Walker 星座碰撞檢測及碰撞概率分析

吳啟星，陳 雨

（1.北京跟蹤與通信技術(shù)研究所，北京 100094；2.上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 201210）

0 引言

Walker 星座由于其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)穩(wěn)定、對(duì)地面覆蓋均勻等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在通信、地面觀測及偵察等航天任務(wù)中［1-3］，例如GPS、Glonass、北斗等導(dǎo)航衛(wèi)星，以及銥星、Starlink 等通信衛(wèi)星系統(tǒng)，均采用了幾十乃至上百顆衛(wèi)星組成的衛(wèi)星星座。隨著星座規(guī)模的增大，星座中衛(wèi)星發(fā)生碰撞的風(fēng)險(xiǎn)也越來越大［4］。目前，碰撞檢測研究主要針對(duì)星座設(shè)計(jì)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)理論構(gòu)型。文獻(xiàn)［5-6］推導(dǎo)得到星座中任意兩顆衛(wèi)星的距離計(jì)算公式，通過周期性輪詢計(jì)算得到整個(gè)星座中每兩顆衛(wèi)星的距離情況，從而實(shí)現(xiàn)星座中衛(wèi)星碰撞預(yù)估，該方法的缺點(diǎn)是運(yùn)算量大，且隨著星座規(guī)模的擴(kuò)大，運(yùn)算量會(huì)線性增加。文獻(xiàn)［7］從概率論的角度出發(fā)，認(rèn)為只要衛(wèi)星運(yùn)行到交叉點(diǎn)即有碰撞的可能，通過星座的規(guī)模、軌道交點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及每天衛(wèi)星經(jīng)過交點(diǎn)的次數(shù)，得到該星座發(fā)生碰撞的概率。文獻(xiàn)［8］根據(jù)星座的拓?fù)錁?gòu)型特點(diǎn)，通過相交軌道面在軌道面交點(diǎn)處的幾何關(guān)系及相交軌道面衛(wèi)星間的相位關(guān)系，求得星座衛(wèi)星的最小距離，該方法可準(zhǔn)確檢測出理論星座構(gòu)型是否會(huì)發(fā)生碰撞。

衛(wèi)星入軌偏差和空間攝動(dòng)力導(dǎo)致在軌星座構(gòu)型與理論設(shè)計(jì)值偏離，需不斷進(jìn)行星座構(gòu)型維持。因此，星座碰撞檢測不僅要考慮理論星座構(gòu)型下衛(wèi)星是否會(huì)發(fā)生碰撞，還要分析當(dāng)星座中衛(wèi)星站位發(fā)生漂移、實(shí)際在軌星座與理論設(shè)計(jì)星座構(gòu)型具有偏差時(shí)碰撞的可能性。本文設(shè)計(jì)一種針對(duì)Walker 星座的碰撞檢測系統(tǒng)模型，能夠有效檢測設(shè)計(jì)的理論星座構(gòu)型是否會(huì)發(fā)生碰撞，并根據(jù)星座實(shí)際在軌構(gòu)型維持策略，在星座構(gòu)型漂移的情況下給出該星座構(gòu)型是否具有碰撞風(fēng)險(xiǎn)，計(jì)算碰撞概率及安全度系數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)星座構(gòu)型的抗碰撞風(fēng)險(xiǎn)能力評(píng)估。

1 Walker 星座構(gòu)型及維持策略

Walker 星座最早由英國皇家飛行研究中心的沃克提出［9］，其構(gòu)型用參考碼S/P/F表示，其中，S表示星座中衛(wèi)星的總數(shù)目，P表示衛(wèi)星分布的軌道面數(shù)，F(xiàn)為相位因子。Walker 星座中所有衛(wèi)星軌道高度、傾角、偏心率均相同，且每個(gè)軌道面內(nèi)衛(wèi)星分布均勻，不同軌道面間衛(wèi)星的相位（即緯度幅角）保持一定的相對(duì)關(guān)系，相鄰軌道面對(duì)應(yīng)序號(hào)衛(wèi)星的相位差為u=360°?F/S，F(xiàn)=0，1，…，P-1。

入軌誤差及在軌攝動(dòng)力的影響導(dǎo)致衛(wèi)星間的相對(duì)相位發(fā)生變化，星座構(gòu)型發(fā)散［10］，因此，衛(wèi)星入軌后需要進(jìn)行星座構(gòu)型維持。Walker 星座的構(gòu)型維持主要為保持星座衛(wèi)星間的相對(duì)位置關(guān)系，文獻(xiàn)［11］采用了如下基于基準(zhǔn)衛(wèi)星的星座構(gòu)型維持方法：首先選擇基準(zhǔn)衛(wèi)星，以基準(zhǔn)衛(wèi)星為參考建立理論的虛擬參考星座，確定每顆衛(wèi)星的理論站位；然后根據(jù)任務(wù)需求，確定相位誤差閾值ξu，即星座中每顆衛(wèi)星的實(shí)際位置與理論站位的最大允許相位差，在軌將實(shí)際衛(wèi)星維持在理論站位±ξu范圍之內(nèi)；在相位維持過程中，半長軸的調(diào)整具有一定范圍約束，需保證半長軸偏差在±ξa之內(nèi)，如圖1 所示。

