認識規律本質 分清暫態穩態*

柯曉露

(福建教育學院理科研修部 福建 福州 350001)

陳藝君

(漳浦道周中學 福建 漳州 363200)

詹國榮

(漳浦縣教師進修學校 福建 漳州 363209)

在外界條件維持不變的情況下，許多物理事件經過發展變化最終會趨向某種穩定狀態，如空中擺動的懸球，空中下落的物體，在平面上滑動的物體，汽車恒定功率下的運行，電容器的充放電，導電桿在磁場中的運動等等，這些過程終究會趨向一種穩定的狀態：或靜止，或勻速運動，或勻變速運動，或電流為零，或電流恒定，或電流均勻增加.在從開始至達到穩定的過程中，所經歷的時間有的是有限的，有的卻是漫長無限的，前者所達到的穩定狀態通常叫穩態，后者在漫長的時間過程中，逐漸趨近穩定狀態而又永遠不能達到穩定狀態的過程通常稱為暫(漸)態過程[1].在中學物理教學中，教師經常將這兩種過程混淆，造成對學生的誤導，甚至經常編制錯誤的試題進行考查，影響考試的信度效能，干擾學生正確的思維，壓抑教師的專業進取，給科學態度與科學責任的全面貫徹落實帶來影響.本文通過對一道省質檢試題的分析，試圖：

(1)例舉被誤當為穩態的暫態現象；

(2)探究雙導電桿在磁場中運動的規律，給判別兩種不同過程予以示例；

(3)分析錯誤對教學的影響，警示同行注意.

1 對2020年福建省高三畢業班質檢理綜第21題的商榷

【原題】如圖1所示，水平面內固定有兩根平行的粗糙長直金屬導軌，兩根相同的導體棒AB，CD置于導軌上并與導軌垂直，整個裝置處于豎直方向的勻強磁場中.從t=0時開始，對AB棒施加一個與導軌平行的水平外力F，使AB棒從靜止開始向右做加速度大小為a0的勻加速直線運動.導軌電阻不計，兩棒均與導軌接觸良好，最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力.下列關于CD棒的速度v、加速度a、安培力F安和外力F隨時間t變化的關系圖像可能正確的是( )

圖1 桿在磁場中受力運動

命題者提供的參考答案是B,D.

顯然，從提供的參考答案看，命題者認為CD桿經歷一段有限的時間(如選項B中的t1)后，將會達到加速度恒定的穩態；加在AB桿上的外力經歷一定的時間(如選項D中的t1)后，其大小也可達到恒定的穩態.但事實是否如此呢？我們有必要對其進行定量探究，以辨真偽.

對AB和CD桿進行受力分析，應用牛頓第二定律和電磁感應定律，有

AB桿

F-μmg-BIL=ma0

(1)

CD桿

BIL-f2=ma2

(2)

回路電流

(3)

式中m,R,μ為桿的質量、電阻及其與導軌間的滑動摩擦系數，L為導軌間的距離，a2,v2為CD桿的加速度、速度.

1.1 CD桿的運動速度v2及加速度a2的計算

起初CD桿保持靜止.AB桿勻加速運動，其速度v1隨時間增大，產生的感生電動勢也增大，回路中的感生電流隨之增加，CD桿受到的安培力也隨之增加，但其大小在小于最大靜摩擦力μmg時，CD桿一直保持靜止，這段時間：a2=0，v2=0，代入式(2)和式(3)有

當f2=μmg時，得

也就是說，t在[0,t0]內，v2=0，a2=0.

(2)當t≥t0時，CD桿開始運動，其f2=μmg，a2，v2不再為零，將f2的值及式(3)代入式(2)并寫成微分式

即

(4)

式(4)是變量不可分離的一階線性微分方程，無法直接進行積分獲取其解，只能先通過其對應的齊次方程求特解，再將帶有積分常數的特解通過參數變換求得該方程的通解.

(5)

對照式(4)，這里的

(6)

(7)

因為

d[texp(λt)]=exp(λt)dt+tdexp(λt)=

exp(λt)dt+λtexp(λt)dt

所以

λtexp(λt)dt=d[texp(λt)]-exp(λt)dt

因此，式(7)第一項為

(8)

式(7)第二項

(9)

將式(8)和式(9)代回式(7)得

(10)

將式(6)、(10)代回通式(5)得式(4)的通解為

(11)

(12)

(13)

代回上式，由此求得CD桿的速度v2為

(14)

(15)

起始時間歸零后的式(15)比式(14)更簡潔，物理意義更顯而易見，式(15)表征CD桿開始運動后，其速度v2隨時間t′的變化情況，該式可看成由兩部分的分速度相加合成，即

v2=va+vb

(16)

其中

將va和vb及兩者合成后的v2畫成v-t圖像，如圖2所示.

