銳角三角函數拓展探究類問題例析

盧會鑫

[摘 要]中考是選拔性考試，初高中銜接的內容常作為中考的拓展探究題出現，既考查了初中數學知識，也考查了學生運用知識的能力.文章對銳角三角函數拓展探究類問題進行分析探討，以開闊學生的視野，培養學生分析問題與解決問題的能力.

[關鍵詞]銳角;三角函數;拓展探究類問題

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）32-0024-02

高中階段，銳角三角函數會擴展到任意角的三角函數，學習三角函數的半角、倍角、和差公式等，并把三角函數作為一種函數，畫出正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數的圖像，研究這些函數的性質.中考是選拔性考試，初高中銜接的內容常作為中考的拓展探究題出現，既考查了初中數學知識，也考查了學生運用知識的能力.銳角三角函數部分就出現了以下的拓展探究類問題.

一、從銳角三角函數到任意角三角函數

銳角三角函數是放在直角三角形中進行定義的，任意角的三角函數是把角放在平面直角坐標系中，讓角的始邊與x軸的正半軸重合，頂點與坐標原點重合，讓角的終邊繞頂點做逆時針旋轉，然后在角的終邊上任取一點的坐標（x，y），這點到原點的距離為r，于是定義這個角的正弦為y：r，這個角的余弦為x：r，這個角的正切為y：x，這樣就使任意角都有了三角函數值，它是根據點的坐標來求三角函數值的.

二、從直角三角形邊與邊的比到等腰三角形邊與邊的比

銳角三角函數反映的是直角三角形中邊與邊的比，這是因為在直角三角形中，當一個銳角固定時，這個直角三角形的形狀也固定了，根據相似三角形的判定與性質，我們根據這個銳角度數畫出的所有直角三角形都相似，即這個直角三角形的三邊的比也被確定.按同樣的道理，在等腰三角形中，當一個頂角或底角固定時，這個等腰三角形的形狀也就固定了，我們根據這個頂角或底角畫出的所有等腰三角形都相似，即這個等腰三角形的三邊之比也被確定.利用這一點，我們也可以在等腰三角形中建立角與邊的對應關系，這也是三角函數關系.

三、從任意三角形的銳角到直角三角形的銳角

求任意三角形銳角的三角函數值，如銳角三角形或鈍角三角形，通常有兩種方法：（1）需要作高構造兩個直角三角形，通過解兩個直角三角形求解;（2）將任意三角形中的銳角用等角代換，通過求與之相等的角的三角函數，得到所求角的三角函數.但是在網格中，當連接格點而成的兩條線段相交時，它們的夾角在網格中，夾角的頂角并不是格點，此時求夾角的三角函數值并不容易，需要通過平行線將夾角轉化為以格點為頂角的角.

評注：本題第2小題雖然通過平行線將所求角轉化為以格點為頂點的角，但是它并不是直角三角形的銳角，這時需要通過作高進行再次轉化，從這里我們看到，對于網格里兩條連接格點線段的夾角，都可以通過等角轉化求出它的三角函數值.

對于銳角三角函數的拓展探究類問題，還包括倍角三角函數探究、半角三角函數探究、角差角三角函數探究、銳角三角形與正弦定理、銳角三角函數與余弦定理等，它們都是對銳角三角函數的有益拓展，既開闊了學生的視野，也培養了學生分析問題與解決問題的能力，同時也實現了初高中數學的有效銜接，可謂一舉多得.

（責任編輯 陳 昕）