巧解直線與圓錐曲線相交的中點弦問題

陳陽恒

[摘 要]中點弦問題是直線與圓錐曲線相交的典型題型，可通過一元二次方程的根與系數的關系或用點差法求解.若在客觀題中解決圓錐曲線的中點弦問題用這兩種方法未免耗時太多.應用圓錐曲線的中點弦公式，能快速解決這類圓錐曲線中點弦的客觀題.

[關鍵詞]直線;圓錐曲線;相交;中點弦

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2020）32-0034-02

直線與圓錐曲線的位置關系是高考的考查熱點，通常考查直線與圓錐曲線相交的問題，一般涉及求定值、定點、取值范圍或證明存在性等問題.解決這些問題的關鍵是根據題意，畫出圖形，利用數形結合的方法求解.

一、求直線與圓錐曲線相交的中點弦問題的常規方法

在直線與圓錐曲線相交的問題中，中點弦問題是常見的典型題型，如求中點弦方程、求（過定點、平行弦）弦中點軌跡等問題，在客觀題或解答題中都有可能出現.求解這類問題的主要方法有兩種：

（1）聯立直線方程與圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方程，通過設而不求的思想，利用韋達定理和中點坐標公式建立等式求解，注意不能忽視對判別式的討論.

由上面的例子可以發現，用圓錐曲線的中點弦公式解決客觀題中有關弦中點、弦所在直線的斜率、弦中點與原點連線斜率等問題時可簡化運算步驟，快速求出正確結果，大大地節省了時間，達到快速解題的目的.

在實際教學中，可以讓學生記熟這組公式，在客觀題中遇到相應的問題只需代入公式求解即可.但需強調該組公式更多適用于選擇填空題中的中點弦問題，對于圓錐曲線解答題中涉及的中點弦問題而言，考慮到解答題需寫出必要的解題過程，還是應從常規思路入手，把完整的解題步驟寫出來.

[ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ]

凡曉莉.巧解圓錐曲線的中點弦問題[J].中學教學參考，2018（17）：19.

（責任編輯 陳 昕）