分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的一類新型絕熱不變量*

徐鑫鑫 張毅

1) (蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院， 蘇州 215009)

2) (蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院， 蘇州 215011)

為了更加準(zhǔn)確地描述復(fù)雜非保守系統(tǒng)的動力學(xué)行為， 將Herglotz 變分原理推廣到分?jǐn)?shù)階模型， 研究分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的絕熱不變量. 首先， 基于Herglotz 變分問題， 導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理并進(jìn)一步得到分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的運動微分方程； 其次， 引進(jìn)無限小單參數(shù)變換， 由等時變分和非等時變分的關(guān)系， 導(dǎo)出了分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型精確不變量； 再次， 研究小擾動對分?jǐn)?shù)階Lagrange 系統(tǒng)的影響， 建立了基于Caputo 導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Lagrange 系統(tǒng)的絕熱不變量存在的條件， 得到了該系統(tǒng)的Herglotz 型絕熱不變量； 最后， 舉例說明結(jié)果的應(yīng)用.

1 引 言

Herglotz 廣義變分原理是由Herglotz[1]提出來的， 它的作用量是由微分方程定義的. 與經(jīng)典的變分原理相比， 它有如下幾點特征： 其一， 給出了非保守動力學(xué)過程的變分描述. 然而， 經(jīng)典變分原理不能將非保守系統(tǒng)表示為泛函的極值； 其二， 經(jīng)典的哈密頓原理是Herglotz 廣義變分原理的一個特例. 因此， Herglotz 廣義變分原理不僅可以描述所有可以用經(jīng)典變分原理描述的物理過程， 還可以描述經(jīng)典變分原理不能應(yīng)用的問題； 其三， Herglotz廣義變分原理將保守過程和非保守過程統(tǒng)一為同一動力學(xué)模型， 從而能夠系統(tǒng)地處理實際動力學(xué)問題. 由于這一優(yōu)勢， Herglotz 廣義變分原理被廣泛地應(yīng)用于研究非保守系統(tǒng)和耗散系統(tǒng)的Noether定理. Georgieva 和Gueuther[2]和Georgieva 等[3]基于Herglotz 廣義變分原理得到了Noether 定理.Santos 等[4，5]研究了高階Herglotz 變分問題和含時滯的Herglotz 變分問題的Noether 定理. Zhang和Tian[6-12]基于Herglotz 廣義變分原理在非保守非完整系統(tǒng)、Birkhoff 系統(tǒng)、非保守Lagrange 系統(tǒng)、相空間以及分?jǐn)?shù)階模型上分別研究了Noether對稱性與守恒量. 但是關(guān)于Herglotz 型絕熱不變量的研究還處于起步階段， 尚未引起重視.

研究非保守或非線性動力學(xué)的對稱性和不變量具有重要的意義， 也是分析力學(xué)的前沿研究領(lǐng)域. 當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)受到小擾動時， 系統(tǒng)的對稱性和守恒量都會發(fā)生改變， 我們稱之為對稱性攝動與絕熱不變量. 近年來， 關(guān)于絕熱不變量的研究已經(jīng)取得了許多成果， 包括Noether 型[13-16]、Hojman 型[17-20]和Mei 型[21]的絕熱不變量. 最近， 絕熱不變量的研究還被推廣到了分?jǐn)?shù)階微積分的框架下[22-24].可以發(fā)現(xiàn)這些絕熱不變量都是通過研究對稱性得到的. 實際上， 絕熱不變量也可以通過微分變分原理得到. 本文將基于Herglotz 型微分變分原理， 給出分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的一類新型絕熱不變量， 并證明該絕熱不變量存在的條件及其形式.

2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

在這一節(jié)中， 回顧本文中所用到的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一些基本定義和性質(zhì)， 可參考文獻(xiàn)[25].

左Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

右Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

左Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

右Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義如下：

其中 Γ (?) 是 Euler-Gamma 函數(shù)， 階α滿足k ?1 ≤α ＜k. 如果α為整數(shù)， 上述分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)成為整數(shù)階導(dǎo)數(shù)

假設(shè)函數(shù)f(ξ)和g(ξ) 在區(qū)間 (a,b) 上是連續(xù)可積的， 則Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階分部積分公式為

3 分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理

基于Caputo 導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階Herglotz 變分問題為： 確定函數(shù)qs(t) ， 使由微分方程：

定義的泛函z， 在給定的邊界條件：

及初始條件：

下，z(t) 取得極值. 其中可稱為Herglotz 意義下的分?jǐn)?shù)階Lagrange函數(shù)；qs(s=1,2,··· ,n) 為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；qa，qb和za均為固定常數(shù). 考慮到黏彈性體的力學(xué)性質(zhì)是介于彈性體和黏性流體之間， 其本構(gòu)關(guān)系應(yīng)為σ(t)～dβε(t)/dtβ(0＜β ＜1)， 而黏性和彈性則為黏彈性的兩個極限狀態(tài)[26]， 因此這里將α的范圍取為 ( 0,1) .

可稱由(7)式確定的泛函z為Hamilton-Herglotz作用量， 上述變分問題稱為分?jǐn)?shù)階Herglotz 變分原理.

對(7)式取等時變分， 有

由交換關(guān)系：

則(10)式可表為

其中

由(9)式， 則δz(a)=0 ， 所以上述初值問題的解為

并考慮到z(t) 在t=b取得極值， 因此有

由于(14)式對任意t∈[a,b] 上都成立， 若取t=b， 則有

將(13)式代入(16)式， 可得到

當(dāng) 0＜α ＜1 時， 根據(jù)Caputo 導(dǎo)數(shù)下的分?jǐn)?shù)階分部積分公式((5)式)、邊界條件以及交換關(guān)系， 對含的項進(jìn)行分部積分運算：

由(18)式， 則 (17)式成為

由積分區(qū)間的任意性， 得到

(20)式是我們得到的分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理.

由δqs的獨立性， 則導(dǎo)出系統(tǒng)的運動微分方程為

如果Lagrange 函數(shù)不顯含z， 即L=L(t,qs(t),則(21)式成為

(22)式是經(jīng)典分?jǐn)?shù)階的非保守Lagrange 系統(tǒng)的運動微分方程.

當(dāng)α→1 時， 則(7)式成為

(21)式成為

(24)式是非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz型運動微分方程[2].

4 分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型精確不變量

引進(jìn)時間t和廣義坐標(biāo)qs的單參數(shù)無窮小變換：

或其展開式：

對任意的函數(shù)F， 等時變分δF和非等時變分ΔF之間存在如下關(guān)系[27]：

則可以得到

其中ε為無限小參數(shù)；τ0和稱為無窮小變換的生成函數(shù).

值得指出， 在整數(shù)階微積分的框架下， 從理論物理和微分幾何的角度， 生成函數(shù)一般取為時間和廣義坐標(biāo)的函數(shù)， 即τ0(t,qk)和這樣的變換構(gòu)成一個Lie 群， 且變換是保幾何結(jié)構(gòu)的[27]. Sarlet和Cantrijn[28]曾詳細(xì)討論生成函數(shù)的函數(shù)依賴性問題. 由于我們現(xiàn)在研究的是分?jǐn)?shù)階非保守系統(tǒng)及其不變量， 從應(yīng)用的角度考慮生成函數(shù)也依賴于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項， 這樣拓寬了生成函數(shù)的取值范圍.

將(28)式代入(20)式， 整理得

由于

定理1對于分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)(21)， 如果存在規(guī)范函數(shù)G0使無限小生成元τ0和滿足如下條件：

則系統(tǒng)存在守恒量

守恒量((33)式)也稱作精確不變量. 當(dāng)α→1 ，(33)式退化為經(jīng)典非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz型守恒量[9]：

如果令

則(21)式可寫成

取無窮小變換為

得到如下定理：

定理2對于分?jǐn)?shù)階非保守Hamilton 系統(tǒng)(37)， 如果無限小變換生成元和規(guī)范函數(shù)G0滿足下列條件：

則存在守恒量：

當(dāng)G0=0 時， 得到了文獻(xiàn)[12]的結(jié)果.

5 分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型絕熱不變量

根據(jù)動力學(xué)系統(tǒng)絕熱不變量的概念[13]， 我們給出分?jǐn)?shù)階非保守系統(tǒng)的高階絕熱不變量的定義.

