基于多分辨率復合陣列的未知信源數波達方向估計

（上海無線電設備研究所，上海 201109）

0 引言

多分辨率復合陣列（Multi-Resolution Composite Arrays，MRCA）是由數個陣元間距不同的均勻線性子陣列（Uniform Linear Sub-Arrays，ULSA）組成的非均勻線陣（Non-niform Linear Arrays，NLA）［1-5］。相比于陣元數相同的均勻線陣，多分辨率復合陣列具有更大的有效孔徑、更高的測向精度和角度分辨率，因而在波束形成與波達方向（Direction-of-Arrival，DOA）估計領域受到關注［3］。

互質陣列可以看成僅有2 個子陣的多分辨率復合陣列［6-8］，即兩個子陣的陣元間距均大于半波長。目前基于互質陣的DOA 估計主要利用解模糊的方法進行空間譜估計［9-10］。文獻［10］提出了一種聯合MUSIC 估計算法，該方法利用互質特性去除子陣DOA 估計存在的角度模糊。由于僅有兩個子陣，該算法僅能估計一個不模糊目標信號。在多目標信號情況下，基于解模糊的DOA 估計方法需要通過多分辨率復合陣列實現。

基于解模糊的思想，本文將密集陣的DOA 估計算法拓展至多分辨率復合陣列中，如多重信號分類（Multiple Signal Characterization，MUSIC）算法。然而，這些算法都需要有信源數目作為算法的先驗信息，信源數的準確性影響DOA 估計性能。雖然現有文獻給出了信源數目估計方法［11-14］，但是這些方法無法解決信號相干的問題。為了解決這一問題，文獻［15］提出一種基于未知信源數的相干信號DOA 估計方法，但該方法直接運用于多分辨率復合陣列中將導致計算量過大的問題。

本文基于解模糊的思想和文獻［15］中的方法，提出了一種改進的基于子陣空間譜聯合的DOA 估計算法，該算法將文獻［15］中的算法拓展至多分辨率復合陣列的DOA 估計中。通過對各子陣構造一個無需信源數的代價函數，免去信源數先驗性信息的需求。考慮到各子陣進行全范圍搜索計算量較大，提出了從單個不模糊區搜索，反推全部模糊角度的改進方案，并利用聯合代價函數匹配的方法，獲得真實的角度估計。該方法有效克服了傳統全空間搜索算法需信源數先驗性信息的缺點，同時通過不模糊區搜索的方式減少計算量。

1 信號模型

考慮由Q個陣元數為2M+1 的均勻直線陣構成的多分辨復合陣列，子陣的陣元m依次為-M，…，0，…M，其拓撲結構如圖1 所示。記第q個子陣的陣元間距為，其中，λ為載頻波長，正整數Zq＞1，且兩兩互質。

圖1 多分辨復合陣列模型Fig.1 Multi-resolution composite array model

假設存在K（K＜Q且K≤M+1）個遠場窄帶信號，其中前Kc個信號為相干信號，第k個信號的波達方向記為θk（θk∈（-π/2，π/2），k=1，2，…，K）。對于相干信號，記第一個信號為s1(t)，則其余相干信號可表示為

第子陣q關于θk的導向矢量為

則第q個子陣接收到的信號可表示為

式中：Nq（t）為均值為0 方差為σ2的高斯白噪聲矩陣；Aq為子陣q所有導向矢量構成矩陣；S（t）為所有信號構成的信號矩陣。

2 基于子陣空間譜聯合的DOA 估計方法

基于子陣空間譜聯合的DOA 估計方法首先對各個子陣進行DOA 估計得到所有的模糊角度，然后利用子陣互質的特性，聯合子陣空間譜剔除虛假角度獲得真實的DOA 估計。

2.1 托普利茲變換

子陣q的協方差矩陣為

基于信號相關的假設，協方差矩陣Rq中的每一個元素可表示為

式中：

選取協方差矩陣Rq的第m行，構造如下形式的托普利茲矩陣：

2.2 未知信源數的DOA 估計

當子陣q不存在模糊時，即Zq=1，對于子陣q構成的2M+1 個托普利茲矩陣，僅有M+1 個矩陣包含不同的統計信息。由于Sqm為滿秩矩陣，因此，可利用這M+1 個托普利茲矩陣進行DOA 估計。在對于第k個信號，總存在矢量bk∈C(M+1)×1，使得bk與剩余K-1 個信號新導向矢量構成的空間相互垂直，可得到