圖2 va,vb,v2隨時間t′的變化圖像

由圖2可見：

(1)CD桿的速度v2隨時間t′變化的圖像永遠不可能是一條直線，而是隨著時間的推移，逐步無限地迫近直線va.

至此，我們清楚看出，CD桿的速度v2隨時間t′的變化不可能達到穩態，而是一種無限接近穩態的暫態過程.

將式(15)對時間t′求導得

(17)

利用式(17)畫出a2-t′圖像，如圖3所示.

圖3 a2-t′圖像

從式(17)及圖3可以看出：a2的大小隨著時間t′的增加而增加，其值不斷迫近a0，但因增加的速度越來越慢，永遠在接近的過程中而無法到達a0，是個暫態過程.

1.2 關于AB桿所受外力F的計算

要維持AB桿以加速度a0做勻加速運動，作用在其上的外力F應滿足什么條件呢？

(18)

顯然，這段時間F的大小必須隨t均勻增加.

(19)

式(19)表征t′≥0之后，外力F隨時間變化的規律.同樣將式(19)看成由兩部分的力合成：F=F1+F2.其中F1=2(ma0+μmg)，這是一大小恒定的力，其物理意義非常明顯，是用于克服兩桿所受的摩擦及獲得相同的加速度a0所需的

這是與F1方向相反的力，其物理意義反映了CD桿在趨向加速度a0時是遲滯的.在尚未達到a0時，外力F自然要在F1的基礎上扣除遲滯部分(F2)，指數部分是遲滯因子，反映CD桿加速度距目標a0的滯后程度，在這里，物理學的美體現的淋漓盡致，每個物理公式似乎都在演繹著自然的歷程，述說宇宙之道.

F，F1，F2隨時間t,t′的變化規律可畫成圖像，如圖4所示.

圖4 F,F1,F2隨時間t,t′的變化圖像

從式(19)及圖4均可見：作用在AB桿上的外力F一直隨著時間的增加而無限接近恒定值2(ma0+μmg)，但永遠無法達到這一穩態的過程.F的變化也是個暫態過程.至此，我們通過嚴格的計算證明了CD桿的運動與加在AB桿的外力變化過程均為暫態過程，原題答案中將其當成穩態是不妥的.

2 問題的啟示

在中學物理教學中，將暫態過程誤當成穩態的現象經常出現，如前面提到的汽車恒功率運行，空氣中下落物體的運動，電容器的充放電過程等常有類似的錯誤.造成這一現象的原因是：(1)有的混淆穩態與暫態的區別；(2)有的分不清哪些現象可達到穩態，哪些現象是無窮漸近的暫態；(3)有的則是無原則不加說明地忽略兩者的區別.這些現象對物理教學的影響是顯見的.一是不符合客觀事實，有違科學真理；二是誤導學生正確的思維，尤其是對尖子生，這些學生憑著他們的聰明才智或通過提前自學，完全有可能區分暫態與穩態的不同過程，教師如混淆兩者，勢必干擾他們正確的思考，打擊其特長的發展；三是如出現在試題上，會影響考試的信度和效能，如是選擇性的考試，還會嚴重影響學生的未來；四是不利于鼓勵教師深入鉆研學科知識，壓制教師的專業發展，長期以來，許多練習、試卷甚至重要的考試出現類似的錯誤，卻鮮有人提出異議，大家習慣成自然，以訛傳訛，結果發展到：“假作真時真也假”的地步.大家如果抱著人云亦云的態度，缺乏主動探索的意識和熱情.久而久之，可能對專業素養追求就會越來越淡薄.

科學態度與科學責任是我們對學生的核心素養要求，作為教師，本身必須先具備這種素養，正所謂給學生一點亮光，自己必須吸進光的海洋，一絲不茍，精益求精，是科學態度的精髓.堅持真理，實事求是，不人云亦云，是科學責任的重要體現.教給學生的知識，教師必須先想通弄明，知微見著.也只有這樣，才能切實落實好核心素養.