單指標(biāo)非參數(shù)期權(quán)定價(jià)
——改進(jìn)的非參數(shù)定價(jià)方法

李 慶，張 虎

(中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430073)

1 引言

期權(quán)是金融市場(chǎng)最活躍的交易產(chǎn)品之一，近年來(lái)中國(guó)期權(quán)市場(chǎng)迎來(lái)蓬勃發(fā)展。2015年2月9日，首個(gè)股票期權(quán)產(chǎn)品——上證50ETF期權(quán)上市交易；2017年上市了豆粕期權(quán)和白糖期權(quán)兩個(gè)期權(quán)品種；2018年上市了銅期權(quán)；2019年更是上市了玉米期權(quán)、棉花期權(quán)、天然橡膠期權(quán)、鐵礦石期權(quán)、PTA期權(quán)、甲醇期權(quán)、黃金期權(quán)、滬深300股指期權(quán)和滬深300ETF期權(quán)(2只)等10個(gè)期權(quán)品種，這些期權(quán)產(chǎn)品將逐漸增強(qiáng)中國(guó)金融市場(chǎng)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)管理功能和金融衍生品市場(chǎng)服務(wù)實(shí)體經(jīng)濟(jì)的能力。

期權(quán)價(jià)格的精確估計(jì)是進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理和服務(wù)實(shí)體經(jīng)濟(jì)的基礎(chǔ)，現(xiàn)有期權(quán)定價(jià)模型都是建立在歐美國(guó)家期權(quán)市場(chǎng)比較發(fā)達(dá)的基礎(chǔ)上，發(fā)達(dá)國(guó)家期權(quán)市場(chǎng)交易機(jī)制完善、市場(chǎng)流動(dòng)性好，期權(quán)價(jià)格估計(jì)精確度較高。但是，中國(guó)的期權(quán)市場(chǎng)上市時(shí)間較短、交易機(jī)制不夠完善和市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)少，套用現(xiàn)有期權(quán)定價(jià)模型無(wú)法有效的估計(jì)中國(guó)期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)，尋求符合中國(guó)期權(quán)市場(chǎng)實(shí)際的定價(jià)方法需要進(jìn)一步的研究。

自從Black 和Scholes[1]在期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上建立經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型以來(lái)，學(xué)者們不斷對(duì)擴(kuò)散模型進(jìn)行改進(jìn)并得到相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)模型，如Merton[2], Bates[3]，Madan等[4]建立的跳擴(kuò)散期權(quán)價(jià)格模型，Heston[5]建立的隨機(jī)波動(dòng)率模型，Heston和Nandi[6]得到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從GARCH模型的封閉式期權(quán)定價(jià)公式，吳鑫育等[7-9]對(duì)隨機(jī)波動(dòng)率模型進(jìn)行改進(jìn)建立非仿射隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)模型，我們稱這些模型為基于參數(shù)擴(kuò)散過(guò)程的期權(quán)定價(jià)模型。

盡管各種改進(jìn)的參數(shù)擴(kuò)散模型越來(lái)越復(fù)雜，實(shí)際上期權(quán)價(jià)格的估計(jì)精度也沒(méi)有顯著的提高。從而，學(xué)者們把擴(kuò)散方程設(shè)定為非參數(shù)形式，建立了基于非參數(shù)擴(kuò)散過(guò)程的期權(quán)定價(jià)模型，Ait-Sahalia[10]首次假定利率方程為非參數(shù)擴(kuò)散模型，得到非參數(shù)形式的利率衍生產(chǎn)品定價(jià)公式。Fan Jianqing[11]對(duì)擴(kuò)散模型所有非參數(shù)和半?yún)?shù)形式和相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)公式相比較。Kenmoe和Sanfelici[12]使用非參數(shù)核估計(jì)方法估計(jì)擴(kuò)散系數(shù)和伊藤過(guò)程，研究基于高頻數(shù)據(jù)的衍生品定價(jià)，得到基于高頻數(shù)據(jù)時(shí)波動(dòng)率的估計(jì)效果比使用日度數(shù)據(jù)的好。Kung[13]使用非參數(shù)核估計(jì)方法估計(jì)波動(dòng)率，然后使用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算期權(quán)價(jià)格。韓立巖等[14]則使用非參數(shù)擴(kuò)散模型實(shí)證分析恒生指數(shù)期權(quán)，得到基于非參數(shù)過(guò)程的期權(quán)定價(jià)效果優(yōu)于Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型。

