函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學解題中的應用

■段 蕾

在解答高中數(shù)學問題時,函數(shù)與方程思想是一種比較常用的數(shù)學思想,同學們掌握該數(shù)學思想后,可以靈活地找到數(shù)學解題思路,強化數(shù)學學習能力。同時采用函數(shù)與方程思想,可以讓同學們更好地找到函數(shù)與方程之間的相互聯(lián)系,通過構(gòu)建相應的函數(shù)模型、方程模型輕松地解決問題。

一、函數(shù)與方程思想的概述

函數(shù)與方程思想主要是對題目中的相關信息進行分析,找出隱藏的數(shù)量關系,或者借助函數(shù)的各種性質(zhì),如周期性、單調(diào)性來解決數(shù)學問題。在高中數(shù)學解題時,注重函數(shù)與方程思想的應用是很有必要的,首先,函數(shù)與方程思想可以幫助同學們更加全面地了解數(shù)學結(jié)構(gòu),能讓同學們清晰地進行邏輯推理,有助于同學們梳理、重組學到的數(shù)學知識；其次,函數(shù)與方程思想還可以促進同學們形成良好的數(shù)學思維方式及邏輯思維,這對于同學們今后的發(fā)展會有極大的幫助；最后,函數(shù)與方程思想還可以提高同學們的數(shù)學解題自信心,有助于同學們更加主動地參與到數(shù)學解題中。

二、高中數(shù)學解題中函數(shù)與方程思想的應用

1.在等差數(shù)列含參問題中的應用。

例如：已知數(shù)列{an}的通項公式符合6n2-(t+3an)n+2an=0(t∈R),問：t為 多少時數(shù)列{an}為等差數(shù)列?

分析：同學們在解答這一問題時,可以采用函數(shù)與方程的思想,先分別代入n=1,2,3,求出a1,a2,a3；然后通過2a2=a1+a3得出關于t的方程,求出t值；最后將t值代入題目中給出的等式,驗證數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列。假設數(shù)列{an}的通項公式是an=kn+b,代入題目給出的條件得出6n2-[t+3(kn+b)]n+2(kn+b)=0(t∈R),優(yōu)化公式得出(6-3k)n2+(2k-3b-t)n+2b=0。由于n的多項式對于n∈N*恒成立,因此存在多項式的各項系數(shù)為0 的情況,即,解得k=2,b=0,t=4。所以當t=4時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列。

2.在幾何問題中的應用。

例如：已知拋物線y2=4x與直線l相交于A,B兩點,與圓C：(x-5)2+y2=r2(r＞0)相切于M點,同時M為AB的中點,如果這樣的直線l正好有4 個,則r的取值范圍是多少?

分析：同學們在解答本題時,可以從函數(shù)與方程的思想出發(fā),假設直線l的方程是x=ty+m,A,B兩點的坐標分別是(x1,y1),(x2,y2)。將直線l的方程代入拋物線中,得出y2-4ty-4m=0,則Δ=16t2+16m＞0,y1+y2=4t,y1y2=-4m,那么x1+x2=(ty1+m)+(ty2+m)=4t2+2m,可以得出點M的坐標為(2t2+m,2t)。結(jié)合題目信息可知,直線MC與直線AB垂直,點C為(5,0),t≠0 時,kMC·kAB=-1,整理得m=3-2t2,代入Δ=16t2+16m＞0,得0＜t2＜3。圓心C到直線AB的距離是半徑,即。當2＜r＜4時,滿足題意并且不與x軸垂直的直線有2個；當t=0時,斜率不存在,這樣的直線l正好有2個,即x=5±r。

綜上所述,當2＜r＜4時,直線l正好有4個。

總結(jié)：總而言之,函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學解題中一種十分重要的思想,同時在高考數(shù)學中,考查函數(shù)與方程思想的題目也比較多,所以同學們在學習時,應掌握函數(shù)與方程思想的本質(zhì),并靈活應用這一思想解決實際問題,以促進數(shù)學解題水平的提升。