無失效數據下ZZ分布的可靠性分析

雷露 張國志 王萍

摘 要：有些產品的壽命用常見的分布去刻畫與實際偏差較大，而ZZ分布能夠較好地描述這一類產品的壽命分布，為了在無失效數據條件下對ZZ分布進行可靠性分析，通過對該分布可靠度函數進行變換，并利用其凹凸性得到產品在各檢測時刻可靠度之間更為精確地關系，進一步在先驗分布為均勻分布和更一般的分布下，給出了各個時刻可靠度的貝葉斯估計。同時依據無失效數據場合下，已知函數的置信水平為1-α的最優置信下限公式，給出了ZZ分布可靠度函數的最優置信下限表達式，并且在幾種特殊場合得到了便于使用的簡化形式。

關鍵詞：ZZ分布;可靠度函數;無失效數據;估計;最優置信下限

DOI：10.15938/j.jhust.2020.05.023

中圖分類號： O231

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2020）05-0164-07

Abstract：It is a deviation reality that lifespan of some products is described by common distributions. However，the ZZ distribution can better describe the lifespan distribution of this type of product. In order tostudy the reliability of the ZZ distribution under the condition of no failure data， and the reliability function is transformed， and the concavity and convexity is used to obtain a more precise relationship between the reliability of the products at each detection time. Further， under the prior distribution is the uniform distribution or more general distribution， Bayesian Estimation of the reliability at each moment is given. Meanwhile， according to the optimal confidence lower limit formula of known function with confidence level of 1-α in the case of no failure data， the optimal confidence lower limit expression of the reliability function is given， and the simplified form that is convenient to use is obtained in several special cases.

Keywords：ZZ distribution; reliability function; zero-failure data; Bayesian estimation; optimal lower confidence limit

0 引 言

在可靠性壽命試驗中，大多數元件壽命服從4種常見的壽命分布，這4種分布分別是：指數分布、Weibull分布、對數正態分布和極值分布[1]。就這四種分布的各項可靠性統計推斷已有相當多的研究成果。但存在某些存儲產品，在廠家給出設計壽命之前幾乎很少失效，過了設計壽命之后失效的比例大幅增加。文[2]已表明在某些特定的問題中，有些產品的壽命分布不屬于這四種分布，同時給出一個較好刻畫這類元件壽命的ZZ分布，并對這類元件的可靠性指標在截尾數據情況下進行了相關的統計分析。

在可靠性壽命實驗中，研究人員為了節省人力、財力和物力，必須有效的控制試驗的時間長度，因此，經常選用定時截尾壽命試驗，對產品進行可靠性分析的研究[31]。當實驗過程中產品的失效數大于零時，即此過程包含失效信息時，已有很多方法對所得數據進行相應的統計分析工作和研究[3]。隨著社會的進步，科學技術的飛速發展，越來越多的產品具有相對較高的可靠性能，這樣一來，試驗成本日益高昂，小樣本進行試驗的精度已成為研究過程中主突破的問題。當進行的可靠性實驗為定時結尾情況時，會遇到無失效數據（zero-failure data），即沒有產品會在規定的時間內發生失效情況。近幾年來，愈來愈多的學者將研究精力投放在無失效數據條件下產品可靠性指標的合理估計的方法和研究過程中。前輩們研究所得的大量理論成果為無失效數據問題下產品的可靠性研究奠定堅實的理論基礎，并在實際生產生活中有重要的實用價值[4]。

目前，在國外最早研究無失效數據問題的文獻可以追溯到Bartholomev[5]，在文中他首次提出了關于產品平均壽命的估計值的方法——用總的實驗時間來是對產品的平均壽命進行估計，即一類產品在規定時間內發生失效的平均壽命估計，所得估計明顯比實際值小一些，因此一直以來很少被后續研究者使用。Martz 和 Waller[6]兩位作者針對單參數指數壽命型分布在無失效數據條件下相關參數以及可靠性指標的評估和驗證問題中，提出使用Bayes方法[7]。此后的一大段時間里，學者們基于前者的研究成果，大多數分析、研究工作限于單參數指數分布在定數截尾條件下和有失效數據的定時截尾條件下進行，研究內容及結果見文[8-12]。近十幾年來，很多學者也針對無失效數據下威布爾分布的可靠性評估問題進行研究，見文[13-20]。

相較國外對無失效數據問題的研究，國內相對晚一些，開始于20世紀80年代中期。目前常用的方法主要分為經典方法和Bayes方法[30]。經典方法主要包括以下幾種：樣本空間的排序方法[21]，極小χ2法[22]，修正似然函數法[23]和改進的CLASS-K方法[24]等。因為在無失效數據情況中并不含有失效信息，若使用常見的經典方法，所得結果往往會偏于保守。因此，對無失效數據條件下進行可靠性分析的過程中，經常使用Bayes方法，旨在有效利用產品或元件的各類先驗信息，提高所要估計的參數的精度。文[25-26]中總結出無失效數據情況下利用Bayes方法進行分析問題的框架，此文獻中所總結列出的框架對于確定產品在各個不同時刻的失效概率的先驗分布情況是相對合理且客觀地，并給出這些失效概率的Bayes估計是其關鍵步驟。

對無失效數據的研究，產品的先驗信息大多情況下是以前人經驗和主觀信息為主，故研究中對于經驗和主觀信息的加工過程中，怎樣減少主觀因素的干擾成為近年來研究此類問題的重點[25-30]。文[27-28]提出可以利用多層先驗的方法來降低人為因素對超參數的確定過程的影響，但這樣的計算過程十分繁雜且不直觀，使用起來也并不方便。因此，為更好地解決這類問題，文[29-30]提出可以充分利用產品壽命分布的母體的分布特征，即對先驗信息的凹凸性進行加工。可進一步減少參數估計等研究對先驗信息的依賴，但文獻中僅較好地解決了指數分布和正態分布這兩種壽命分布。文[29]得出在無失效數據情況下，不同時刻失效概率的先驗分布應該是減函數，雖然文中分析過程客觀，但對于具體的先驗形式的選取和壽命分布參數的確定過程中需要提供確切的理論依據。關于無失效數據的可靠性推斷，陳家鼎，孫萬龍等對其置信限也進行了相關研究[23]。

此外，劉海濤、張志華兩位作者基于前人研究的理論成果進一步在Weibull分布的場合下，對無失效數據情況進行統計分析，同時利用母體壽命分布凹凸性的性質處理先驗信息，得出了產品可靠性指標的Bayes估計[31]，所獲得的先驗分布的形式與文[29]的要求是一致的。并進一步利用加權最小二乘法得到可靠性指標的相關估計，采用實例進行分析驗證，表明這種方法得到的結果的穩健性較好[31]。

本文研究的主要是當出現無失效數據情況時，對ZZ-分布進行可靠性分析，充分利用該分布的分布函數的凹凸性得到產品各檢測時刻可靠度之間的關系作為選取先驗分布的指標，并給出可靠度函數的Bayes估計。進一步根據陳家鼎等人在文[21]中提出的無失效數據情況下最優置信限的求解方法，給出當壽命分布為ZZ-分布時，產品的可靠度的最優置信下限的研究結果。

1 無失效數據情況下ZZ-分布的可靠性分析

1.1 ZZ-分布定義

參 考 文 獻：

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（編輯：王 萍）