基于超前倒向隨機微分方程的動態(tài)風(fēng)險度量

陳 威,李志民,張雪峰

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

1 引言

金融系統(tǒng)中傳統(tǒng)的風(fēng)險度量方法注重在一定概率空間上由隨機變量描述不確定收益,在這種情況下,付款通常被認為是貼現(xiàn)的,時間對于風(fēng)險度量來說并不重要.然而,貨幣的時間價值可以通過一個簡單的折現(xiàn)過程來解決的假設(shè)在很多情況下過于局限.基于傳統(tǒng)風(fēng)險度量所存在的問題,Artzner等[1]在公理化的假設(shè)下,討論了一致性風(fēng)險度量的方法.F?llmer和Schied[2]對一致性風(fēng)險度量的概念進行延伸,引入了凸風(fēng)險度量的概念.

Frittelli和Rosazza Gianin[3]在此基礎(chǔ)上討論了一組定義凸風(fēng)險度量的公理,其中將貨幣風(fēng)險度量與傳統(tǒng)的效用函數(shù)區(qū)別開的一個主要公理是現(xiàn)金不變性.出于監(jiān)管目的,現(xiàn)金不變性給出了風(fēng)險度量最小資本要求的解釋,但它也假定未來的償付和目前的資本儲備是用相同的數(shù)字表示的,因此現(xiàn)金不變性不允許人們處理貼現(xiàn)不確定性的問題.為了彌補這一缺點,El Karoui和Ravanelli[4]用現(xiàn)金次可加性取代了現(xiàn)金不變性.在此基礎(chǔ)上,Cheridito等[5]考慮在整個時間間隔內(nèi)度量價值未來演化的風(fēng)險來解決貼現(xiàn)不確定性,并提出了過程的一致性和凸風(fēng)險度量.隨機過程的框架允許人們放松現(xiàn)金不變性的公理且不丟失風(fēng)險度量作為最低資本要求的解釋.同時,Riedel[6]、Bayraktar[7]、Cheng和Riedel[8]對貨幣時間價值的不確定性做出了解釋.Acciaio等[9]引入的過程的風(fēng)險度量為處理模型的模糊性提供了一個自然地框架,并在離散時間框架下引入了過程凸風(fēng)險度量的魯棒表示.Jiang[10]在對生成元的適當假設(shè)下,建立基于g-期望的相關(guān)過程的風(fēng)險度量.

為解決模型的模糊性以及貨幣時間的不確定性,Penner和Réveillac[11]提供了一種連續(xù)時間的風(fēng)險度量方法,并建立了過程的風(fēng)險度量和倒向隨機微分方程之間的聯(lián)系.Peng和Yang[12]在倒向隨機微分方程(簡稱:BSDEs)和隨機時滯微分方程(簡稱:SDDEs)的基礎(chǔ)上引入了一類新的隨機微分方程—超前倒向隨機微分方程(簡稱:超前BSDEs),考慮其生成元包含當前和未來時刻的解,證明方程解的存在唯一性,并對解的比較定理進行研究.Xu和Chen[13]對超前BSDEs生成元滿足隨機Lipschitz條件的情況進行研究,得到了超前BSDEs解的存在唯一性和比較定理.在對有限或無限時間間隔內(nèi)的BSDEs生成元的適當假設(shè)下,Ji等[14]建立了基于BSDEs的過程的動態(tài)風(fēng)險度量模型,證明了BSDEs生成元與過程的動態(tài)風(fēng)險度量的對應(yīng)關(guān)系.

文獻[14]中BSDEs的生成元只包含當前t時刻的解,即通過BSDEs定義的風(fēng)險度量只能度量當前時刻的風(fēng)險,并不能對未來時刻的風(fēng)險做預(yù)測,這限制了理論的進一步的應(yīng)用.為此本文考慮生成元中包含將來時刻的解,在此模型下通過對超前BSDEs生成元進行適當假設(shè),建立基于超前BSDEs的過程的動態(tài)風(fēng)險度量的模型,研究超前BSDEs生成元與過程的動態(tài)凸(一致性)風(fēng)險度量的一一對應(yīng)關(guān)系.全文結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)回顧過程的動態(tài)風(fēng)險度量的有關(guān)符號和概念以及時間相容性的概念;第3節(jié)考慮一種類型的超前BSDEs并對超前BSDEs生成元做適當假設(shè),建立了基于超前BSDEs的過程的動態(tài)風(fēng)險度量的模型;第4節(jié)證明了超前BSDEs生成元與基于超前BSDEs的時間相容的過程的動態(tài)凸(一致性)風(fēng)險度量的對應(yīng)關(guān)系;第5節(jié)是對具體例子進行分析并對文章做一個整體性的總結(jié).

