空間伸展臂折展單元運動學分析

（南京航空航天大學 航天學院，江蘇 南京 210016）

0 引言

隨著航天技術的不斷發展，航天事業對星載天線的需求與日俱增，連接天線與衛星本體的伸展臂已成為了航天技術重要研究對象之一。空間伸展臂主要分為桿狀伸展臂、盤壓桿式伸展臂、鉸接桁架式伸展臂、張拉整體式伸展臂等［1］。其中，鉸接桁架式伸展臂具有高收納率、高剛度、高強度、高精度等特點［2］，該類型伸展臂仍是國內外研究重點。其可分為可折疊鉸接四邊形桁架伸展臂、可折疊鉸接三角形桁架伸展臂、剪切式伸展臂、索桿鉸接式伸展臂等［1，3］。可折疊鉸接三角形桁架伸展臂較其他鉸接方式具有結構簡單、收展比高、重量輕等更多優點，近年來備受關注［4］。

目前，折疊鉸接式伸展臂FASTM 和ADAM 應用最為廣泛，美國NANM 的折疊鉸接式伸展臂技術已十分成熟，國內對折疊鉸接式伸展臂技術在力學分析和結構設計的理論、試驗和仿真等方面均有重大突破［5-7］。文獻［8］提出了一種三角桁架鉸接伸展臂，對其進行力學分析。文獻［9］提出一種恒力矩彈簧為驅動源的三角桁架支撐機構，分析伸展臂單元的運動特性，建立等效連續介質模型分析伸展臂動力學特性。文獻［10］運用參數化思想建立有限元模型，對三角桁架折展式伸展臂進行結構優化。文獻［11］利用螺旋理論分析可展桁架的運動特性，驗證了單自由度桁架的正確性。文獻［12］應用螺旋理論分析四棱柱型伸展臂運動特性和收展穩定性能。

1 可折展三角桁架式空間伸展臂的簡介

可折展三角桁架式空間伸展臂主要由三角板、板間鉸鏈、桿間鉸鏈、折展桿、底板構成。其中，板間鉸鏈和桿間鉸鏈都設有驅動彈簧和鎖緊裝置。折展單元有3 個支鏈，每條支鏈有3 個旋轉鉸鏈，由彈簧驅動實現折展單元的展開。初始狀態為壓緊收攏狀態，解鎖后開始展開，完全展開后鎖定。展開鎖定后，形成穩固的剛性伸展臂結構。

圖1 可折展三角桁架式空間伸展臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of the deployable triangular truss space deployable mast

2 空間伸展臂的折展單元的位置分析

伸展臂的折展單元結構原理圖如圖2 所示，由定三角板、動三角板和三條支鏈組成。

圖2 折展單元的原理圖Fig.2 Schematic diagram of the deployable unit

折展單元的完全收攏為θk1=0°，完全展開為θk1=90°，該折展單元有一個自由度，運動平穩。

以折展單元的一個支鏈為例進行分析，已知動、定三角板是邊長m的等邊三角形，支鏈的桿長為l。根據幾何關系可以看出，動三角板與定三角板關于平面ABC對稱，可以得到如下折展單元的運動約束方程：

每個支鏈旋轉角都滿足如下方程：

式中：k=1 為支鏈A；k=2 為支鏈B；k=3 為支鏈C。

同時滿足式（1）和式（2），則定三角板與動三角板在運動過程中始終平行，即

貨幣資金是重要的企業資產，在正常生產經營過程中起關鍵性的作用，是企業關注的重點資產之一，而正由于貨幣資金的重要性和流動性，貨幣資金舞弊現象也常有發生。加強貨幣資金的內部控制，對于保證資金安全,提高資金運營效率,促進企業持續健康發展起著非常重要的作用。

由式（2）可知，確定支鏈的θk1即確定了支即鏈位姿；由式（3）可知，確定了θ11即確定了θ21、θ31，故確定θ11即確定了三角板的位姿。

基于以上折展單元的幾何特性以及建立的折展單元運動約束方程，運用D-H 法的齊次變換矩陣對其進行正逆位置，利用螺旋理論對其進行正速度分析。

2.1 正位置分析

對折展單元的正位置分析，即位置角θ11作為輸入量，求解動三角板的位姿。為更好描述動三角板的位姿，以中心點的運動代替。

建立如圖2 所示的笛卡爾坐標系O（X，Y，Z），以A1B1中點為坐標原點，X軸正方向從原點O指向B1，Z軸正方向從原點O指向C1，Y軸正方向滿足右手定則。在轉動副上建立當前節點局部動坐標系Oj，下一節點的局部坐標系Oj+1，局部坐標系之間的齊次變換通式為jTj+1，

式中，θj+1為Oj+1繞Oj的Z軸的旋轉角；dj+1為Oj+1沿Oj的Z軸的平移距離；aj+1為Oj+1繞Oj的X軸的平移距離；αj+1為Oj+1繞Oj的X軸的旋轉角。

