自主評介遷移 提升核心素養*

■馬全來

題目已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,且橢圓C上的點到橢圓右焦點F的最小距離為。

(1)求橢圓C的方程。

(2)過點F且不與坐標軸平行的直線l與橢圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點,直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,若kOA,-kOM,kOB成等差數列,求直線l的方程。

進一步考慮：是否過任意標準橢圓的焦點F,都存在一條直線l與橢圓C交于A,B兩點(線段AB的中點為M,O為坐標原點),使得直線OA的斜率kOA,直線OM的斜率的相反數-kOM,直線OB的斜率kOB成等差數列? 從而得到問題1。

問題1：已知橢圓0)的右焦點為F,過點F且不與坐標軸平行的直線l與橢圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點,直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,是否存直線l,使kOA,-kOM,kOB成等差數列? 若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由。

經解答求證,問題1存在滿足題意的直線。

我們知道,橢圓是解析幾何中一類特殊的曲線,那么能不能把這個結論推廣到更為一般的情況? 即該問題是否對解析幾何中的其他曲線也成立呢? 從而得到問題2、問題3。

問題2：已知圓C：x2+y2=r2(r＞0)內一定點F(m,0)(0＜m＜r),過點F且不與坐標軸平行的直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點,直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,是否存直線l,使kOA,-kOM,kOB成等差數列?若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由。

問題3：已知拋物線C：y2=2px(p＞0)的焦點為F,過點F且不與坐標軸平行的直線l與拋物線C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點,直線OA,OM,OB的斜率分別為kOA,kOM,kOB,是否存直線l,使kOA,-kOM,kOB成等差數列? 若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由。

經解答求證,問題2 存在滿足題意的直線,問題3不存在滿足題意的直線。

結語：我們在原題的基礎上展開對問題1至問題3的探究,這樣,會使同學們在探究問題的過程中經歷梳理知識、提煉方法、感悟思想的研究過程,對同學們的直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養的有效訓練與提升均有很大幫助。