聯立式（9）和式（10）可得

根據式（11）可以假設在不考慮噪聲的條件下，若真實的波達方向為θk，則存在一個尺度因子gqm使得

再考慮噪聲影響，從而有以下優化問題：

由于gq和bk未知，無法通過直接搜索DOA 優化式（13）。因此，需要對式（13）進行簡化，基于文獻［15］的結論，最終可簡化為

通過譜峰搜索的方式即可獲得各個子陣的DOA 估計，然而在多分辨率復合陣列中Zq＞1，使之存在角度模糊問題。

2.3 子陣空間譜聯合

當子陣的陣元間距大于半波長時，即Zq＞1 時，通過子陣得到的波達方向估計值有角度模糊。如果真實角度為θ，模糊角度為θa，則兩者之間存在如下關系：

聯立式（18）和式（19）可得

在多分辨率復合陣列中Zq兩兩互質，因而不存在k1、k2使得等式（19），即僅有K個真實DOA 可同時為Q個子陣的估計值。如圖2 所示，給出了K=2、Q=3 時各子陣的空間譜，其中3 種不同顏色的曲線分別表示3 個子陣全空間搜索得到的空間譜，虛線表示真實波達方向?？煽闯鰞H在真實角度的區間內才存在3 個子陣空間譜譜峰的重疊，且譜峰周期性出現，重復次數為Zq。

圖2 各子陣的空間譜Fig.2 Spectra of subarrays

而采用MUSIC 算法對3 個子陣全空間搜索時，若信源數估計錯誤，各子陣的空間譜無法對所有波達方向進行準確估計。此處設置為1，MUSIC 算法各子陣的空間譜如圖3 所示。從圖3 中可看出，譜峰雖周期性出現，但其重復次數不為Zq，且真實角度的區間內3 個子陣空間譜譜峰并未出現重疊，因此，無法準確估計波達方向。

圖3 MUSIC 算法的各子陣空間譜Fig.3 Spectra of subarrays obtained by the MUSIC algorithm

對子陣q在()范圍內進行未知信源數的DOA 估計，可得其全部模糊角度，假設為Nq(Nq＜Zq?K)個。基于上述結論，其中僅有K個DOA 估計值帶入其余子陣代價函數和式中取小值，公式為

式中：θqn為子陣q的第n個DOA 估計值。

3 改進的快速DOA 估計方法

在不模糊區間中進行DOA 估計，僅有與信源數一致的K個波達方向估計值。利用式（16）可推出剩余模糊角度，減少角度搜索范圍，從而降低計算量。此外，不模糊區域的角度范圍相對于全范圍有所縮減，導致部分子陣中模糊角度間距更近。受信噪比和陣元數影響，算法分辨率較低無法將其區分，使得該子陣不模糊區域內的譜峰數目小于信源數K。因而需要剔除譜峰數量較小子陣，避免影響后續匹配。改進后的未知信源數的DOA 估計算法步驟大致如下：

步驟1利用估計子陣的協方差矩陣，L為快拍數。

步驟2選擇協方差矩陣的前M+1 行構造如式（9）的托普利茲矩陣。

步驟3選擇不模糊區域，計算Fq、Gq(θ)，并利用式（15）求解該不模糊區域的空間譜Pq(θ)。

步驟4對Pq(θ)進行譜峰搜索，得到對應的模糊角度，利用式（17）可推出剩余模糊角度。

步驟5選擇不模糊區域內譜峰數量最大且相等子陣的模糊角度，利用式（21）獲得真實的DOA。

步驟6對各子陣求得DOA 進行排序和平均，得到最終的DOA。

未知信源數DOA 估計單個角度搜索的計算量為O[(2M+1)2N+(M+1)4+5(M+1)3]，若假設快拍數為L，在()范圍內角度步長為Step 所對應的搜索次數為Nstep，則該算法的計算量接近。由于，因此，改進后算法計算量得到較大的降低。

4 仿真試驗及結果分析

本節通過仿真試驗驗證本文所提算法的性能，同時與采用全空間搜索的多重信號分類算法（TSSMUSIC）和采用全空間搜索的Capon 算法（TSSCapon）進行性能對比。在使用TSS-MUSIC 算法及TSS-Capon 算法時，假設信源數目已知。仿真實驗采用多分辨率復合陣列結構，如圖1 所示，子陣數Q為4，子陣陣元數2M+1 為9，各子陣的陣元間距依次為，即Z1=2，Z2=3，Z3=5，Z4=7。設置3 個遠場窄帶信號，其中前2 個為相干信號，DOA 依次為θ1=-5°，θ2=3°，θ3=25°。設置搜索步長為0.05°。

