基于勵磁位姿控制的機械球關節系統控制策略研究

陳健， 楊麗榮， 巫麗萍

（江西理工大學，江西 贛州341000）

0 引 言

隨著電力電子技術和傳感器技術的發展，機器人領域正處于空前的發展繁榮期，發那科、ABB、嘉騰電子、川崎等機器人公司層出不窮，就目前而言，波士頓公司旗下的機器人產品技術相對成熟，不管是其結構還是智能化程度，都會更加貼近機器“人”的概念。但在現有的機器人學中，多是對現有的機器人結構進行分析研究，包括靜力學和動力學建模、智能控制系統的設計及空間軌跡規劃等，而對于機器人的關節結構設計及其優化控制策略卻鮮有研究文章。

由于旋轉電動機的技術相對成熟，在目前的工業生產中廣泛使用的是臂式機器人（或稱機械臂），絕大多數采用的是傳統的電動機驅動的旋轉關節。但不可否認的是，利用電動機驅動的不足之處在于電動機驅動系統體量較大，功重比較低；同時也會使機械臂的機動度受到一定制約，通常只能依靠串聯更多的關節以提高機動度，致使系統的運動誤差增大、驅動控制難度上升，為后期的機械臂動力學研究帶來不便。對于仿生機械的設計，王曉磊等[1]提出了串并混聯機構，楊龍等[2]提出了并聯踝關節機構，金國光等[3]給出了球面變胞仿生關節機構優化設計思路，但其設計結構相對復雜，不利于機器人的小型化設計和運動控制。

本文以機器人關節結構的創新設計為出發點，借鑒文獻[4]給出的3自由度球形關節電動機的研究成果，研究基于勵磁位姿控制的機械球關節系統的控制策略。球關節結構在文獻[5]中已有相關專利，并且在一些機械手腕關節設計中已得到運用，本文在此基礎上結合勵磁優化控制方式對球關節控制進行深入分析。

1 球關節系統結構

球關節系統由連桿A、連桿B和球關節組成，球關節系統結構如圖2所示。連桿A連接在關節帽上，連桿B固連于球關節上，為避免產生渦流及磁場紊亂，關節帽和球關節可以采用非磁性材料，內部均勻分布有若干勵磁線圈。夏鯤[6]給出的球形電動機模型，其結構如圖1所示，在關節帽及球關節內部的每條球母線上均勻分布有若干勵磁線圈。

球關節系統結構如圖2所示。在圖中建立一個笛卡爾坐標系，并固連于連桿A上，球關節繞X軸旋轉時，使球關節內部勵磁線圈通電順序在YOZ平面內移動。同理，若需要實現球關節繞Y軸或Z軸旋轉時，只需線圈通電順序在ZOX或XOY平面內移動。同理，在球關節繞任意軸旋轉一定角度時，僅需要將旋轉動作進行分解，從而轉化為繞X、Y、Z軸的旋轉量。

圖1 球形電動機線圈布置圖

圖2 球關節系統結構圖

對于空間內任意的機械結構，其自由度可由修正后的CGK公式（Dai et al,2006）計算：

式中：d為機構的階數，對于空間機構d=6；l為連桿數（包括基座）；n為關節總數；fi為第i個關節的自由度數；ν為機構的虛約束數；ζ為局部自由度數。

根據計算，球關節共有3個自由度，即繞Y軸旋轉360°，由于繞X、Z軸旋轉方向存在行程約束，即可以分別繞X、Z軸旋轉α角。而空間中機器人達到任意位姿所需要的自由度為6，只需要將2個球關節串聯即可實現，這就證實了球關節結構可以增加自由度，提高機器人的靈活性。

2 球關節結構的運動動力學分析

2.1 球關節驅動力求解

勵磁位姿控制是利用電磁吸附原理實現的，當兩線圈通電時，若磁通方向相同，根據磁路最短原理，兩線圈會相互吸引，改變其中一個通電線圈位置，則另一個線圈會跟隨之運動，從而達到位姿控制的目的。