然而，無(wú)論是復(fù)雜形式的參數(shù)擴(kuò)散模型還是非參數(shù)擴(kuò)散模型，都僅僅是對(duì)擴(kuò)散過(guò)程波動(dòng)率的估計(jì)方法進(jìn)行了改進(jìn)，沒(méi)有體現(xiàn)期權(quán)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，因?yàn)槎际鞘褂脴?biāo)的資產(chǎn)價(jià)格歷史數(shù)據(jù)，得到的波動(dòng)率只能反映“過(guò)去”的波動(dòng)情況(歷史波動(dòng)率)，期權(quán)價(jià)格反映的 “未來(lái)”波動(dòng)的預(yù)期(隱含波動(dòng)率)沒(méi)有體現(xiàn)，沒(méi)有使用期權(quán)市場(chǎng)交易數(shù)據(jù)信息(Dumas等[15])。此外，現(xiàn)有擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型都是建立在期權(quán)價(jià)格和各個(gè)影響因素滿足特定函數(shù)形式基礎(chǔ)上的，實(shí)際上期權(quán)價(jià)格關(guān)于各個(gè)因素的具體函數(shù)關(guān)系是未知的。鑒于現(xiàn)有期權(quán)定價(jià)方法的模型假定誤差缺陷，非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)方法從期權(quán)交易數(shù)據(jù)出發(fā)，無(wú)需假定期權(quán)價(jià)格與各因素滿足具體的函數(shù)形式，完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)更加符合實(shí)際。

Ait-Sahalia和Lo[16,17]最早提出非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)理論，建立期權(quán)價(jià)格關(guān)于期權(quán)價(jià)格因素的多元非參數(shù)回歸模型(降維前包含標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、行權(quán)價(jià)格、行權(quán)期限等5個(gè)因素，降維后為價(jià)值狀態(tài)和行權(quán)期限2個(gè)因素)，并使用核估計(jì)方法進(jìn)行估計(jì)。沿著Ait-Sahalia和Lo[16,17]思路，F(xiàn)an和Mancini[18]首先使用參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型估計(jì)期權(quán)價(jià)格，然后使用非參數(shù)方法對(duì)定價(jià)誤差進(jìn)行修正，建立了模型指導(dǎo)的非參數(shù)修正期權(quán)定價(jià)模型, 進(jìn)一步提高了定價(jià)精確度，收斂速度也快于Ait-Sahalia和Lo[16]模型。針對(duì)Ait-Sahalia和Lo[16,17]，F(xiàn)an和Mancini[18]僅使用歷史波動(dòng)率或隱含波動(dòng)率單一波動(dòng)率，Song Zhaogang和Xiu Dacheng[19]構(gòu)建了包含多個(gè)波動(dòng)率因素的非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)模型，期權(quán)價(jià)格估計(jì)效果更好。Marinelli和d’Addona[20]在Ait-Sahalia和Lo[16]的半?yún)?shù)Black-Scholes期權(quán)模型框架下，通過(guò)線性插值法估計(jì)隱含波動(dòng)率表面估計(jì)的期權(quán)價(jià)格，無(wú)論是計(jì)算精確度還是計(jì)算速度都優(yōu)于非參數(shù)核估計(jì)方法估計(jì)隱含波動(dòng)率估計(jì)的期權(quán)價(jià)格。

