具左右分數階導數的時滯微分方程的正解存在性及迭代求解法

魏春艷， 劉錫平

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

近年來，分數階微分方程受到了人們的廣泛關注[1-12]，在化學工程、粘彈力學以及人口動態等問題中得到了廣泛應用[13-15]。上下解方法是分數階微分方程理論研究的重要手段，很多文獻運用上下解方法研究微分方程邊值問題解的存在性[6-12]。在有些情況下，粒子在一些特殊介質中的運動不僅依賴于它當時的狀態，還依賴于其過去的狀態，比如，在大孔隙率或高流速的情況下，還要考慮到流動慣性的影響[16-18]。而帶時滯的分數階微分方程能夠很好地刻畫這類物理現象，但用迭代法研究帶左右側Riemann-Liouville分數階導數的時滯微分方程積分邊值問題，并對其近似解進行誤差估計的文獻相對較少[9-12]。

本文研究帶有左右分數階導數的非線性時滯泛函微分方程積分邊值問題

2 預備知識

引理1對任意給定的 ，邊值問題y∈C([0,1],R)

存在唯一解

其中，

根據邊界條件u(1)=0，u(0)=φ0(0)，可得

于是，當t∈(0,1)時，

其中，v(s)和Gβ(t,s)由式（4）和式（5）定義。

已知當t∈ [-τ,0]時，u(t)=φ0(t)；當t∈[1,1+σ]時，u(t)=φ1(t)。故

則稱x=x(t)是邊值問題（1）的下解。

如果y∈E滿足

容易證明，若u=u(t)滿足式（3），則它滿足邊值問題（2）。

證畢。

由引理1容易得到下面的引理2。

引理2邊值問題（1）等價于積分方程

則稱y=y(t)是邊值問題（1）的上解。

現研究邊值問題（1）正解的存在性。先作如下假設:

且Gβ(t,s)和Gα(s,r)分別由式（5）和式（6）定義。

引理3由式（5）和式（6）分別定義的函數Gβ(t,s)和Gα(s,r)是 連 續 的 ， 且 對 任 意 的t,s,r∈[0,1]，滿足

3 主要結論

記E=C[-τ,1+σ]，定義范數則 (E,||·||E)是Banach空間。令

顯然，P是E上的正規錐。對任意的x,y∈E，記x≤y當 且 僅 當y-x∈P,t∈[-τ,1+σ]， 于 是 ，(E,≤)為半序Banach空間。

定義1如果x∈E滿足

為方便起見，記常數

定理1假設（H1）成立，邊值問題（1）存在非負下解x0∈P和非負上解y0∈P，且滿足x0≤y0，則邊值問題（1）在 [x0,y0]:={x∈P|x0≤x≤y0}上存在最小正解x*和最大正解y*。

圖 1 迭代過程及近似解u1Fig.1 Interation and approximate solution u1