對于一個通電線圈，其磁通量Φ可由下式近似計算：式中：n為各線圈沿桿A的分量矩陣；N為線圈匝數；I為通入的電流；Le為有效磁通長度。

則此時球關節的通電線圈產生的電磁吸力為F，可以由下式近似計算：

式中，R為球關節半徑。

因此，當球關節內部的線圈點陣按一定要求通以脈沖電流時，球關節就會隨著脈沖電流的通電位置變化而發生傳動，結合距離傳感器的反饋信號獲得關節位姿[7]，從而實現勵磁位姿控制。

2.2 球關節系統運動學建模

通常，對于傳統的旋轉、移動關節機器人的運動學模型，可以利用雅可比矩陣求解機器人的逆運動學方程，從而得到笛卡爾空間的位姿與關節空間的各關節角的映射關系。為了簡化球關節的運動控制系統，考慮到球關節的運動可以分解為3個獨立的旋轉運動，將1個球關節等效為3個彼此鄰近的轉動關節，利用雅可比矩陣，建立基于球關節的逆運動學方程，得到笛卡爾空間下的位姿在關節球面上的映射關系。

為了方便分析，將球關節展開成一個平面內的圓形。根據球關節內側由線圈構成的點陣分布，按一定的運動要求依次給線圈通電，形成移動磁場，如圖3所示。

由控制器控制線圈通電位置往上移動距離x，移動速度為v，由于連桿A末端通電線圈固定，球關節將往反方向旋轉相應的角度，根據弧長公式，可以得到關節旋轉角與關節角速度θ˙。

圖3 球關節平面展開圖

對于球關節下的機器人運動學，本文將球關節近似等效為3個彼此鄰近的轉動關節進行分析，即對于2個球關節a、b串聯而成的空間6自由度機器人，通過雅可比矩陣可以得到每一個笛卡爾空間位姿對應的關節空間姿態，即

式中：R為兩球關節的半徑；xa、va為a球關節的控制因子；xb、vb為b球關節的控制因子。

由此可以實現從笛卡爾空間到關節空間再到球坐標空間的轉化，得到笛卡爾空間在關節球坐標空間的映射關系，從而得到驅動器的控制因子x和v。

3 步距角細分優化控制

由于現階段的技術限制，無法在球關節有限的空間中布置大量的勵磁線圈，因此關節控制的分辨率無法保證，根據文獻[8]步進電動機細分驅動控制研究，步進電動機的控制方式多數采用了步距角細分原理，從而提高了運動精度。同理，在球關節運動控制中，也可以采用驅動器步距角細分來實現優化控制，提高關節運動的分辨率，其控制原理如圖4所示。由控制器發出脈沖電流信號，通過改變脈沖數和脈沖頻率分別控制關節轉動角度和轉速。結合預先設定的球關節運動方向，經過細分電路和功率放大，輸出作為線圈點陣的驅動控制信號。

圖4 步距角細分控制原理

當球關節內部線圈以全電流切換供電時，切換通電線圈，關節移動一步；若切換時不以全電流立即切換，而是進行半步切換，即切換前后兩線圈均通入脈沖幅值相等的電流，則關節會移動半步，依此類推，脈沖細分工作如圖5所示。

圖5 脈沖細分工作圖

圖5中，（i, j-1）線圈先通電一個脈沖周期，然后（i, j-1）線圈和（i, j）線圈同時通電一個脈沖周期，再切換到（i,j）線圈通電一個脈沖周期，然后（i, j）線圈和（i, j+1）線圈同時通電，之后再切換到（i, j+1）線圈通電，依此類推。球關節由初始角轉到終止角，從而實現球關節運動步距角細分優化控制。

4 結 論

采用勵磁位姿控制的球關節結構設計可以解決傳統關節的自由度不足的問題，提高機器人的機動性，有利于機器人的小型化。在機器人球關節控制中引入步距角細分的策略，可以改善關節的運動精度，提高運動平穩性。基于勵磁位姿控制的機械球關節可以運用于仿生機器人設計、人機融合、醫療引導康復等，為機器擬人化設計提供了新的方案。但由于本文在進行運動學分析時將球關節結構近似等效為3個彼此相鄰的轉動關節，其運動學分析仍采用傳統的雅可比矩陣的分析方法，具有一定的局限性，在后續的研究工作中可以進一步改進。