非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)方法解決了模型設(shè)定誤差問(wèn)題，然而非參數(shù)估計(jì)方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，而在給定的某一交易日交割的期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)又較少(20～50個(gè))，所以非參數(shù)定價(jià)方法往往需要按時(shí)間滾動(dòng)期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù)集的方法(Aggregate data over time)來(lái)增加樣本數(shù)量，如Ait-Sahalia和Lo[16]采用1年時(shí)間的期權(quán)數(shù)據(jù)集(14431對(duì)期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù))，F(xiàn)an和Mancini[18]采用3年時(shí)間的期權(quán)數(shù)據(jù)集(101036對(duì)期權(quán)價(jià)格數(shù)據(jù))，并且使用截面和時(shí)間的二維滾動(dòng)模型解決了樣本量小的問(wèn)題。但是，Ludwig[21]認(rèn)為按時(shí)間滾動(dòng)的數(shù)據(jù)集方法雖然解決了樣本數(shù)量問(wèn)題，但是采取二維模型使得數(shù)據(jù)在行權(quán)期限上具有跳躍性，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)非平穩(wěn)和日歷套利效應(yīng)。

現(xiàn)有非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)模型把多個(gè)不同期限結(jié)構(gòu)的期權(quán)合約組合(同一行權(quán)期限下不同行權(quán)價(jià)格合約)集合在一起進(jìn)行非參數(shù)回歸時(shí)，忽略了期限結(jié)構(gòu)對(duì)期權(quán)定價(jià)結(jié)果的影響，容易產(chǎn)生非平穩(wěn)性和日歷效應(yīng)。此外，使用實(shí)際期權(quán)交易價(jià)格數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析估計(jì)期權(quán)價(jià)格時(shí)，把隱含波動(dòng)率高、行權(quán)期限較長(zhǎng)和較短等流動(dòng)性差的期權(quán)合約數(shù)據(jù)刪除，這種有選擇性的樣本數(shù)據(jù)，使得樣本內(nèi)的估計(jì)效果好，但是樣本外的預(yù)測(cè)效果較差(Ait-Sahalia和Lo[16]，F(xiàn)an和Mancini[18])。

針對(duì)現(xiàn)有非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)模型忽視行權(quán)期限長(zhǎng)、交易量少、隱含波動(dòng)率高等流動(dòng)性差的期權(quán)合約問(wèn)題，Vogt[22]建立一種新的非參數(shù)估計(jì)方法，構(gòu)建圍繞風(fēng)險(xiǎn)中性價(jià)值方程的期權(quán)價(jià)格Sieve估計(jì)量。不同于Ait-Sahalia和Lo[16]、Fan和Mancini[18]、Song Zhaogang和Xiu Dacheng[19]等現(xiàn)有非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)方法通過(guò)期權(quán)價(jià)格近似估計(jì)狀態(tài)價(jià)格概率密度函數(shù)或分布函數(shù)計(jì)算期權(quán)價(jià)格，Vogt[22]通過(guò)變量變換得到期權(quán)價(jià)格關(guān)于隨機(jī)變量的積分函數(shù)使得計(jì)算更加方便。

本文的研究思路為，使用Vogt[22]的變量變換方法把期權(quán)價(jià)格關(guān)于行權(quán)價(jià)格的函數(shù)轉(zhuǎn)化為期權(quán)價(jià)格關(guān)于綜合指標(biāo)的函數(shù)，其中綜合指標(biāo)是期權(quán)價(jià)格因素的合成指標(biāo)(綜合指標(biāo)是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、行權(quán)價(jià)格、行權(quán)期限、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、股息率和隱含波動(dòng)率等期權(quán)所有因素的合成指標(biāo))；并且進(jìn)一步借鑒Fan和Mancini[18]把期權(quán)價(jià)格公式轉(zhuǎn)化為非參數(shù)回歸函數(shù)的處理，把Ait-Sahalia和Lo[16]的非參數(shù)期權(quán)定價(jià)方法進(jìn)行改進(jìn)為期權(quán)價(jià)格關(guān)于綜合指標(biāo)的一元非參數(shù)回歸函數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)不同行權(quán)期限結(jié)構(gòu)的期權(quán)合約組合(每個(gè)行權(quán)期限包含多個(gè)行權(quán)價(jià)格期權(quán)合約)，有效的解決了期權(quán)價(jià)格合約數(shù)量少的問(wèn)題；還實(shí)現(xiàn)了不同期權(quán)結(jié)構(gòu)期權(quán)數(shù)據(jù)的平滑處理。

