基于同倫延拓及自調比校正的電容層析成像圖像重建

陳宇 張江濤 夏宗基

摘 要：針對電容層析成像（ECT）圖像重建的“軟場”效應和病態性問題，提出了基于同倫延拓正則化及自調比校正（HER-SSM）的ECT圖像重建算法。該算法在ECT理論的基礎上，將同倫延拓思想與正則化方法相結合，而且結合自調比推導出相應的校正公式，最終獲得關于ECT圖像重建反問題的數學模型。用該算法進行數字仿真模擬實驗，通過實驗來驗證其有效性。仿真實驗通過與經典Landweber算法、SD法等其它成像算法結果的比較分析，表明該算法在解決ECT圖像重建問題上，具有圖像成像質量高、收斂速度快、迭代次數少等優點，是一種解決ECT成像問題的有效算法。

關鍵詞：電容層析成像;圖像重建;同倫延拓;自調比校正

DOI：10.15938/j.jhust.2020.05.007

中圖分類號： TN911.73

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2020）05-0047-07

Abstract：In order to solve the “soft field” and uncertainty problems in electrical capacitance tomography， a homotopy extension regularization and self-scaling metric image reconstruction algorithm for electrical capacitance tomography is presented. On the basis of ECT theory， the algorithm combines homotopy continuation with regularization method， and derives the corresponding correction formula combined with self-tuning ratio. Finally， the mathematical model of inverse problem of ECT Image reconstruction is derived. The algorithm is used in digital simulation experiment to verify its effectiveness. The simulation results are compared with the classical Landweber algorithm， SD algorithm and other imaging algorithms. The results show that the algorithm has the advantages of high image quality， fast convergence speed and less iteration times in ECT Image reconstruction. It is an effective algorithm to solve ECT imaging problems.

Keywords：electrical capacitance tomography; image reconstruction; homotopy extension; self-scaling metric

0 引 言

電容層析成像（electrical capacitance tomography， ECT）技術是借鑒醫學發展而來的一種新的過程層析成像技術[1-2]，相比于其它過程層析成像技術來說，具有容易實現、成本低廉、安全性高、使用范圍廣等優點[3]，已經廣泛運用于能源、冶金、石油化工、醫藥、航空等眾多兩相流和多相流檢測領域 [4-5]。由于ECT反問題是一個高度的非線性問題，介質中的物質變化與外界的干擾會造成“軟場”效應，而且由于敏感場靈敏度的分布不均勻，給ECT圖像重建帶來較差的穩定性和病態結果[6]。因此需要尋找更加優秀的ECT圖像重建算法。

為了優化并解決上述一系列問題，國內外學者和科研人員提出了許多優秀的ECT圖像重建算法，目前常用的算法有如下幾種：線性反投影算法（LBP）[7]，該算法具有結構簡單和成像速度快等優點，但是成像精度較低，效果不好。Landweber迭代法[8]，該算法在穩定性和成像精度方面較為出色，但是由于搜索方向不理想，會導致有可能迭代不到最優解。共軛梯度算法（CG）[9]，由于該算法的系數矩陣必須是對稱正定，所以該算法在簡單流型的成像效果較好，精度較高，但是在復雜的流型中圖像精度誤差較大，效果明顯下降。最速下降算法（SD）[10]，該算法以負梯度方向作為極小化算法的下降方向，實現簡單，但在多數流型中迭代次數較多，在較為復雜的流型中誤差較大，尤其是小半徑核心流，效果極差。通過分析上述幾種算法，可以得到每種方法都有自己的優勢，但是也相應存在著一些局限性。因此，在實際生活應用中，想要找到一種理想的ECT圖像重建算法來解決工業需求，還需要不斷的深入研究與完善。

本文提出了基于同倫延拓正則化及自調比校正的ECT圖像重建算法，目的是加強ECT圖像重建時的穩定性，獲得更好的圖像重建效果。仿真實驗結果證明，該算法作用于低層流型、中位層流型和小半徑核心流型的重建圖像時，其圖像精度明顯高于LBP、Landweber、CG和SD算法，同時該算法在迭代次數方面也表現得較為出色，為電容層析成像圖像重建領域提供了一個有效的新途徑。