2 Walker 星座碰撞概率計(jì)算

Walker 星座衛(wèi)星碰撞問題的研究可分為狹義碰撞和廣義碰撞［12-13］。

2.1 狹義碰撞

圖1 星座構(gòu)型維持示意圖Fig.1 Schematic diagram of constellation configuration maintenance

狹義碰撞將衛(wèi)星視為一個(gè)研究點(diǎn)，只單純考慮所建立的理論Walker 星座是否會(huì)出現(xiàn)某一時(shí)刻兩顆衛(wèi)星完全重合的情況。衛(wèi)星狹義碰撞只發(fā)生在軌道交點(diǎn)處，定義相交軌道面上兩衛(wèi)星在過軌道交點(diǎn)時(shí)的最小角距為交點(diǎn)衛(wèi)星角距［7］ξwi：

式中：i=1，2，…，P(P-1)為軌道交點(diǎn)個(gè)數(shù)；ηi、為軌道交點(diǎn)在兩個(gè)相交軌道面上的升交角距；同一軌道面相鄰相位差Δδ=2πP/S；相交軌道面相對(duì)相位Δλk=2πF(k-1)/S，k為相交軌道面序號(hào)。

星座發(fā)生狹義碰撞的判斷依據(jù)為

根據(jù)式（2），衛(wèi)星狹義碰撞的條件只與星座構(gòu)型參數(shù)S、P、F以及軌道傾角α有關(guān)。若Walker 星座會(huì)發(fā)生狹義碰撞，則認(rèn)為此星座的碰撞概率為100%。

2.2 廣義碰撞

廣義碰撞綜合考慮衛(wèi)星星座實(shí)際在軌位置相對(duì)于理論站位的偏差范圍、實(shí)際測定軌誤差等，因此，衛(wèi)星廣義碰撞是一種概率碰撞［14］。若在同一時(shí)刻星座中的兩顆衛(wèi)星的最小距離小于一定值時(shí)，就具有發(fā)生碰撞的概率，即會(huì)發(fā)生廣義碰撞。

考慮星座構(gòu)型維持策略，在軌道半長軸相同的情況下，若兩顆衛(wèi)星發(fā)生廣義碰撞，必然有某一時(shí)刻兩顆衛(wèi)星在軌道交點(diǎn)處存在相位閾值區(qū)域相交的情況。假設(shè)以衛(wèi)星i和衛(wèi)星j的相位閾值區(qū)域均進(jìn)入兩軌道交點(diǎn)為開始，到衛(wèi)星i或衛(wèi)星j（任意一個(gè)）相位閾值區(qū)域離開兩軌道面交點(diǎn)為結(jié)束，此段時(shí)間內(nèi)兩星的狀態(tài)稱為相位相交，相交時(shí)間段內(nèi)每顆衛(wèi)星劃過的相位值Δu相同，稱為相交相位，如圖2 所示。此時(shí)，衛(wèi)星i到達(dá)兩軌道交點(diǎn)位置，衛(wèi)星j即將到達(dá)軌道交點(diǎn)，兩星間相位差為ξw。

圖2 兩星相位相交示意圖Fig.2 Schematic diagram of the phase intersection of two satellites

求得兩星相交相位值為

當(dāng)兩星的相交相位為Δu時(shí)，不考慮衛(wèi)星外形尺寸，且將實(shí)際衛(wèi)星相對(duì)于理論站位動(dòng)態(tài)運(yùn)行的區(qū)域看作矩形區(qū)域，按照10 m 為單位對(duì)該區(qū)域進(jìn)行單元格劃分（設(shè)單個(gè)衛(wèi)星體積直徑為5 m），視兩顆星同一時(shí)刻均落到同一個(gè)單元格的情況為兩顆星發(fā)生碰撞，衛(wèi)星i實(shí)際落入相位相交區(qū)域的概率為