計(jì)算的步驟為，假定資產(chǎn)價(jià)格服從Black-Scholes隨機(jī)微分方程，通過(guò)變量變換把看跌期權(quán)價(jià)格支付函數(shù)由原來(lái)關(guān)于狀態(tài)價(jià)格的積分函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于誤差項(xiàng)隨機(jī)變量的積分函數(shù)，變換后的積分函數(shù)中積分上限是期權(quán)價(jià)格因素綜合指標(biāo)的積分函數(shù)，并把積分函數(shù)離散化為一元非參數(shù)回歸方程(期權(quán)價(jià)格關(guān)于綜合指標(biāo)的回歸方程)，最后使用局部多項(xiàng)式方法估計(jì)出期權(quán)價(jià)格。本文把這個(gè)綜合指標(biāo)稱為單指標(biāo),期權(quán)價(jià)格關(guān)于單指標(biāo)的非參數(shù)模型我們稱為單指標(biāo)非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型。

相比現(xiàn)有非參數(shù)期權(quán)定價(jià)方法，本文建立的單指標(biāo)非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型有三個(gè)優(yōu)勢(shì)，一是減少了計(jì)算量，不需要先使用非參數(shù)近似估計(jì)狀態(tài)價(jià)格概率密度函數(shù)再求解期權(quán)價(jià)格，直接得到期權(quán)價(jià)格關(guān)于價(jià)格因素單指標(biāo)的非參數(shù)回歸方程；二是實(shí)現(xiàn)了降維，把期權(quán)價(jià)格的多元非參數(shù)回歸模型轉(zhuǎn)化一元非參數(shù)回歸模型；三是解決非參數(shù)回歸時(shí)期權(quán)合約數(shù)據(jù)量少的問(wèn)題，以及不同期限期權(quán)合約產(chǎn)生的非平穩(wěn)性和日歷效應(yīng)問(wèn)題。

2 非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型

(1)

相比各種假定的參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型(Black 和Scholes[1]，Heston[5]等)，Ait-Sahalia 和Lo[16]認(rèn)為期權(quán)價(jià)格與期權(quán)價(jià)格各個(gè)因素的函數(shù)關(guān)系是未知的，他們使用非參數(shù)方法估計(jì)期權(quán)價(jià)格，假定期權(quán)價(jià)格是狀態(tài)變量Z=(S,κ,τ,r,δ)的非參數(shù)回歸函數(shù)：

Pi=P(Zi)+εii=1,2,…,n

(2)

其中P(.)是未知的平滑函數(shù)，Z=(S,κ,τ,r,δ)，S,κ,τ,r,δ分別為前面定義的期權(quán)價(jià)格的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，行權(quán)價(jià)格，行權(quán)期限，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和股息率5個(gè)影響因素，隨機(jī)誤差項(xiàng)εi是白噪聲的。

未知的非參數(shù)函數(shù)P(.)使用多元核估計(jì)(也可以使用局部多項(xiàng)式估計(jì))：

(3)

以上期權(quán)公式有5個(gè)變量，其中的核函數(shù)為多元核，而且多元核可以表示為5個(gè)一維核的乘積形式：

(4)

當(dāng)自變量個(gè)數(shù)較多時(shí)，式(3)中有5個(gè)變量，非參數(shù)估計(jì)量的精確度會(huì)降低，所以需要降低自變量的維數(shù)，Ait-Sahalia 和Lo[16]采用的降維方法之一是根據(jù)金融原理進(jìn)行的，根據(jù)遠(yuǎn)期價(jià)格Ft,τ=Ste(rt,τ-δt,τ)τ，定義價(jià)值狀態(tài)m=κ/Ft,τ(mt,i=κi/Ft,τ)，而且無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率在一定時(shí)間內(nèi)保持不變，則期權(quán)價(jià)格降低為價(jià)值狀態(tài)mt,i和行權(quán)期限τ的二元函數(shù)：

