順應思維生長規律 凸顯算理算法生成
——《分數乘法》教材解讀與教學建議

○劉愛東

《分數乘法》是人教版小學數學六年級上冊第一單元的內容，是在學生學習了整數乘法、分數的意義和性質以及分數加法等知識的基礎上進行編排的，其教學目標是引導學生探索、理解并掌握分數乘法的意義和計算方法，拓展乘法運算的意義，并能運用所學知識解決一些簡單的實際問題。這些是小學階段重要的基礎知識和基本技能。一方面，有關分數的知識和方法都比較抽象，對發展學生的抽象思維能力有著重要的促進作用；另一方面，學好這部分內容，可以使學生進一步體會數學知識和方法之間的聯系，豐富對現實世界基本數量關系的認識；同時，也為進一步學習分數除法、分數四則混合運算以及有關分數實際問題打下扎實的基礎。

一、關注內容變化，明晰思維起點

與實驗教材相比，新教材除了把原《分數乘法》單元中“倒數”的內容移至《分數除法》單元外，教學內容上主要有三個方面的變化。

1.突出乘法意義的擴展，厘清了分數乘法的意義。

傳統教學通常把分數乘法的意義分成兩個部分進行教學，一是分數乘整數的意義與整數乘法相同，都表示求幾個相同加數的和的簡便計算，二是一個數乘分數的意義與整數乘法不同，表示求一個數的幾分之幾是多少。新教材從乘法的本質出發，把分數乘法的意義和整數乘法的意義統一歸結為“幾個幾”（這里的兩個“幾”既可以是整數，也可以是分數），并用“幾的幾分之幾（幾倍）”的語言來描述，既降低了思維的難度，又凸顯出數學的本質。

根據這樣的思路，教材編排了三道例題來教學分數乘法的意義和計算。例1通過創設分蛋糕的情境，引導學生探索的計算方法。學生通常會根據整數乘法的意義，應用連加的計算方法推導出分數與整數相乘的方法。例2通過回憶舊知“1桶水有12L”“3桶水共多少升”，引導學生根據數量關系“單位量×數量=總量”列出算式12×3后，想“求3個12L，就是求12L的（）倍是多少”，把意義的理解聚焦到“求一個數的幾倍是多少”上來。依循這樣的過程學習“桶水是多少升”，組織學生結合直觀圖和分數的意義，探究發現的意義就是求“12L的是多少”，進而得出“一個數乘幾分之幾就是求這個數的幾分之幾是多少”。把“一個數的幾倍”擴展到了“一個數的幾分之幾”，使學生理解到分數乘法的意義和整數乘法的意義本質上完全一致，從而完成乘法意義的擴展。在此基礎上，例3求“公頃的，列成算式也就水到渠成了。

2.凸顯生活實踐的需要，增加分數與小數相乘的內容。

實驗教材中沒有分數與小數相乘的教學內容，但在日常生活和未來的學習中，會遇到許多分數與小數相乘的情況。當分數的分母能夠與小數直接約分時，如果學生還是把小數改寫成分數再進行約分，或者把分數改寫成小數再計算，其繁瑣程度和出錯概率無疑會大大增加，因此，新教材安排了例5，分別計算和通過教學使學生明白，當遇到分數的分母能夠與小數直接約分時可以先約分再計算。這樣的編排，一方面有助于學生形成更合理的數學知識結構，另一方面有助于溝通分數與小數之間的聯系，有利于促進學生在實際計算中，養成根據數據特點靈活選擇計算方法的好習慣，提高運算能力。

3.彰顯解決問題的方法，調整了用分數乘法解決實際問題的類型。

新教材在學生理解與掌握“求一個數的幾分之幾是多少”這一基本問題的基礎上，增加了例8“連續求一個數的幾分之幾是多少”的實際問題。這類問題需要通過“中間量”搭建起已知量和所求量之間的“橋梁”，解決的關鍵在于，要把較復雜的問題化歸為基本的“求一個數的幾分之幾是多少”，并牢牢抓住這一基本數量的關鍵要素：這個數是誰？是誰的幾分之幾？所求到的量是什么？