在衛(wèi)星i落入該區(qū)域的條件下，衛(wèi)星j與其碰撞的概率為

另外，考慮兩顆衛(wèi)星半長軸相同的概率為

綜上，兩衛(wèi)星碰撞的概率為

式中：R為軌道半長軸；R、ξa單位為km；Δu、ξu單位為弧度。

3 構(gòu)型維持條件下Walker 星座碰撞檢測

3.1 構(gòu)型維持條件下碰撞檢測方法

當(dāng)衛(wèi)星星座在不存在狹義碰撞時(shí)，仍需保證星座建立后在正常的構(gòu)型維持策略下衛(wèi)星發(fā)生碰撞的概率盡可能小，即所設(shè)計(jì)Walker 星座中，不存在兩顆衛(wèi)星在某一時(shí)刻出現(xiàn)相位相交的情況，如圖3 所示。當(dāng)兩顆衛(wèi)星的相位閾值區(qū)間前后到達(dá)兩軌道交點(diǎn)的時(shí)間差大于圖3 所示情況時(shí)，兩顆星必不相撞，即發(fā)生碰撞的概率為0。

圖3 相位相交的臨界狀態(tài)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the critical state of phase intersection

在該臨界狀態(tài)下，兩顆星到軌道交點(diǎn)的角距均為ξu，此時(shí)為兩顆星距離最近的時(shí)刻，求得該情況兩星的角距為

式中：Ω為Ai、Aj所對(duì)應(yīng)的球面角；r為根據(jù)實(shí)際星座構(gòu)型維持相位閾值得到的非碰撞條件下所需的理論最小衛(wèi)星角距，即臨界角距，若星座中最小衛(wèi)星角距小于此值，則不會(huì)發(fā)生碰撞。

3.2 星座構(gòu)型防碰撞性分析

通過檢測確定的不會(huì)發(fā)生廣義碰撞的Walker 星座，是建立在構(gòu)型維持策略正常進(jìn)行，且構(gòu)型維持結(jié)果符合控制要求基礎(chǔ)上的。若考慮構(gòu)型維持也有產(chǎn)生誤差的可能，通過檢測不會(huì)發(fā)生在軌碰撞的Walker 星座也有發(fā)生碰撞的風(fēng)險(xiǎn)，如圖4 所示。當(dāng)出現(xiàn)相位維持正偏差時(shí)，即圖4（a）所示情況，此時(shí)出現(xiàn)的相位誤差會(huì)增大兩星的最小距離，不會(huì)產(chǎn)生碰撞風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng)出現(xiàn)相位維持負(fù)偏差時(shí)，即圖4（b）所示情況，此時(shí)出現(xiàn)的相位誤差會(huì)減小兩星的最小距離，則會(huì)引起碰撞風(fēng)險(xiǎn)。

圖4 相位維持偏差示意圖Fig.4 Schematic diagram of phase maintenance deviation

本節(jié)提出了一種表征Walker 星座構(gòu)型防碰撞性能的安全度系數(shù)kr，其表達(dá)式如下：

式中：r'為星座最小衛(wèi)星角距；r為對(duì)應(yīng)的臨界角距，

當(dāng)星座構(gòu)型通過檢測不會(huì)發(fā)生廣義碰撞時(shí)，安全度系數(shù)kr越大，抗風(fēng)險(xiǎn)能力越好，發(fā)生碰撞的可能性越低［15］。在星座其他性能一致的情況下，選取抗風(fēng)性系數(shù)較大的星座構(gòu)型更有利于星座的穩(wěn)定性。

4 Walker 星座防碰撞檢測系統(tǒng)模型及仿真分析

4.1 Walker 星座防碰撞檢測模型

根據(jù)Walker 星座構(gòu)型維持及碰撞特性分析，建立Walker 星座防碰撞檢測模型。對(duì)于給定的Walker 星座構(gòu)型及星座在軌控制相位閾值，檢測是否存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)，輸出碰撞概率；對(duì)于不存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)的Walker 星座，輸出安全度系數(shù)。該系統(tǒng)數(shù)據(jù)流圖如圖5 所示。

圖5 星座碰撞檢測數(shù)據(jù)流圖Fig.5 Flow chart of constellation collision detection data

具體Walker 星座防碰撞檢測模型流程如圖6 所示，該Walker 星座碰撞檢測系統(tǒng)可檢測Walker 星座是否會(huì)發(fā)生碰撞，并定量給出碰撞概率。對(duì)于不存在碰撞風(fēng)險(xiǎn)的Walker 星座構(gòu)型，給出其安全度系數(shù)，用于星座構(gòu)型的最優(yōu)選擇。

圖6 Walker 星座碰撞檢測模型Fig 6 Model of Walker constellation collision detection

4.2 仿真算例

本節(jié)利用Walker 星座防碰撞檢測模型分析星座在軌構(gòu)型維持條件下的防碰撞性能，實(shí)現(xiàn)星座構(gòu)型擇優(yōu)。以72 顆衛(wèi)星組成的Walker 星座為例，衛(wèi)星軌道高度為600 km，傾角60°，偏心率為0，設(shè)計(jì)星座在軌構(gòu)型維持相位閾值為±4°，半長軸維持閾值為±50 m。