另外一種方法是Black-Scholes模型中的波動(dòng)率是隱含波動(dòng)率，稱為半?yún)?shù)Black-Scholes模型，Ait-Sahalia 和Lo[16]是看漲期權(quán)價(jià)格，我們對(duì)應(yīng)給出看跌期權(quán)價(jià)格：

PSemi-BS=e-rt,ττκN(d(Z))-S0N(d(Z)-σ(Z))

(5)

(6)

然而，二次函數(shù)不能有效的擬合隱含波動(dòng)率與價(jià)值狀態(tài)的關(guān)系，F(xiàn)an和Mancini[18]把關(guān)于價(jià)值狀態(tài)的隱含波動(dòng)率函數(shù)擴(kuò)展到非參數(shù)形式：

(7)

其中g(shù)(.)是未知的平滑函數(shù)，可以通過(guò)核估計(jì)、局部線性估計(jì)等非參數(shù)方法估計(jì)得到。

3 單指標(biāo)非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型

3.1 單指標(biāo)非參數(shù)定價(jià)模型的建立

假定Bt是時(shí)變的隨機(jī)變量，期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是關(guān)于隨機(jī)變量的方程：

log(St/S0)=μ(Z)+σ(Z)Bt

(8)

其中μ(Z)是漂移系數(shù)，σ(Z)是擴(kuò)散系數(shù)，并且Z=(S,κ,τ,r,δ)；隨機(jī)變量Bt～f0(.|τ)，而且f0(.|τ)可以是特定概率密度函數(shù)(如正態(tài)分布)，也可以是非參數(shù)形式的概率密度函數(shù)。

從方程(8)，我們可以得到狀態(tài)價(jià)格St=S0exp[μ(Z)+σ(Z)Bt]，以及把隨機(jī)變量Bt表達(dá)為狀態(tài)價(jià)格St的函數(shù)：

Bt=(log(S/S0)-μ(Z))/σ(Z)

(9)

根據(jù)隨機(jī)變量代換式(9)，得到期權(quán)價(jià)格關(guān)于隨機(jī)變量Bt的積分函數(shù)：

(10)

從公式(10)可知，變量變換后期權(quán)價(jià)格變?yōu)殛P(guān)于隨機(jī)變量Bt的積分函數(shù)(積分上限是單指標(biāo)d(Z))，即把期權(quán)價(jià)格所有因素全部合并成單指標(biāo)，實(shí)現(xiàn)了模型降維。

為了便于積分，做變量變換：

x=Bt-σ(Z)

=e-rτκN(d(Z))-S0e-δτN(d(Z)-σ(Z))

=PBS(f0,Z)

(11)

建立的單指標(biāo)模型將通過(guò)變量變換把期權(quán)價(jià)格的五個(gè)影響因素Z=(S,κ,τ,r,δ)變換為隨機(jī)變量Bt的積分函數(shù)，可以得到看跌期權(quán)價(jià)格關(guān)于單指標(biāo)變量d(Z)的回歸方程：

(12)

(13)

所以(12)式又可以表達(dá)為：

(14)

(15)

根據(jù)(15)，我們可以得到如下一元非參數(shù)回歸方程：

Yi=G(Xi)+εii=1,2,…,n

(16)

其中G(.)是待估計(jì)的未知函數(shù)，隨機(jī)誤差項(xiàng)εi是白噪聲，即εi～i.i.d(0,σ2)，并且回歸方程中變量為：

根據(jù)非參數(shù)估計(jì)方程(16)得到的期權(quán)價(jià)格估計(jì)量為：

(17)

