讓數學課充滿生長的力量

○朱宇

傳統的以接受定論性知識為主的積累式學習方式，已不能適應當今信息化、智能化的時代。當下的數學學習應該聚焦知識的建構與創生，關注其意義理解與靈活運用，激發學生主動參與、深度思考，促進知識、學力、經驗、智慧的生長。

【教學片段】人教版小學數學六年級上冊第四單元《比的意義》

（情境導入）播放視頻：航天英雄打開神舟七號氣閘艙艙門，揮動五星紅旗，向全國人民問好。

師：同學們對我國的國旗了解嗎？請看大屏幕，航天英雄展示的國旗，長和寬分別是15厘米和10厘米。

師：你會用算式表示長和寬的倍數關系嗎？

生：15÷10，10÷15。

師：兩個除法算式分別是什么意思呢？

生：長是寬的幾倍，寬是長的幾分之幾。

師：這里長與寬的倍數關系也可以說“長和寬的比是15比10，寬和長的比是10比15”，分別寫作“15∶10”和“10∶15”。（板書）

【診斷分析】

上述教學片段從除法的意義入手，借助國旗長與寬的關系，從“兩個數相除的倍數關系”遷移得到“兩個數相除又叫做兩個數的比”?？此茰\顯易懂，符合小學生的認知水平，但是僅憑國旗的長與寬這一組數據，直接由除法推出比的概念，就能夠讓學生感受兩個有關聯的數量之間的關系嗎？學生雖然能模仿進行淺層次的復述，但是對“比”的意義有充分理解和感悟嗎？學生最大的困惑是：“既然兩個數相除又叫做兩個數的比，那么，有了除法，為什么還要學習比？”單薄的素材不能驅動學生積極思考和主動探究，深層次的認知也無從實現。

【教學建議】

比的本質是表示兩個有關聯的數量之間的倍數關系，這種關系是基于某種客觀規律而產生的。為此，要鏈接學生的生活經驗，由現實問題啟動意義的探索。

可以創設“兌牛奶要放奶粉和開水”的情境，從奶粉與水“1比3”的配比引入，初步體會“比可以表示兩個數量之間的關系”。接下來，通過“如果有奶粉10克，要多少克水？20克奶粉呢？40克奶粉呢”等問題的解決，學生發現，“1份奶粉，3份水”“水一直都是奶粉的3倍”“奶粉和水的比是1∶3”，借助分數、份數、倍數來理解比的意義，將新知納入已有認知經驗，實現概念之間關系的溝通。從更長遠的角度看，從“兌牛奶”的過程還可以引導學生發現，水和奶粉的變化中存在著某種規律，為比例的學習埋下伏筆。

通過奶粉與水、路程與時間、總價與數量等大量素材的感知，啟發學生進行意義的抽象概括：兩種數量在什么情況下可以用比來表示它們的關系？直指概念的本質，升華活動中獲得的感性認識，促進學生對概念內涵的理解。

【教學片段】人教版小學數學五年級上冊第二單元《用數對確定位置》

課件播放：人們在確定位置時，通常把豎排叫做列，橫排叫做行。一般情況下，確定第幾列從左往右數，確定第幾行從前往后數。

師：現在再讓你描述小軍的位置，你想怎樣說呢？

生：第4列第3行。

師：是啊，有了統一的規定，我們表達起來既準確又簡潔。請大家再數一數列、數一數行。（學生齊數列與行。）

課件出示小紅和小芳的位置，學生用第幾列和第幾行來交流。

【診斷分析】

上例中，學生以接納的方式，掌握了用數對確定位置的方法，過程簡單而順暢。然而，在后續學習中，卻暴露出諸多問題。例如，用數對表示教室里學生的位置，不能分辨左右，不能體會觀察點規定的必要性；從座位圖抽象成方格圖，學生不理解方格圖中“0”的實際意義……究其原因，上例中割裂了經驗與新知的關聯，沒有組織學生通過觀察分析、嘗試表達、合作交流等方式，從用個性化的生活經驗描述位置，逐步發展到用有規則的數學方法確定位置，學生的思維水平沒有在經驗的不斷改造中逐步提升。

【教學建議】

教師應準確把握數學知識的存在基礎和發展形態，促進認知結構的有效生長。從確定位置的經驗出發，將教材提供的座位圖進行適當的加工與整合，產生認知沖突，使學生整體把握知識結構，逐漸深化對數學知識本質的認識和理解。