3 條支鏈運動平面的關于坐標系O的XOY平面變換矩陣的通式為

式中：βk為支鏈所在運動平面與坐標系O的XOY面的夾角。

根據折展單元的幾何性質可得出A1、B1、C1的坐標，結合平面變換矩陣與齊次變換矩陣，可求得在笛卡爾坐標系下各節點坐標Pk(j+1)，最終確定動三角板O'的位置為

2.2 逆位置的分析

對折展單元的逆位置分析，即O'運動作為輸入，求解位置角θ11。坐標系仍采用O（X，Y，Z），在各轉動副上建立當前節點局部動坐標系，下一節點的局部坐標系，局部坐標系之間的齊次變換通式為，各支鏈平面變換通式為=Trk。結合平面變換矩陣與齊次變換矩陣，可求得各節點坐標，進而確定θ11，

2.3 正速度分析

對折展單元的正速度分析將位置角θ11作為輸入，求解O'的速度螺旋V=(ω；V0)T。折展單元如圖2 所示，將每個支鏈簡化為一個開環運動鏈，其運動軸線記作單位螺旋，則每個支鏈的運動螺旋可表示為

則動三角板的速度螺旋與第k支鏈的3 個瞬時單位螺旋的關系為

式中：ω=(ωx，ωy，ωz)為動三角板相對于定三角板的角速度；V0=(V0x，V0y，V0z)為點O'的線速度。則式（12）可以簡化為

由折展單元的運動特性可知同支鏈上的各運動關節的運動軸線相互平行，即支鏈上各運動關節的單位螺旋是相互平行的。取一經過原點且與運動螺旋方向平行的螺旋記做，根據兩相交或平行螺旋的互易積為0，則與動三角板的速度螺旋V做互易可得到如下公式的3 個方程：

在第B、C支鏈上取一平行于的螺旋，

取一過點A3方向為A3A2的單位螺旋記為$f3，將螺旋$f3與動三角板的速度螺旋V做互易可得到如下1 個方程：

將式（14）、式（16）、式（18）聯立，得到6 個方程，可求解出動三角板的速度螺旋V的6 個未知參數，確定動三角板O'的正速度。

3 仿真試驗及結果分析

舉例說明上述方法的應用，考慮折展單元的幾何特點，取折展桿長n=90 mm，三角板的邊長m=100 mm，輸入量主動關節驅動角θ11=，折展單元的展開過程如圖3 所示。

圖3 折展單元的展開過程Fig 3 Deploying process of the deployable unit

將預設的參數代入D-H 法建立的正逆位置解中，借助軟件Matlab 的“solve”函數計算出理論結果，得出動三角板中心點O'的位置曲線。為更好說明本文方法的正確性，借助軟件ADAMS 仿真計算折展單元的正運動的位置，代入相同預設參數得到ADAMS 仿真模型。將理論計算結果與仿真計算結果進行比較，如圖4 所示。圖4 中虛線曲線為理論計算結果，實線曲線為ADAMS 仿真計算結果。從圖中可以看出，理論計算結果與仿真計算結果重疊，驗證位置分析方法的正確性。

將預設的參數代入螺旋理論建立的速度分析正解中，利用軟件Matlab 求解動三角板中心點O'的運動速度，得到動平臺O'的速度變化曲線。同樣，將相同的參數代入ADAMS 軟件中進行仿真計算，去驗證速度計算結果的正確性。將理論計算結果與仿真計算結果進行比較，如圖5 所示。圖5 中的虛線曲線為理論計算結果，實線曲線為ADAMS 仿真計算結果，從圖中可以看出理論計算結果與仿真計算結果基本一致，本文提出計算動平臺O'運動位置的方法可以準確計算出動三角板中心點O'的運動速度。

圖4 仿真計算與理論計算位移變化對比圖Fig 4 Comparison diagram of the displacement changes obtained by the simulation and theoretical calculations

圖5 仿真計算與理論計算速度變化對比圖Fig 5 Comparison diagram of the velocity changes obtained by the simulation and theoretical calculations

結合圖4 和圖5 曲線的變化，可得動三角板中心點O'的運動速度大小與位移變化曲線的曲率正相關，則可通過速度曲線的曲率估算加速度。

4 結束語

本文對可折展三角桁架式空間伸展臂單元進行運動學分析，運用D-H 法分析了折展單元正逆位置，利用螺旋理論對折展單元進行正速度分析。借助ADAMS 對折展單元進行運動學仿真計算，對比仿真計算結果與本文方法的計算結果基本一致，驗證了本文方法的正確性。計算結果可看出，折展單元動三角板中心點的位移和速度都只在Y軸方向上有變化，其他方向的運動分量都為0，說明了折展單元運動的單一性，能夠滿足空間折展機構的功能需求，為空間伸展臂的進一步研究提供參考依據。