1 ECT技術原理概要

ECT圖像重建系統的主要組成為三大部分：電容傳感器裝置，數據采集與測量系統以及負責成像的計算機系統[11-12]，如圖1所示。

在ECT圖像重建研究中，經常使用8、12、16電極板數量的電容傳感器裝置。本文選用的是經典12電極的ECT系統作為實驗裝置[13]。

電容層析成像的工作原理[14-15]：由于不同介質在一定頻率下的介電常數不同，對電容傳感器施加激勵后，監測對象內部多相流體的分布隨之發生變化。根據測量電極間的電容敏感原理，電容傳感器極板間的值也會相應發生變化[16]，通過電容傳感器測量被測物體截面區域上的數據、數據采集系統采集數據，經過濾波、變換、放大等一系列相關操作，然后把處理之后的數據傳給成像計算機，經過圖像重建系統建立被測物體截面內部的介質實時分布圖，最終由成像裝置反饋給用戶。

測量極板間電容值流程如下：首先，將1號電極當作源極板，施加交流激勵電壓，剩余2，3，…，12號電極作為檢測電極，進行接地處理，依次對1-2，1-3，1-4，…，1-12電極對之間進行測量電容值。然后，按照上述方式，再將2號電極作為源極板，同時施加交流激勵電壓，剩余3，4，…，12號電極作為檢測電極，也進行接地處理，獲得2-3，2-4，…，2-12電極對之間的電容值。以此類推，最后將11號電極作為源極版，施加交流激勵電壓，12號電極作為檢測電極，獲得11-12號電極之間的電容值。總共累計獲得66組獨立的電容值。

大多數ECT圖像重建的數學模型都是以電容值到介質分布映射模型為基礎，經過線性化、離散化以及歸一化處理后的最終的ECT系統的數學模型如式（2）所示：

式（2）中， C∈Rm表示電容傳感器測得的歸一化電容向量， S∈Rm×n表示靈敏度矩陣， G∈Rn表示流體內各介質分布的歸一化圖像向量。因此，ECT圖像重建的目的就是通過測量的電容值，結合靈敏度矩陣解出流體內各介質的分布，獲得介質分布圖像。

2 基于同倫延拓及自調比的ECT反問題求解

2.1 非線性不適定方程求解介紹

首先，設電容層析成像反問題求解的非線性不適定算子方程如式（3）所示：

由于真解G*不連續依賴于右側數據C，在計算過程中可能導致矩陣奇異，得不到最終解，所以本文通過增加一個正則化參數α來解決在計算過程中可能會出現矩陣奇異的問題，正則化參數表達式如式（5）所示：

通過上述迭代公式，不難看出，解決上述問題的關鍵是如何選擇合理的正則化參數。如果正則化參數α值太小，正則化效果不明顯，在計算過程中矩陣仍有可能出現奇異的情況。如果α值太大，有可能過分正則化，導致得到的介質分布解不準確，誤差較大。在式（13）中，可以發現正則化參數α與同倫參數λk密切相關，因此將參數α與λk放在一起考慮。本文采用后驗正則參數選擇方法Morozov偏差原則[18]，即選取α=α（k）使得：

3 仿真與實驗結果

上文中給出了同倫延拓及自調比校正的理論以及公式，為接下來的ECT圖像重建反問題提供基礎。本次仿真實驗的硬件如下：12電極的ECT系統，測試管道的橫截面被分成32×32小型像素點。用于仿真實驗成像的計算機配置如下：Intel（R） Core（TM）i7-8700 CPU @3.20GHz處理器，RAM大小為16.0G，系統類型為基于x64處理器的Windows 64位系統，使用MATLAB軟件進行實驗的圖像成像與分析。

本次仿真實驗主要對低位層流，中位層流，小半徑核心流以及柱狀流型進行預先設定，其中低位層流和中位層流都屬于層流型，本文將整個管道抽象為半徑為0.0768m的圓，圓心坐標為（0，0），那么低位層流是指水的高度低于水平高度為-0.0512m的水平流型，中位層流是指水的高度低于水平高度為-0.0256m的水平流型，小半徑核心流則屬于核心流型。采用本文主要研究的HER-SSM算法進行圖像的重建。同時采用SD法，CG法，LBP法和經典Landweber算法進行圖像重建，將HER-SSM算法與其他算法的重建圖像結果進行對比和分析。

其中：n表示成像區域單元總數;gimg表示重建圖像向量;ginit表示介質分布原型圖像向量;i表示成像區域剖分單元索引。

實驗中以迭代次數作為此次實驗速度優劣的判定標準。迭代次數N越大，表示電容層析成像圖像重建所花的時間越長，當實驗的迭代誤差達到一定值的時候就停止迭代，停止迭代的條件如下：