而求“比一個數多（或少）幾分之幾的數是多少”的實際問題，與實驗教材相比，由兩個例題縮減為一個，只安排了例9解決求比一個數多幾分之幾的數是多少，將“求比一個數少幾分之幾的數是多少”放在“做一做”中讓學生鞏固掌握。

二、把握教材特點，彰顯數學本質

1.整體建構，前后知識聯系緊密。

為了便于組織教學，教材將安排的9個例題整合成三個教學段落。其中，第一段4個例題：例1教學分數與整數相乘的計算方法，例2教學求一個數的幾分之幾是多少，并由此拓展乘法運算的意義，例3教學分數與分數相乘的方法，例4教學分數乘法中的約分；第二段3個例題：例5教學分數與小數相乘的計算方法，例6、例7教學分數乘法與加、減法混合運算，以及根據運算定律進行分數乘法的簡便計算；第三段2個例題：例8教學兩步連乘的實際問題，例9教學求比一個數多幾分之幾是多少的實際問題。第一段重在分數乘法的意義和計算方法，第二段重在分數乘法運算的拓展，第三段重在分數乘法的應用，三個段落循序漸進、層次分明，內在邏輯關系十分清晰。

2.借助直觀，豐盈過程外顯算理。

教材充分借助幾何直觀的作用，發揮直觀圖、連續性直觀文本、線段圖等易于直接觀察和動手操作的優勢，使內在的思考過程顯性化，讓抽象的邏輯思維和空間想象能力得到有效的提升。例1借助直觀的蛋糕圖和分數的意義，引導學生得出分數乘整數的計算方法。例3借助3幅連續的矩形直觀圖和分數的意義理解分數乘法的算理，以動態的方式、可視的形式幫助學生理解數與量之間的動態轉換。例9借助畫線段圖的策略，直觀顯示嬰兒每分鐘心跳次數與青少年每分鐘心跳次數的關系，培養學生利用圖形解決分數乘法實際問題的意識和能力。

3.重視素養，解題策略開放靈活。

教材編排在解題方法策略多樣化方面十分突出，策略的開放使解決問題從關注形式轉到關注本質，避免了學生機械套用公式解題，促使學生把注意力更多地放在解決問題的過程和方法上。例6提供了兩種方法，可以先算出一條長與一條寬之和，再乘2求周長；也可以先算出兩條長和兩條寬，再相加求周長，很自然地呈現出兩級運算的題和帶小括號的題，再根據“分數混合運算的順序和整數混合運算的順序相同”的提示，讓學生自主選擇喜歡的方法解決問題。例8也提供了兩種方法，可以先求出蘿卜地的面積，也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾。例9可以先求出嬰兒每分鐘比青少年多跳的次數，也可以先求嬰兒每分鐘心跳次數是青少年的幾分之幾。

三、提出教學建議，培育核心素養

1.把計算教學與解決實際問題的教學有機結合。

本單元教材一共安排了9個例題，其中有8個例題是與生活現實密切聯系的實際問題。因此，教學中要十分重視聯系現實情境，促進學生自主探究、遷移類推、自主建構。教學例1時，可以從切生日蛋糕的情境引入，用“‘每人吃2個，3人一共吃多少個’怎樣列式”“分別表示什么意思”“怎樣計算”等問題，引發學生重溫“整數乘法的意義和分數加法計算”等舊知，并以此為基礎，鼓勵學生結合蛋糕圖，自主類推學習“每人吃個，3人一共吃多少個”，使學生逐步理解分數乘法的算理，掌握分數與整數相乘的計算方法。例8通過求“紅蘿卜地有多少平方米”這一連續求一個數的幾分之幾是多少的實際問題，讓學生學會分數連乘的方法。這樣，結合解決實際問題的教學，引導學生探索并理解分數乘法的意義和計算方法，既有利于聯系現實問題情境，深入理解分數乘法的意義，也有利于經歷從現實問題中抽象出數量關系的過程，從而積累數學活動經驗，感受數學思想方法，發展數學思考和解決實際問題的能力。