實驗一固定快拍數L為300，基于1 000 次獨立的蒙特卡洛仿真，給出了DOA 估計值的均方根誤差（RMSE）隨信噪比（SNR）變化曲線，如圖4 所示。由圖可知，在SNR 較小時（＜0 dB），本文所提出的算法的RMSE 大于其他2 種算法。但當SNR大于6 dB 時，該算法的RMSE 則明顯低于其他2 種算法。當SNR 大于15 dB 時，該算法的RMSE 僅為TSS-MUSIC 算法和TSS-Capon 算法1/2。

圖4 DOA 估計的均方根誤差與SNR 關系Fig.4 Relation between the RMSE estimated by the DOA and the SNR

實驗二固定快拍數L為300，基于1 000 次獨立的蒙特卡洛仿真，以搜索步長的一半，即0.025°作為DOA 估計的分辨成功率，給出了DOA 估計的分辨成功率（Success Rate）隨信噪比（SNR）變化曲線，如圖5 所示。由圖5 可以看出，本文提出的算法在SNR 為-5 dB 到0 dB 時，分辨成功率均較低，當SNR 大于0 dB 時，則分辨成功率均快速提高。在分辨成功率為98%時，相比于TSS-Capon 算法，本文提出的算法SNR 改善了5 dB 以上。雖然相對于TSS-MUSIC 算法SNR 無改善，但需注意的是，TSS-MUSIC 算法是在信源數目估計正確的情況下達到98%的分辨成功率，而本文提出的算法無需信源數目先驗信息。

實驗三固定SNR 為10 dB，快拍數L=［40，60，80，100，150，200，30，500，900］，基于1 000 次獨立的蒙特卡洛仿真，給出DOA 估計值的均方根誤差（RMSE）隨快拍數變化，如圖6 所示。由圖6 可看出，快拍數L＜60 時，本文所提出算法的RMSE 大于其他2 種算法，但隨著快拍數的增加該算法的RMSE 逐漸降低，而TSS-Capon 算法和TSS-MUSIC 算法則沒有明顯改善。當L＞150 時，本文提出算法的RMSE 明顯低于其他2 種算法。

圖5 DOA 估計的分辨成功率與SNR 關系Fig.5 Relation between the success rate estimated by the DOA and the SNR

圖6 DOA 估計的均方根誤差與快拍數關系Fig.6 Relation between the RMSE estimated by the DOA and the number of snapshots

實驗四固定SNR 為10 dB，快拍數L=［40，60，80，100，150，200，30，500，900］，基于1 000 次獨立的蒙特卡洛仿真，以搜索步長的一半，即0.025°作為DOA 估計的分辨成功率，給出了DOA 估計的分辨成功率隨快拍數變化曲線，如圖7 所示。由圖7可以看出，TSS-Capon 算法的DOA 估計的分辨成功率均變化平緩，并逐漸趨于72.4%，而本文提出的算法和TSS-MUSIC 的DOA 估計的分辨成功率均則隨著快拍數的增加快速提高，當快拍數L為300時，2 種算法的分辨成功率達到99.2%。

圖7 DOA 估計的分辨成功率與快拍數關系Fig.7 Success rate of DOA estimation versus snapshots

從仿真結果可以看出，在高信噪比、多快拍數的條件下，本文所提出的算法DOA 估計精度優于TSS-MUSIC 算法和TSS-Capon 算法。而在信噪比較低、快拍數較少的條件下，本文所提出的算法DOA 估計略差于TSS-MUSIC 算法和TSS-Capon算法。這是由于未知信源數相干信號DOA 估計算法在信噪比較低、快拍數較少時分辨率較低，導致部分子陣列DOA 估計中無法區分兩相鄰信號，在步驟5 被剔除，信息未被使用，因而性能受到影響。

5 結束語

本文研究了基于多分辨率復合陣的未知信源數相干信號DOA 估計問題。將未知信源數相干信號DOA 估計方法擴展至多分辨率復合陣列中，針對多分辨率復合陣列的信號特點，通過各子陣的不模糊區間搜索，反推其余模糊角度的方式減少計算量，并利用利用匹配的方式實現未知信源數DOA估計。仿真結果表明，在高信噪比、多快拍數的條件下，本文所提出的算法DOA 估計精度優于TSSMUSIC 算法和TSS-Capon 算法。后續可嘗試利用求根公式替代空間搜索，從而進一步減少計算量。