假設(shè)分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)(21)受到了一個小擾動νQs的作用， 則(21)式成為

由于小擾動νQs的作用， 該系統(tǒng)原有的對稱性和不變量都會發(fā)生改變. 假設(shè)受擾系統(tǒng)的無限小生成函數(shù)可表示為

并滿足

其中G為規(guī)范函數(shù)， 記為

定理3對于受到小擾動作用的分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)(21)， 如果無窮小變換的生成函數(shù)滿足

則系統(tǒng)存在m階絕熱不變量：

證 明令根 據(jù)(45)式和(41)式可得

因此，Im是一個m階絕熱不變量.

(46)式是基于Herglotz 微分變分原理導(dǎo)出的一類新型絕熱不變量. 特別地， 當(dāng)m=0 時， 絕熱不變量為精確不變量.

當(dāng)α→1 ， 絕熱不變量(46)式退化為經(jīng)典非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型絕熱不變量[29]：

類似地， 我們有：

定理4對于受到小擾動作用的分?jǐn)?shù)階非保守Hamilton 系統(tǒng)(37)式， 如果無窮小變換的生成函數(shù)滿足：

則系統(tǒng)存在m階絕熱不變量：

6 算 例

作為例子， 研究分?jǐn)?shù)階線性阻尼振子[30，31]. 分?jǐn)?shù)階振子是粘彈性阻尼系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階模型， 其動力學(xué)方程含有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項. 由于分?jǐn)?shù)階模型具有記憶效應(yīng)和空間全域性等， 它能更準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動力學(xué)行為， 因而分?jǐn)?shù)階振子的研究得到了廣泛關(guān)注[32-38].

首先根據(jù)文獻(xiàn)[39]的方法， Herglotz 意義下分?jǐn)?shù)階振子的Lagrange 函數(shù)為

其中m為質(zhì)點的質(zhì)量，k為彈性系數(shù)，c為阻尼系數(shù)，m,k,c為常量； 泛函z滿足微分方程：

由(21)式， 得到其運動微分方程：

根據(jù)(32)式， 則有

方程(55)有解：

由定理1， 該系統(tǒng)的一個精確不變量為

當(dāng)α→1 時， 得到整數(shù)階線性阻尼振子的精確不變量：

下面研究系統(tǒng)的絕熱不變量. 假設(shè)系統(tǒng)受到的小擾動為

方程(45)給出

方程(60)有解

由定理2， 則該系統(tǒng)有如下一階絕熱不變量：

當(dāng)α→1 時， 得到整數(shù)階線性阻尼振子的絕熱不變量：

可以進(jìn)一步地求得系統(tǒng)的更高階絕熱不變量.

7 結(jié) 論

Herglotz 廣義變分原理為研究非保守系統(tǒng)動力學(xué)提供了一種新的思路. 本文建立了分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型微分變分原理， 基于該原理給出了分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的精確不變量和絕熱不變量. 主要結(jié)果是文中給出的原理(20)和4 個定理.

當(dāng)α→1 時， 分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 微分變分原理(20)退化為整數(shù)階的Herglotz 微分變分原理， 其方程(21)退化為經(jīng)典的Heglotz 型運動微分方程(24)， 與之相應(yīng)的精確不變量(33)也退化為經(jīng)典的Herglotz 型精確不變量(34). 當(dāng)受到小擾動時， 根據(jù)高階絕熱不變量的定義， 得到了分?jǐn)?shù)階非保守Lagrange 系統(tǒng)的Herglotz 型絕熱不變量(46). 若Lagrange 函數(shù)不顯含z， 則問題退化為經(jīng)典分?jǐn)?shù)階Lagrange 系統(tǒng)的變分問題， 方程(21)退化為經(jīng)典分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的運動微分方程(22).

最近， 文獻(xiàn)[40]綜述了Herglotz 廣義變分原理及其Noether 對稱性與守恒量理論研究的近期發(fā)展， 并提出了有待進(jìn)一步研究的若干問題. 例如，一般情形下Herglotz 型Lagrange 函數(shù)的物理解釋；對于一般非保守動力學(xué)系統(tǒng)， Herglotz 型Lagrange函數(shù)的構(gòu)建問題等.