《用數對確定位置》的教學，其本質是為第三學段平面直角坐標系的學習積累感性經驗。因此，在方格圖上用數對確定位置是教學重點。教師要引導學生經歷確定位置方法的發展過程，結合多樣的情境，從一維直線上確定位置開始，自主構建在二維平面中確定位置的方法系統，在比較、優化中深刻理解用數對確定位置的合理規則，感受用數對確定位置所體現的一一對應、數形結合的思想方法。

【教學片段】人教版小學數學二年級上冊第六單元《7的乘法口訣》

出示：不計算，直接填出括號里的數。7×6=7×5+（ ）。

生：左邊，六七四十二；右邊，五七三十五，

42-35=7。

師：請注意，不計算。

（學生沉默，感到很為難。）

師：左邊是6個7，右邊呢？（指著7×5）

生：5個7。

生：再加上1個7。

師：很好，繼續。請看6×7=6×6+（ ）。

生：左邊是6個7，右邊是6個6，還要加上1個7。

生：不對，應該是加上1個6。

【診斷分析】

該填數練習由“6個7比5個7多（ ），比7個7少（ ）”變化而來，意在通過計算和比較，幫助學生進一步理解相鄰兩句口訣之間的聯系，豐富記憶口訣的方法。解決填數問題，需要借助“幾個幾”的意義來解釋，而且需要從整體上把握等式兩邊的算式的含義，學生理解起來有一定的困難。這說明，乘法口訣的記憶與應用，死記硬背和機械訓練較為常見，容易忽視乘法意義層面上的理解性記憶。所以，即使乘法口訣背熟了，學生對“幾個幾”的意義仍然生疏。

【教學建議】

出示7×6點子圖。

師：從圖中你看到幾個幾？

生：我看到了6個7。

生：我看到了7個6。

師：現在你能看出括號里該填什么嗎？7×6=7×5+（），6×7=6×6+（）。

師：不計算，你能直接填寫嗎？

（一部分學生露出迷茫的神色。）

課件出示經過分割的點子圖。

師：現在，對照圖你能說一說嗎？

生：從第一幅圖看出，5個7加1個7，所以7×6=7×5+（7）。

生：從第二幅圖看出，6個6加1個6，所以6×7=6×6+（6）。

同一幅7×6的點子圖，展現不同的分割方法，借助數形結合的力量，展現數學知識背后豐富的思想方法和思維價值，讓知識結構順利生長。

【教學片段】人教版小學數學五年級上冊第六單元《組合圖形的面積》

鞏固練習環節。

師：這些圖形的面積各是多大？你會計算嗎？

指名口答第一幅圖的面積，然后學生完成后兩幅圖的面積計算。

【診斷分析】

生活中的組合圖形面積計算，數據不會是現成的，測量哪些數據是有講究的。課堂練習進行面積計算的重復訓練，既不能培養學生解決實際問題的能力，也缺失了數學思考的成分。例如，如何對組合圖形進行合理的分割或添補？測定哪些數據就可以解決問題？重復機械的練習，不但消解了已形成的探索體驗，而且讓轉化、類比、優化等思想方法的積淀無從落實。

《組合圖形的面積》教學主要包括方法的探索歸納與運用拓展。在方法探索環節，學生感知了大量的組合圖形，基本圖形的面積計算技能基本形成。練習環節就應該從添加輔助線、測量必需數據以及豐富問題背景等方面，設計從易到難、有一定梯度的練習，發展學生的空間想象能力和推理能力，在解決問題中培養學生思維的靈活性。

【教學建議】

教學中，可以從思維材料的組織入手，有意隱去組合圖形中的部分數據，使學生由思維沖突引發思考：你覺得至少需要知道幾個數據就能算出面積？變“簡單機械地練”為“嘗試探索著學”，真實的任務促進學習更深入的發生。學生對圖形進行了不同的分解，準確鎖定所缺少的條件，然后經過觀察、分析，測量有效數據，尋求解題途徑。最后，學生通過表達、傾聽，進行思維碰撞，體會方法的多樣性。

通過對思維材料的合理加工，改“成品”為“半成品”，按照“無輔助線，有數據”→“無輔助線，有部分數據”→“既無輔助線，也無數據”的順序，摒棄重復訓練，聚焦數學思考，讓篩選、優化、轉化等策略成為學生的自發需要，觀察、分析、類比、想象、推理等思維方法得到運用，深刻性、靈活性、系統性等思維品質在數學學習過程中得到提升。