2.深度理解分數乘法的算理和算法。

（1）借助幾何直觀，凸顯思維過程。

對于分數乘法的計算，學生的認知難點在于算理的理解，即計算方法形成的過程及其意義的理解。為此，教師要充分借助幾何直觀，引導學生經歷計算方法的探究過程，化抽象、復雜為形象、簡潔，正確理解分數乘法的算理和算法。教學例3分數與分數相乘時，可以借助長方形示意圖動態呈現運算過程。先讓學生通過觀察表示數量關系的示意圖，并聯系分數乘法的意義，提出關于分數乘分數計算方法的猜想，再將一張空白的長方形紙看成1公頃開展操作驗證，上下對折后，左右又均分成5份，給其中的一份畫上陰影，展開后觀察陰影部分占長方形面積的幾分之幾，就是結果，進一步感知猜想的合理性。接著讓學生在長方形紙上表示的計算結果，最后啟發學生觀察每個乘法算式，以及由畫圖操作所得到的計算結果，比較、分析每一道算式中積的分子、分母與兩個因數的分子、分母的關系，歸納總結出分數乘分數的計算方法。這樣的學習過程，符合學生的年齡和思維特點，有助于學生借助直觀理解抽象問題的經驗的積累。

（2）加強類比歸納，發展數學思考。

數學知識和方法之間總是有內在聯系的，主動發現并溝通這種聯系，不僅有助于學生更加透徹地理解所學的知識和方法，而且有助于優化認知結構，加深學生對知識本質的理解。教學例2求一個數的幾分之幾是多少，一方面要通過適當的比較，引導學生認識到它與“求一個數的幾倍是多少”看似數量關系不同，但它們的數學本質卻是一樣的，“幾分之幾”和“幾倍”都表示兩個數量之間的比的關系，只是前者比值小于1，后者比值大于1；另一方面，有了上述的經驗，學生就有可能自主探索較復雜的分數實際問題。例6、例7分數乘法與加、減法的混合運算，以及根據運算定律進行分數乘法的簡便計算，學生在學習整數乘法時都有過類似的學習經驗和知識、方法的積累，這里只是把整數換成了分數。教學中，要通過類比歸納，引導學生發現其中的道理，學生自然而然地會把這部分知識同化到已有的知識結構中來。

3.在分數乘法拓展中提高運算能力。

運算能力不僅僅指依據法則和運算律等正確計算的能力，還包括尋找更加簡潔的運算方法的意識，以及對運算結果合理性的把握能力。教學中，要注意發揮例題和習題的教學價值，著力引導學生主動發現計算規律，并根據規律合理、靈活地計算。教學例5分數與小數相乘的計算方法時，引導學生在約分前先要認真審題，當遇到分數的分母能夠與小數直接約分時要先約分再計算，這樣可以使計算簡便。教學例8兩步連乘的實際問題時，要讓學生通過比較懂得，我們可以有兩種方法進行計算：一是先把前兩個數相乘，再用乘得的積與第三個數相乘，二是根據已有的約分以及乘法運算律的經驗，將題中每一個分數的分子和分母分別看成一個整體進行一次性約分，即題中的任意一個分子可以與任意一個分母進行約分，所有分子相乘的積作積的分子，所有分母相乘的積作積的分母。顯然，后者更加簡潔，需要大力提倡，讓學生盡可能掌握這種方法。而例9求“比一個數多幾分之幾是多少”的實際問題中的兩種解法，學生可以根據實際情況靈活應用。

資料存盤

1.《分數乘法》的課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在“學段目標”的第二學段中提出：掌握必要的運算技能。在“課程內容”的第二學段中提出：能分別進行簡單的小數和分數（不含帶分數）的加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）；能解決小數、分數和百分數的簡單實際問題；經歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。

2.最早的分數乘法。

最早的分數乘法運算見于中國古代的《九章算術》，該書稱分數乘法為乘分，其法則是：“母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。”譯為今文是：分母相乘作積的分母，分子相乘作積的分子。用現代的數學符號可表示為：

3.湯斯托爾的分數乘法。

在歐洲，湯斯托爾1552年發表的用拉丁文寫的算術書中，說明時，先將正方形垂直地均分成5個長條，然后再水平地均分成5個長條（如圖），這樣就分成了25個小正方形，其中每一個小正方形的面積是大正方形面積的