相對(duì)于Ait-Sahalia 和Lo[16]的期權(quán)價(jià)格關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、行權(quán)價(jià)格等因素的多元非參數(shù)模型，以及Fan和Mancini[18]的期權(quán)價(jià)格變化函數(shù)(單位行權(quán)價(jià)格內(nèi)期權(quán)價(jià)格變化)關(guān)于價(jià)值狀態(tài)(行權(quán)價(jià)格/遠(yuǎn)期價(jià)格)的一元非參數(shù)模型；Vogt[22]使用變換的密度代入(14)得到期權(quán)價(jià)格的封閉形式，單指標(biāo)模型則是期權(quán)價(jià)格變量(期權(quán)價(jià)格的變形)關(guān)于單指標(biāo)(包含標(biāo)的資產(chǎn)、行權(quán)價(jià)格等所有因素)的一元非參數(shù)回歸模型。

3.2 期權(quán)價(jià)格的局部線性估計(jì)

G(Xi)≈G(x)+G′(x)(Xi-x)

(18)

令系數(shù)β0=G(x)，β1=G′(x)，把泰勒展開(kāi)式表示為G(Xi)≈β0+β1(Xi-x)。

使用局部加權(quán)最小二乘估計(jì)方法估計(jì)未知函數(shù)G(Xi), 即求解下式的最小化問(wèn)題：

(19)

為了表達(dá)更加方便，記系數(shù)矩陣β=(β0,β1)T，最小化問(wèn)題(19)表達(dá)為矩陣形式，

(20)

其中：

核函數(shù)K(z)=0.75(1-z2)I(|z|<1)。

(21)

即為β的局部線性估計(jì)量，其中第一個(gè)元素為G(x)的局部線性估計(jì)量，第二個(gè)元素為一階導(dǎo)數(shù)G′(x)對(duì)應(yīng)分量的局部線性估計(jì)量。

3.3 局部線性估計(jì)的窗寬選擇

(22)

即

(23)

從而，LSCV最優(yōu)窗寬為：

(24)

此外，Li和Racine[24]經(jīng)過(guò)數(shù)值模擬得到，當(dāng)

h=3.45σxn-1/5

(25)

時(shí)估計(jì)精確度最高，其中σx是回歸變量的標(biāo)準(zhǔn)差，n是估計(jì)樣本的數(shù)量。所以，這里我們選擇的窗寬是h=3.45σxn-1/5。

4 實(shí)證分析

4.1 數(shù)據(jù)選取

現(xiàn)有研究中Ait-Sahalia和Lo[16]，F(xiàn)an和Mancini[18]等選取美國(guó)芝加哥期貨交易所(CBOE)的S&P500指數(shù)(SPX) 歐式看漲期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，研究不同期權(quán)定價(jià)模型定價(jià)精度。上證50ETF期權(quán)是中國(guó)第一個(gè)期權(quán)產(chǎn)品，本文選取上海證券交易所交易的上證50ETF期權(quán)實(shí)證分析，由于看跌期權(quán)價(jià)格變化比看漲期權(quán)更難估計(jì)，所以我們對(duì)看跌期權(quán)價(jià)格進(jìn)行估計(jì)。中國(guó)上海證券交易所上證50ETF期權(quán)于2015年2月9日上市，上證50ETF期權(quán)的標(biāo)的物為上證50ETF，上證50ETF數(shù)據(jù)和期權(quán)合約數(shù)據(jù)從大智慧軟件獲得，行權(quán)價(jià)格間隔為3元或以下為0.05元，3元至5元(含)為0.1元。

選取樣本為2015年3月、4月、5月、6月、7月、8月和9月共七個(gè)月的認(rèn)沽期權(quán)合約，為了保持期權(quán)合約的流動(dòng)性(Ait-Sahalia和Lo[16])，我們刪除隱含波動(dòng)率無(wú)法得到和高于70%的期權(quán)合約，期權(quán)價(jià)格低于0.05的期權(quán)合約(行權(quán)價(jià)格間隔為0.05)，期權(quán)到期日(日歷時(shí)間)少于1天的期權(quán)合約，一共得到3531個(gè)觀測(cè)樣本。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率從中國(guó)人民銀行貨幣司選取(一年存款利率)，其中2015年一年期定期存款利率為r=2.25%。

