減小投資者的風險敞口，并能夠獲得較高的預期效用值和Sharp比率。

通過對比MRS-DCC-GARCH模型與其他模型的結果可以看出，在HE值、EU值和Sharp比率方面，兩種MRS-DCC-GARCH模型的值均高于其他模型的值。在VaR95%和VaR90%方面，兩種MRS-DCC-GARCH模型的值均低于其他模型的值。以上研究表明，與傳統單一狀態的套期保值模型相比，考慮狀態轉移的DCC-GARCH模型得到的套期保值組合能夠有效地降低組合風險，并獲得較高的預期效用值和Sharp比率。

(2)樣本外的結果比較

通過對比兩種MRS-DCC-GARCH 模型的結果可以看出，在HE方面，TVTP-DCC-GARCH模型在樣本外的值與樣本內相比稍微有所降低，但仍高于樣本外FTP-DCC-GARCH模型的值。在EU值和Sharp比率方面，與樣本內的結果相同，TVTP-DCC-GARCH模型的值高于FTP-DCC-GARCH模型的值。在VaR95%和VaR90%方面，與樣本內的結果也相同，TVTP-DCC-GARCH模型的值低于FTP-DCC-GARCH模型的值。以上研究表明，在樣本外預測期，考慮時變轉移概率的TVTP-DCC-GARCH模型的套期保值績效仍然優于轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH模型。

通過對比MRS-DCC-GARCH與其他模型的結果可以看出，在HE值方面，兩種MRS-DCC-GARCH模型的值均高于其他模型的值。在EU值和Sharp比率方面，TVTP-DCC-GARCH模型的值最高，FTP-DCC-GARCH的值均低于DCC-GARCH的值，但仍高于OLS、1:1完全套期保值和無套期保值的滬深300指數現貨的值；在VaR95%和VaR90%方面，TVTP-DCC-GARCH模型的值最低，FTP-DCC-GARCH的值高于DCC-GARCH的值，但仍低于其他模型。以上研究表明，與樣本內的結果稍有不同，在樣本外預測期，與單狀態的DCC-GARCH模型相比，轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH模型的套期保值績效稍微有所降低，但考慮時變轉移概率的TVTP-DCC-GARCH模型的套期保值績效仍然優于其他模型。

綜合樣本內外各模型的套期保值績效結果表明，與傳統轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH、DCC-GARCH、OLS、1:1完全套期保值以及無套期保值的滬深300指數相比，在DCC-GARCH模型中引入時變轉移概率的TVTP-DCC-GARCH模型能夠有效地減少滬深300指數期貨和現貨套期保值組合的風險、提高預期效用和單位風險收益，進而有效地指導套期保值策略的制定，為套期保值者提供比其他傳統模型更優的套期保值績效。

4 結語

本文提出轉移概率時變的TVTP-DCC-GARCH模型研究最小風險套期保值比例的估計方法，并利用兩階段極大似然法對模型參數進行估計。進一步分別從樣本內和樣本外估計滬深300指數期貨的最優套期保值比率，對套期保值的績效進行檢驗，并將檢驗結果分別與轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH、DCC-GARCH、OLS、1:1完全套期保值以及無套期保值的滬深300指數現貨的績效進行對比。得出結論：① 在模型的參數估計方面，各模型的參數顯著性較好，說明利用基于Markov狀態轉移的DCC-GARCH模型對滬深300指數期貨和現貨的套期保值問題進行研究具有一定合理性，且TVTP-DCC-GARCH模型的擬合效果最佳；② 在套期保值的有效性方面，轉移概率恒定的FTP-DCC-GARCH模型在樣本外預測期除了HE指標外，其他績效指標并不能優于DCC-GARCH模型。而轉移概率時變的TVTP-DCC-GARCH在樣本內和樣本外均優于其他模型。以上研究表明，在DCC-GARCH中引入時變狀態轉移概率構建的套期保值模型能夠有效地降低組合風險，提高預期效用，進而有效地指導套期保值策略的制定，為套期保值者提供比其他傳統模型更優的套期保值績效。該研究對于套期保值者充分了解期貨市場的套期保值規律、更有效地規避現貨價格風險具有一定的指導意義。

今后的研究方向可以從行為金融學的角度，引入投資者的損失厭惡和后悔厭惡等心理特征，分析投資者的心理因素對套期保值策略和套期保值績效的影響。另外，金融市場具有隨機不確定特征，也可以考慮將模糊不確定性引入套期保值模型中，研究套期保值組合策略的魯棒優化方法，也是未來一個有意義的研究方向。