1）分別仿真軌道面?zhèn)€數(shù)為6 和9 時(shí)，在不同相位因子條件下，星座的防碰撞特性見表1 和表2。

根據(jù)表1 和表2 的仿真結(jié)果，由72 顆衛(wèi)星組成的Walker 星座，當(dāng)軌道面?zhèn)€數(shù)為6：在相位因子F為0、2 和4 時(shí)，星座最小衛(wèi)星角距為0，會(huì)發(fā)生狹義碰撞；在相位因子為1、3 和5 時(shí)，星座會(huì)發(fā)生廣義碰撞，衛(wèi)星交匯時(shí)的碰撞概率分別為1.472×10-9、5.614×10-9和2.653×10-9。當(dāng)軌道面?zhèn)€數(shù)為9：相位因子選取0～8 時(shí)，星座均不會(huì)發(fā)生狹義碰撞；當(dāng)相位因子選擇0、1、2、4、5 和8 時(shí)，會(huì)發(fā)生廣義碰撞，碰撞概率分別為5.412×10-10、2.382×10-9、7.503×10-10、4.652×10-9、5.899×10-10和5.899×10-10；相位因子為3、6 或者7 時(shí)，星座既不會(huì)發(fā)生狹義碰撞，也不會(huì)發(fā)生廣義碰撞，此時(shí)，計(jì)算3種構(gòu)型的安全度系數(shù)分別為0.026、0.106以及0.417，安全度系數(shù)越大，則碰撞風(fēng)險(xiǎn)越低，因此，若單考慮碰撞問題，則選取（72，9，7）Walker星座構(gòu)型可靠性最高。

2）Walker 星座構(gòu)型選擇（72，9，7），仿真星座構(gòu)型中最小衛(wèi)星角距和安全度系數(shù)隨傾角的變化情況如圖7 和圖8 所示。仿真結(jié)果表明，在星座構(gòu)型一定的情況下，最小衛(wèi)星間距隨傾角變化而變化，傾角在60°附近，最小衛(wèi)星間距達(dá)到較大值。在圖8 中，軌道傾角為［38，58］、［64，71］、［75，85］、［87，89］時(shí)，安全度系數(shù)小于0，表明此星座會(huì)發(fā)生廣義碰撞，當(dāng)軌道傾角為86°時(shí)，安全度系數(shù)為1.4，達(dá)到最高值，此時(shí)星座的防碰撞性能最優(yōu)。

3）針對(duì)目前組網(wǎng)的通信星座衛(wèi)星數(shù)量較多，對(duì)480 顆衛(wèi)星、30 個(gè)軌道面組成的大型Walker 星座，仿真星座構(gòu)型中最小衛(wèi)星角距和臨界角距隨相位因子的變化情況（相位閾值為3°，軌道傾角89°）如圖9 所示。仿真結(jié)果表明，在衛(wèi)星總數(shù)、軌道面?zhèn)€數(shù)確定的情況下，不同相位因子的星座碰撞特性不相同。

表1 星座防碰撞特性（P=6）Tab.1 Constellation anti-collision characteristics（P=6）

表2 星座防碰撞特性（P=9）Tab.2 Constellation anti-collision characteristics（P=9）

圖7 最小衛(wèi)星角距隨衛(wèi)星傾角變化情況Fig.7 Changes of the minimum angular distance with the satellite inclination

圖8 安全度系數(shù)隨衛(wèi)星傾角變化情況Fig.8 Changes of the safety factor with the satellite inclination

在圖9 中，最小衛(wèi)星角距為0 的會(huì)發(fā)生俠義碰撞；最小角距不為0 且小于臨界角距的會(huì)發(fā)生廣義碰撞；最小衛(wèi)星角距大于臨界角距的既不會(huì)發(fā)生俠義碰撞也不會(huì)發(fā)生廣義碰撞，對(duì)應(yīng)相位因子為6、16、18、22。

圖9 最小衛(wèi)星角距/臨界角距隨星座相位因子變化情況Fig.9 Changes of the minimum/critical angular distance with the constellation phase factor

5 結(jié)束語

本文基于Walker 星座狹義碰撞的研究成果，根據(jù)衛(wèi)星星座的在軌維持策略，研究了在構(gòu)型維持閾值下的Walker 星座廣義碰撞的檢測模型，對(duì)于可能發(fā)生廣義碰撞的Walker 星座，給出了星座碰撞概率的計(jì)算方法，對(duì)于正常情況下不會(huì)發(fā)生廣義碰撞的Walker 星座，提出了表征星座防碰撞安全性等級(jí)的非碰撞安全度系數(shù)。案例仿真分析表明，本文提出的Walker 星座碰撞檢測模型可以準(zhǔn)確計(jì)算星座防碰撞風(fēng)險(xiǎn)能力，解決了在同等條件下的星座構(gòu)型擇優(yōu)問題，具有很好的工程應(yīng)用價(jià)值。