4.2 期權(quán)定價(jià)求解與定價(jià)效果評(píng)估

所有的期權(quán)合約按照價(jià)值狀態(tài)m的大小分為虛值期權(quán)、平值期權(quán)和實(shí)值期權(quán)，我們參照Fan和Mancini[18]的劃分標(biāo)準(zhǔn)，不過(guò)本文是看跌期權(quán)(認(rèn)沽期權(quán))，所以我們的劃分為：如果m<0.94，期權(quán)為虛值期權(quán)(in-the-money，ITM)；如果0.94≤m<1.04，期權(quán)為平值期權(quán)(at-the-money，ATM)；如果1.04≤m，期權(quán)為實(shí)值期權(quán)(out-of-the-money，OTM)。

定價(jià)后使用定價(jià)誤差相關(guān)指標(biāo)評(píng)估定價(jià)效果，如Minimum, maximum, mean, Std. Dev是定價(jià)誤差 (u=Pmodel-Pmarket) 的最小值、最大值、均值和標(biāo)準(zhǔn)差；RMSE 是均方根誤差 (Root Mean Square Error)，均方根誤差表達(dá)式為：

(26)

MAE是平均絕對(duì)誤差 (Mean Absolute Error)，平均絕對(duì)誤差表達(dá)式為：

(27)

4.3 樣本內(nèi)估計(jì)

選取樣本內(nèi)數(shù)據(jù)使用模型進(jìn)行實(shí)證分析，表1給出了樣本內(nèi)數(shù)據(jù)四個(gè)期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)效果，從相對(duì)定價(jià)誤差MAE數(shù)值可以得到，單指標(biāo)非參數(shù)模型具有最好的定價(jià)效果，而且定價(jià)效果明顯優(yōu)于Black-Scholes模型，非參數(shù)回歸定價(jià)模型和半?yún)?shù)Black-Scholes模型。模型單指標(biāo)非參數(shù)模型有最小的MAE值(0.08450)，明顯優(yōu)于其他模型；而B(niǎo)lack-Scholes模型的MAE值為0.459366，非參數(shù)和半?yún)?shù)Black-Scholes模型的MAE值分別為0.242303，0.233587。

表1 樣本內(nèi)期權(quán)價(jià)格估計(jì)結(jié)果

圖1是95%置信水平下隱含波動(dòng)率的非參數(shù)局部線性估計(jì)效果圖，符合常見(jiàn)的波動(dòng)率微笑圖，但是比二次函數(shù)拋物線更加精確的描述波動(dòng)率微笑。圖2是95%置信水平下期權(quán)價(jià)格方程的非參數(shù)估計(jì)效果圖。從圖1和圖2中可以看出，我們選取的帶寬對(duì)于非參數(shù)估計(jì)量的估計(jì)具有較好的效果。

圖1 隱含波動(dòng)率方程(7)的非參數(shù)估計(jì)

圖2 期權(quán)價(jià)格方程(16)的非參數(shù)估計(jì)

圖3～圖6給出了四個(gè)模型定價(jià)結(jié)果殘差直方圖，從圖3～圖6的四個(gè)圖可以看出Single-index模型定價(jià)殘差圖更窄，而且殘差值更多集中于0附近，近似服從正態(tài)分布，進(jìn)一步說(shuō)明了本文建立的單指標(biāo)非參數(shù)模型定價(jià)效果更好。

圖3 Black-Scholes模型定價(jià)誤差直方圖

圖4 NP模型定價(jià)誤差直方圖

圖5 Semi-BS定價(jià)誤差直方圖

圖6 Single-index模型定價(jià)誤差直方圖

4.4 樣本外預(yù)測(cè)

為了進(jìn)一步的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷墓烙?jì)效果，我們選取樣本外的期權(quán)合約數(shù)據(jù)進(jìn)行。預(yù)測(cè)樣本為2015年8月24日-2015年9月9日期間，2015年9月、10月、12月和2016年3月共四個(gè)月份1007個(gè)看跌期權(quán)合約樣本，刪除不合格樣本最后剩下907個(gè)樣本數(shù)據(jù)。

