數學分析思想在高中數學教學解題中的應用分析

山東省青島市西海岸新區膠南一中 丁曉峰

數學是高中階段的主要課程之一，很多學者進行研究后證明，單單依靠刷題的方式，并不能夠明顯提升學生的解題能力，讓學生通過完成大量數學習題的方式來掌握解題方法，深化對數學知識和定理的理解，會導致學生的數學思維無法拓展，這種僵化的數學思維不利于學生理解數學題的內涵。而數學分析思想作為新時期提出的科學的數學解題思維，在這樣的背景下被關注起來，學生數學分析思想的建立會拓展學生的數學思維，提高學生數學分析和解題的能力。因此，高中數學教師要重視對學生數學分析思想的培養，提高數學課堂教學質量。

一、數學分析思想概述

數學分析是教學中的基礎技能之一，數學分析思想是指對數學理論、運算及運用手段的分析。通過數學分析思想，學生可以把數學題目分成若干類型，然后展開針對性的分析，給出最優的解題方式。在有效的數學分析中，學生可以在心中形成大體的答題模式，確保答題步驟的科學性和清晰化。高中生在數學課堂中，學生一方面要理解課本中的各種定義定理，另一方面也要掌握成熟而多元化的解題方式，這是一項大工程，需要大量的時間和精力。在這樣的情況下，通過數學分析思想，可以調動學生學習數學的熱情，靈活掌握不同類型的題目，通過歸類總結，舉一反三，理解題目內涵，掌握題目的規律，提高解題的正確率，提升學生的數學綜合素養。

二、高中數學解題采用數學分析思想的作用

（一）能夠開發學生的思想潛能

通過數學分析思想解題可以發展學生的發散性思維，對所學的知識不停留在表面，而是由表及里，由此及彼，在更深入的理解題目后，由線性思維升級到系統思維，從而掌握更多元化的解題方式，這有利于學生思維能力和創造能力的提升。所以，高中數學課堂中，教師要重視對學生數學分析思想的培養。

（二）能夠鍛煉學生的觀察水平

數學作為高中階段的一大主科，學生必須要在有限的時間里完成大量知識的學習，這不僅要求學生掌握理論知識，還要理解數學題目的本質，而通過數學分析思維來學習和解題，學生必須學會對題目進行深入地觀察、歸納和總結，在這個過程中，學生的觀察能力得到有效鍛煉，歸納和總結使學生全面理解了數學知識和內涵，進而學生的學習效率得到了快速地提升。

（三）能夠把不熟悉的題型轉變成熟悉的題型

課本中的數學概念和原理是有限的，但是這些原理和概念能夠以多元化的方式體現在數學題中，因此部分學生在接觸新題的時候，可能錯誤地將新題套用到之前某類相似題型中，出現解答錯誤的狀況。而學生應用數學分析思想解題，要先仔細分析題型，將不熟悉的題型轉變為熟悉的類型，再進行解題，之后再進行驗證，這樣以科學的解題方式去解答，就提高了解題的正確率和效率。

三、數學分析思想在高中解題中的應用

（一）通過數學分析思想來轉變解題思路

高中課本中的數學概念和數學原理雖不多，但數學題題型和形式都呈多元的特點，如果學生沒有掌握各種題型的解答方式，很容易在解題的時候出錯?；诖?，認真分析數學題，強化對數學題的理解能力是非常必要的。高中數學教師要指導學生形成數學分析思維，能夠根據題目中的已知條件和這些條件與未知的關系，形成科學的解題思路。例如：在“△ABC，A=90°，AB=AC，D 是 斜 邊AB 中 的其中一個點，證明BD+DC=2AD”這樣的數學題中，教師要先讓學生明白一點，即AD、BD 和CD 這三條線段 之間的關系并不明確，無法整合出一個圖形，所以學生要結合數學分析思維，找出已知條件之間的關系，來逐步獲得答案。學生基于數學題中給出的信息，繪畫出三角形，將△ABC 以 A 為基準，從逆時針方向轉動90°，然后B、D 便存在于C、E 之間，接著將AE、CE、DE 相連，因此能夠在DC+CE=DE 的情況下，證明BD+DC= 2AD。

（二）采用類比和歸納的方式來解題

類比即將兩種事物相似或者相同的要素進行對比，進一步從其它層面找出相似的一種方法，歸納是基于局部信息推理出整體信息的方法，即對大部分事物的普遍概念進行分析，然后下結論的方法。不管是類比還是歸納，這兩種方法在數學解題的應用中，都存在一定難度，這需要學生在平時加強練習。如這道題：cos(x/2)cos(x/22)cos(x/23)…cos(x/2n)=sinx/[2nsin(x/2)]，認真分析后能夠找到等式左邊是存在規律性的，和2sin(x/2)cos(x/2)=sinx 其 有 相 同 之 處， 在經變形以后就可以得到2sin(x/2n)cos(x/2n)=sin(x/2n-1，)。通過逐步更換了解到余下的等式則是原等式需證明的右邊，也就是sin(x/2n)sin(x/2n)，因此在學牛們還沒有做題的時候，要先找到合理的思路，不能只根據所其有的條件，而不經過研究來對題進行解答，否則就無法得到正確的答案。