2 動態(tài)風(fēng)險度量的定義及符號

設(shè)T∈[0,∞],(?,F,P)是T上的完備概率空間,(Wt)(t≥0)是定義在該空間上的d維標準維納過程,(Ft)(t≥0)是由(Wt)(t≥0)生成的σ域流.對任意的z∈Rn,記kzk為歐式范數(shù),記W(Rn)是所有Rn值,Ft循序可測過程構(gòu)成的空間.

定義過程的空間如下

考慮動態(tài)框架下的風(fēng)險度量,x∈R∞表示為一個模擬某種金融資產(chǎn)演化的價值過程,過程m1[t,T]表示時間t≤T時一次支付m單位的現(xiàn)金.對?0≤t≤s≤T,x∈R∞,r∈[0,T],定義映射π(t,s):R∞→R∞如下

為進一步明確風(fēng)險度量,我們引入文獻[11]中有關(guān)過程的動態(tài)一致性風(fēng)險度量的符號.

定義2.1對所有的當t∈[0,T]時的映射滿足下列性質(zhì)時,映射ρt被稱為過程的條件一致性風(fēng)險度量:

(1)(條件現(xiàn)金不變性)對?m∈L∞(?,Ft,P),有ρt(X+m1[t,T])=ρt(X)?m.

(2)(條件正齊次性)對?t∈[0,T],有ρt(X1+X2)≤ρt(X1)+ρt(X2).

(3)(單調(diào)性)如果X1≤X2,則ρt(X1)≥ρt(X2).

(4)(正則性)ρt(0)=0.

對任意的t∈[0,T],如果映射是過程的條件一致性風(fēng)險度量,那么序列(ρt)t∈[0,T]稱為過程的動態(tài)一致性風(fēng)險度量.

考慮到一致性風(fēng)險度量存在的局限性,為了更廣泛的研究金融市場的風(fēng)險度量問題,我們接下來引入過程的動態(tài)凸風(fēng)險度量的概念.

定義2.2對所有的當t∈[0,T]時的映射滿足下列性質(zhì)時,映射ρt被稱為過程的條件凸風(fēng)險度量:

(1)(條件現(xiàn)金不變性)對?m∈L∞(?,Ft,P),有ρt(X+m1[t,T])=ρt(X)?m.

(2)(條件凸性)對所有的λ∈L∞(?,Ft,P),有ρt(λX1+(1? λ)X2)≤λρt(X1)+(1?λ)ρt(X1).

(3)(單調(diào)性)如果X1≤X2,則ρt(X1)≥ρt(X2).

(4)(正則性)ρt(0)=0.

對任意的t∈[0,T],如果映射是過程的條件凸風(fēng)險度量,那么序列(ρt)t∈[0,T]稱為過程的動態(tài)凸風(fēng)險度量.

容易驗證一個過程的條件一致性風(fēng)險度量同樣也是一個過程的條件凸風(fēng)險度量.對X∈R∞,記ρt(X)=ρt(π(t,T)(X)),然后引入時間相容的概念.

定義2.3對任意的s∈[t,T],t∈[0,T],X∈R∞,若過程的動態(tài)風(fēng)險度量(ρt)t∈[0,T]滿足:ρt(X)=ρt(X1[t,s)? ρs(X)1[s,T]),則稱過程的動態(tài)風(fēng)險度量(ρt)t∈[0,T]是時間相容的.