因?yàn)楣上⒙薀o(wú)法觀測(cè)到，為了預(yù)測(cè)遠(yuǎn)期價(jià)格，所以我們從期權(quán)看跌-看漲平價(jià)公式Ft,τ=(Ct-Pt)ert,ττ+κ=Ste(rt,τ-δt,τ)τ，得到隱含股息率δt,τ：

(28)

通過(guò)計(jì)算，求解股息率平均值為1.715%。

Fan和Mancini[18]使用局部線性估計(jì)方法擬合隱含波動(dòng)率，這里也使用局部線性估計(jì)隱含波動(dòng)率：

(29)

(30)

根據(jù)以上步驟，計(jì)算得到樣本外期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)值在表2，根據(jù)表2可以得到，對(duì)于整個(gè)樣本，單指標(biāo)非參數(shù)模型的MAE值相比其他模型更小，單指標(biāo)模型的MAE值為0.390387，非參數(shù)回歸和半?yún)?shù)Black-Scholes模型的MAE值分別為0.400953，0.449783。但是和樣本內(nèi)的優(yōu)勢(shì)相比，樣本外預(yù)測(cè)值的效果優(yōu)勢(shì)較低，單指標(biāo)非參數(shù)模型只是略微高于非參數(shù)回歸模型和半?yún)?shù)Black-Scholes模型。

表2 樣本外期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果

續(xù)表2 樣本外期權(quán)價(jià)格預(yù)測(cè)結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立的單指標(biāo)非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型給出了經(jīng)典Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的一種新的證明。這種模型相對(duì)現(xiàn)有非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)體現(xiàn)在：相比經(jīng)典的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型和半?yún)?shù)Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，單指標(biāo)非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型對(duì)隨機(jī)誤差項(xiàng)服從的正態(tài)分布的假定條件放寬，不假定隨機(jī)誤差服從具體的參數(shù)分布，而是使用非參數(shù)形式，更加符合實(shí)際情況；相比經(jīng)典的多元非參數(shù)回歸期權(quán)定價(jià)模型關(guān)于價(jià)值狀態(tài)和行權(quán)期限的二維變量，本模型把期權(quán)價(jià)格五個(gè)影響因素Z=Z(S,κ,τ,r,δ)和波動(dòng)率σ轉(zhuǎn)化為一元變量d(Z)，非參數(shù)期權(quán)定價(jià)模型轉(zhuǎn)化為一維非參數(shù)回歸模型，實(shí)現(xiàn)了估計(jì)模型的進(jìn)一步降維，使得期權(quán)價(jià)格估計(jì)更加方便，減少了計(jì)算量提高了計(jì)算精確度；單指標(biāo)非參數(shù)模型把期權(quán)價(jià)格五個(gè)因素歸結(jié)在一起，把不同行權(quán)期限的期權(quán)合約(每個(gè)行權(quán)期限包含多個(gè)行權(quán)價(jià)格期權(quán)合約)形成組合，得到期權(quán)價(jià)格表面(行權(quán)期限和行權(quán)價(jià)格的組合)，有效的拓展了可以計(jì)算的樣本數(shù)量，解決非參數(shù)回歸時(shí)期權(quán)合約數(shù)據(jù)量少的問(wèn)題，以及不同期限期權(quán)合約產(chǎn)生的非平穩(wěn)性和日歷效應(yīng)問(wèn)題，最終提高了非參數(shù)估計(jì)精確度。但是，模型還可以進(jìn)一步的改進(jìn)，就是對(duì)于較小數(shù)值的期權(quán)價(jià)格估計(jì)偏差比較大，尤其是模型預(yù)測(cè)部分，后續(xù)的研究中我們將從兩個(gè)方向?qū)Ρ灸Ｐ瓦M(jìn)行改進(jìn)，先使用參數(shù)或半?yún)?shù)模型定價(jià)，然后再使用本文模型進(jìn)行非參數(shù)修正，進(jìn)一步降低估計(jì)誤差。