（三）利用逆向思維的方式

逆向思維是根據現有結論反向分析的一種方法，屬于和傳統思維方式截然不同的方法。高中生在數學的學習中，形成逆向思維，通過逆向思維方式解題是很必要的。解答數學題目的時候，逆向思維是經常被采用的方法，尤其是對于難度較高的題型而言，應用逆向思維可以讓學生在更短的時間里更準確地解題，形成清晰的解題思路。

比如在“a-b=c，2a2-2a+c=0，2b2- 2b+c=0，請核算c 的值”這樣的題型中，很多學生習慣通過配方消元法，在解答后，可以發現這樣的方式會出現各種不確切的元素，解題難度增加。對于這樣的題型，教師應該指導學生更新數學分析方法，通過逆向思維的方式分析題型進行解答，該題型中，只給出了a、b、c 間的關聯性，結合一元二次方程定義，展開逆向分析可以 了 解 到，2a2-2a+c=0，2b2-2b+c=0的解為a、b，此時學生可以參考韋達定理，即a+b=1 以及ab=-c/2 來解答題目，獲得答案。

（四）特殊和一般思想適用于選擇和判斷習題

對于普通題目，比如選擇題和填空題，學生如果在不能想出更科學的解題思路的時候，可以選擇特殊和一般思想的方式進行解題，即對題目進行特殊性分析，找出解題思路后，給出題目的答案。

（五）數形結合的思想的兩種情況

在證明數與數的關系，或者基于數的精準度來證明形的屬性這兩類題型中，可以通過數形結合的思想解題。該方法也是高中數學解題中常用的思維方法，通過數形結合思維，可以將抽象的數學題進行具象化處理，更容易獲得準確的答案。大部分學生對勾股定理熟記于心，學生可以將該定理與數形結合思想結合起來應用。大部分情況下，通過數形結合的思想解題，有利于學生形成清晰而科學的解題思路，提高解題的效率和準確率。另外在線性規劃、拋物線規劃等數學題中，數形結合思維也是最常用的思維方法。除此之外，學生通過數形結合思維，可以縮短解題的時間，根據題目中告知的條件繪制圖形，通過觀察圖形，找出變量之間的內在聯系，給出正確的答案。

（六）創建學生的函數和方程思想

在高中數學知識中，函數是不可缺少的一部分，大部分高中生對于函數的相關概念與理論比較熟悉，但是在解題的時候，常常發現解題思路不夠明確，容易手足無措，原因在于這部分學生并沒有形成系統的函數與方程思想。雖然很多學生能夠結合函數與方程的思想來解題，如二次函數、一次函數等，但由于沒有系統化，解題思路并不穩固，一旦遇到有變形的習題或者隱藏著函數與方程結合的習題就束手無策了。因此，教師要指導學生進行函數與方程思想的整體融合、創建和強化，在此基礎上，引導學生將函數與方程思想融合在一起進行解題，這樣可以在遇到函數相關題型的時候，能夠盡快形成清晰的解題思路，提高答案的準確率。

（七）根據學生的特點來確定解題思路

新時期，高中數學教師要更新教學方法，做到因材施教，在解題方法的教導方面，教師可以根據學生的特征，進行差異化的教學。比如對于學困生，教師可以布置相對簡單的任務讓學生完成，先理解和掌握最基本的數學定理，形成最基本的數學分析思想，從易到難，由淺入深，再循序漸進地讓學生掌握多元化的解題方式。通過差異化的教學方法，讓學困生端正學習態度，相信自己可以學好數學，激發學習數學的熱情。針對成績比較優異的學生，教師則可以適當提升數學題目的難度，為這些學生布置比較有挑戰性的作業，進一步拓展學生的思維，讓學生在解題的過程中，感受到其中的趣味性，并且促使其解題能力得到強化。

綜上所述，在新課改背景下，高中數學教師要盡快通過先進的教學思想與科學的教學方法提高課堂教學質量，指導學生形成數學分析思想，主動應用這種思想去解題，這對于教學而言，可以達到事半功倍的效果，對于學生的學習而言，也能夠提高數學能力和解題效率。因此，教師要加深對數學分析思想的認識，并采用合理的教學方式來提高學生對于數學的學習興趣，同時還要依據學生的學習水平，采用分層教學法，這樣一來就可以鍛煉不同學生的思維能力以及創新能力，從而便能夠提升他們的數學解題能力，讓他們成為一名綜合性的人才。