例析用不等式組解決生活中的方案設計問題

林秋霞

[摘 要]一元一次不等式是初中數學的重要內容，也是中考數學重要的考點，其在解決生活中的方案設計問題中有諸多應用.結合例題，歸類分析應用不等式組解決生活中的方案設計問題的方法，以鞏固學生的不等式組知識，使學生體驗數學的應用價值，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力.

[關鍵詞]不等式組;方案設計;生活

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）32-0026-02

一元一次不等式是指只含有一個未知數，且未知項的次數是1的不等式，由兩個或多個一元一次不等式可組成一元一次不等式組.一元一次不等式組在解決生活中的方案設計問題中有諸多應用.生活中的方案設計問題包括購車方案設計，停車車位方案設計，采購木板加工方案設計，貨物運輸中運費最低方案設計，等等.在解決這類問題時，可根據實際情況，列不等式組求出未知數的取值范圍，然后再取不等式組的非負整數解，從而形成多種可實施的方案，在若干個方案中選擇最優方案.

一、購車方案的確定

環保問題越來越成為人們關注的焦點，各大城市的公交車都在進行升級換代，把原來污染嚴重的燃油車換成節能環保的電動汽車.已知兩種節能環保車的年載客量，在不超過一定購車費用，且兩種環保車的年運客量不能低于原來的年運客量，公交公司該如何購車最省錢？通過建立一元一次不等式組可以解決這類購車問題.

[例1]南陽市市政公司要購買10輛節能環保車，包括W型和U型兩種，如果用400萬元能購買1輛W型公交車和2輛U型公交車，用600萬元能購買3輛W型公交車和2輛U型公交車.

（1）一輛W型公交車的單價是多少萬元？一輛U型公交車呢？

（2）W型公交車和U型公交車的車運客量不同，分別為60萬人次和100萬人次.如果用不多于1200萬元的費用購進10輛這兩種公交車，總運客量也不能低于680萬人次，有哪些方案可供選擇？

（3）要使購車的費用最少，應選用哪種方案？

評注：本題是方程組的應用與不等式組應用的綜合類試題，在方程組應用里求出的數據會在不等式組應用里使用，確定最佳方案也是比較前面確定的幾種方案，所以它們是環環相扣的三步，計算過程不能出錯，否則一步錯，步步錯.

二、運輸方案的確定

貨物運輸包括原料采購與產品輸出，運輸方式在陸地上主要是指鐵路與公路，已知公路與鐵路的運輸單價，公路與鐵路的運輸里程，如何算鐵路總運費與公路總運費，確定原料采購與產品輸出的方案呢？需要建立一元一次不等式組，在不等式組的解集里尋找非負整數解.

[例2]如圖1，興發農產品加工廠與A，B兩地的公路、鐵路相連，這家工廠從A地購買一批原料甲運回工廠，經過加工后制成產品乙運往B地，其中原料甲和產品乙的重量都是正整數.鐵路運價為2元/（噸·千米），公路運價為8元/（噸·千米）.

（1）若由A到B的兩次運輸中，原料甲比產品乙多9噸，工廠計劃支出鐵路運費超過5700元，公路運費不超過9680元，問購買原料甲有哪幾種方案，分別是多少噸？

（2）在（1）中的基礎上，由于國家出臺惠農政策，對運輸農產品的車輛免收高速通行費，并給予一定的財政補貼，綜合惠農政策后公路運輸價格下降[m（0

評注：本題在建立不等式組與方程組時，要綜合運進與運出兩條路線的情況，關于鐵路運輸費既包括原料采購時的鐵路運輸費，也包括產品輸出時的鐵路運輸費;公路運輸費也是一樣的，既包括原料采購時的公路運輸費，也包括產品輸出時的公路運輸費.

三、建造方案的確定

隨著中國城市化進程的進一步加快，人口越來越向城市集中，由于私家車的幾何式增長，停車問題成了小區建設越來越突出的問題，為了提高土地的利用率，小區會建造地上和地下兩種停車位，已知新建的停車位總數一定，修建一個地上和地下停車位的單價也已經知道，如何根據手頭的資金設計建造方案呢？也需要應用一元一次不等式組加以解決.

[例3]金水社區由于近期業主購置了許多新車，出現了停車難的現象，社區委員會將建停車位60個，已知用1.7萬元可以建地上停車位2個和地下停車位3個，用1.4萬元可以建地上停車位4個和地下停車位2個.

（1）建地上停車位1個的費用是多少元？地下停車位呢？

（2）如果金水社區準備用于建停車位的資金在14萬元與15萬元之間，那么共有幾種方案可供選擇？

（3）花費最少的方案是什么？

評注：第（2）小題根據題意建立的連續不等式，實際上也是一個不等式組，解答時可以拆分為兩個不等式分別解答，也是根據不等式性質直接解答.在第（2）小題結果正確的基礎上，解答第（3）小題也可以使用觀察法，因為地下車位投資多，所以地下車位建造得越少會越省錢.

在一元一次不等式組的應用過程中，一般只設一個未知數，另一個未知量用所設未知數的代數式表示，根據題意中的兩個不等式關系，列出兩個不等式組成不等式組，然后取不等式組的非負整數解，非負整數解的個數就是符合題意的方案數.通過應用一元一次不等式組解決實際問題，不僅鞏固了學生解不等式組的知識，也使學生體驗了數學的應用價值，提高了應用數學知識解決實際問題的能力.

（責任編輯 陳 昕）