3 超前BSDEs的基本假設(shè)和主要結(jié)論

考慮下面一種類型的超前BSDE:

其中α(·):[0,T]→R+與β(·):[0,T]→R+是滿足下面條件的連續(xù)函數(shù):

(a)存在某一常數(shù)K≥0,使得對任何t∈[0,T],

(b)存在某一常數(shù)C≥0,使得對任何t∈[0,T]及非負可積函數(shù)f(·),

(1)g在(y,z,ξ,η)上是隨機Lipschitz連續(xù)的,即存在四個正的Ft循序可測隨機過程:?1(t),?2(t),φ1(t),φ2(t),對任意的t∈[0,T],y1,2∈Rm,z1,2∈Rm×d,ξ1,2∈有

為了強調(diào)對于給定過程X∈R∞的依賴關(guān)系,我們有時候也可以用超前BSDE(X)來表示超前BSDE(3.2),用Yt(X)表示超前BSDE(X)在時刻t的解Y(t,T)(X).由超前BSDE(X)解的唯一性,我們得到Y(jié)t(X)=Yt(π(t,T)(X)),這是符合約定的ρt(X)=ρt(π(t,T)(X)).對于s∈[t,T],也用Y(t,s)(X)表示[0,s]上的超前BSDE(X)在時刻t的解.相應(yīng)地,Y(t,s)(X)=Y(t,s)(π(t,T)(X)).

現(xiàn)在研究基于超前BSDEs的時間一致的過程的動態(tài)風(fēng)險度量與超前BSDEs生成元之間的關(guān)系,得到下面定理.

定理3.1設(shè)生成元g滿足假設(shè)條件(1)～(5),超前BSDE(3.2)的解(Yt(X),Zt(X))t∈[0,T]通過ρt(X)=Yt(X),t∈[0,T],X∈R∞定義了時間相容的過程的動態(tài)凸風(fēng)險度量.

定理3.2設(shè)生成元g滿足上述假設(shè)條件(1),(2),(4),(6),(7),超前BSDE(3.2)的解(Yt(X),Zt(X))t∈[0,T]通過ρt(X)=Yt(X),t∈[0,T],X∈R∞定義了時間相容的過程的動態(tài)一致性風(fēng)險度量.

4 主要結(jié)論的證明

本節(jié)將給出上面兩個定理的證明過程.為證上述定理,我們首先給出下面一個引理.

引理4.1設(shè)生成元g滿足上述假設(shè)條件(1),(2)并且X∈S2,那么存在唯一一對適應(yīng)過程(Yt(X),Zt(X))t∈[0,T]是超前BSDE(3.2)的解.

證對任意X∈S2,定義一個新的函數(shù)

明顯地,lX(t,y,z,ξ,η)t∈[0,T]是循序可測的,并且容易驗證lX滿足假設(shè)(1).根據(jù)文獻[13],

要想證明超前BSDE(3.2)有唯一解,只要證明lX滿足假設(shè)(2).事實上,對任意X∈S2,由假設(shè)(1)可以得到

因此,

因此,lX滿足假設(shè)(2),引理得證.

定理3.1的證明為證明凸性,設(shè)X0,X00∈R∞,(Y0,Z0),(Y00,Z00)滿足下面超前BSDEs:

根據(jù)超前BSDE(3.2)解的存在性與唯一性,對任意的t∈[0,T],X∈R∞,r∈L∞(?,Ft,P),r≥0,有rYt(X)=Yt(rX).條件正齊次性得證.

5 例子及討論

由上面兩個例子可以知道,時間相容的過程的動態(tài)一致性風(fēng)險度量也是一個時間相容的過程的動態(tài)凸風(fēng)險度量,反之不成立.因此,在對金融市場做風(fēng)險評估時,更多的選擇凸風(fēng)險度量.由于超前BSDEs生成元中不僅包含當前時刻的解的情況,也包含未來時刻的解的情況,因此其可以把將來不確定的目標變?yōu)楫斍按_定的結(jié)果來做出當前的決定.通過超前BSDEs定義的時間相容的過程的風(fēng)險度量不僅可以對金融市場的當前的風(fēng)險做更加準確評估,同時可以預(yù)測未來時刻存在的風(fēng)險,這在金融市場中有著十分廣闊的應(yīng)用前景.