淺談導數在高中數學解題中的應用

■李 劍

在高中數學中,函數是一個十分重要的知識點,同時函數問題涉及的范圍十分廣泛,出題方式多樣化,有很多同學面對多種多樣的函數問題會感覺十分頭疼,不知道如何下手。而導數則是解決函數問題的好途徑,與其他方式相比較,用導數解決函數問題會更加簡單、便捷。在高中數學解題中,應用導數可以解決很多問題,特別是關于函數的問題、曲線方程問題,通過導數能獲得良好的解題效果。因此,在解答高中數學問題時,同學們可以靈活應用導數來解決問題,以此促進同學們數學學科素養的提升。

一、在函數最值問題中的應用

最值問題是高中函數問題中比較常見的問題之一,不管是日常練習,還是在考試中,都會涉及最值問題,在實際解題時,同學們可以利用導數來解決函數最值問題。

例如：函數f(x)=-x2-2x+3在[a,2]中的最大值是,求a的值。

分析：這一問題是最基本的求值問題,同學們在解題過程中,如果通過圖形或者一元二次方程根的方式求解,會顯得十分麻煩。對此可以從導數的角度入手進行求值。函數f(x)=-x2-2x+3的導數為f′(x)=-2x-2,令f′(x)=0,可求得x=-1。當a≤-1時,函數f(x)的最大值是f(-1)=4,不符合題意；當-1＜a＜2 時,函數f(x)在[a,2]上單調遞減,求得最大值為f(a)=,從而求得。

二、在函數單調性問題中的應用

函數單調性問題也是高中數學中比較常見的問題之一,在解決函數單調性問題時,主要是通過單調性的定義進行判斷,而導數的應用可以為函數的單調性判斷提供更加簡便的方法。利用導數解決函數單調性問題的主要原理是：對于函數f(x),如果它的導數f′(x)在自變量區間大于0,則函數f(x)呈單調遞增,反之則單調遞減。

分析：在解答這道題目時,如果僅依靠單調性的定義來解答,會顯得十分困難,可以從導數的角度入手。由于f(x)的定義域是(0,+∞),f(x)的導數是,對其進行分類討論：如果a-1=1,即a=2 時,f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增。如果0＜a-1＜1,則1＜a＜2,當x∈(a-1,1)時,f′(x)＜0；當x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)時,f(x)′＞0。因此,f(x)在(a-1,1)上單調遞減,在(0,a-1)及x∈(1,+∞)上單調遞增。如果a-1＞1,則a＞2,可得f(x)在(1,a-1)上單調遞減,在(0,1)和(a-1,+∞)上單調遞增。

總而言之,在高中數學知識體系中,導數具有十分重要的作用,如果同學們牢固地掌握導數知識,并且能靈活地應用導數知識解決問題,就可以有效提高數學學習效果。因此,在實踐中,同學們要充分把握導數的本質,并能很好地利用導數解決數學問題。