同倫延拓正則化及自調比算法與其它4種經典算法的圖像重建效果對比如圖2所示（其中深色區域表示水，淺色區域表示變壓器油）。

根據上表的對比分析可以得出，每種算法的圖像重建結果都比較接近原始圖像，但是都與原始圖像存在視覺上的誤差。其中，在低位層流中，HER-SSM算法與Landweber算法重建圖像結果與原始圖像最為接近，但是HER-SSM算法重建效果更好。并且在小半徑核心流型中，HER-SSM算法重建圖像最接近于原始圖像。而在柱狀流型中，HER-SSM算法的重建圖像與原始圖像存在一定誤差，但是在視覺效果上大體上接近于原始圖像。綜上所述，本文所論述的HER-SSM算法在直觀的圖像重建方面對比于其他四種經典算法，它的成像質量高，最為接近原始流型，在忽略其小缺點基礎上，是能夠較好的應用于電容層析成像圖像重建領域。

為了方便起見，采用字母（a），（b），（c），（d）來表示低位層流、中位層流、小半徑核心流與柱狀流型。表1中展示了每種算法在不同的流型中重建的圖像與原始圖像的誤差百分比。

表1中列出的是上述幾種算法的圖像重建誤差。通過觀察誤差率，可以發現本文提出的HER-SSM算法相對于其他幾種經典的算法在低層流型、中位層流型和小半徑核心流型中有著非常好的表現，其誤差率能夠達到最小。但是對于柱狀流型來說，其誤差相對較大，成像效果一般。

同倫延拓正則化及自調比算法與其他算法的范數殘量誤差比較如圖3所示。

圖3對于仿真實驗的4種流型，將HER-SSM算法分別與CG、SD和Landweber 3種經典算法0～20步迭代的二范數殘量誤差進行對比，其中藍色曲線表示HER-SSM算法的范數殘量誤差曲線。從圖2中可以得到，在4種流型中，HER-SSM算法的范數殘量誤差在前期都優于其他3種算法，雖然后續迭代范數殘量誤差不斷變大，但最終也都趨于穩定達到最小。范數殘量誤差僅是判斷算法優劣的其中一個指標，而且算法本身的迭代就是一個向最優解靠近的過程，但是由于算法初始值的不同，可能會導致在迭代過程的前期出現范數殘量誤差不穩定的現象。隨著算法迭代步數的不斷增加，恰好在10次左右介質分布的圖像向量G迭代到最優值，而達到最優值以后范數殘量誤差降到最小，最終趨于穩定;在小半徑核心流型中，CG算法參數值波動太大，HER-SSM算法在第10次迭代時范數殘量誤差達到最高值，后續迭代又逐漸減小。對于柱狀流型，HER-SSM算法在起初優于其他3種算法，范數殘量誤差最小，但中間幾次迭代時，范數殘量誤差都明顯大于其它3種算法，在第11次迭代之后又逐漸趨于平穩，達到最優。

通過表2可見，在柱狀流型中，HER-SSM算法迭代步數遠遠小于其它3種經典算法;在其它3種流型中，該算法也領先于SD 算法和Landweber算法這兩種經典的迭代算法，這是因為HER-SSM算法改善了算法的單步收斂速度，而且設置了正則化參數αk，優化了迭代初值G0。因此，HER-SSM算法能夠有較快的收斂性，迭代次數相對較少。

綜上，可以證明同倫延拓正則化及自調比算法在ECT圖像重建領域是一種比較優秀的算法，該算法在低位層流以及小半徑核心層流的圖像重建結果中，成像質量遠遠優于其他的幾種算法，而且在收斂速度上也具有很大優勢。

4 結 論

本文提出了基于同倫延拓正則化及自調比校正方法的ECT圖像重建算法，在ECT圖像重建領域對HER-SSM算法進行理論推導，然后結合ECT系統推導出了算法的最終迭代公式和自調比因子的校正公式。最后，將HER-SSM算法與LBP算法、經典Landweber算法、CG算法和SD算法一起進行仿真實驗。通過5種算法仿真實驗數據結果的對比，發現HER-SSM算法在ECT重建圖像領域的低位層流以及小半徑核心流型具有最好的成像精度，并且該算法所需的迭代次數也少于其他算法，是一種可行有效的ECT圖像重建算法。

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（編輯：溫澤宇）