初中數學中陰影部分面積的三種常見求解方法探討

在初中數學的學習過程中，幾何知識占據著重要地位.而求解陰影部分面積的問題，頻繁出現在各類考試和練習題中，這類問題既考查學生對基本圖形面積公式的掌握程度，又考驗學生的圖形轉化能力和邏輯思維能力.陰影部分的圖形往往不是規則的基本圖形，需要學生運用一定的方法和技巧將其轉化為可計算的圖形來求解面積.因此，掌握有效的求解方法對學生學好初中數學幾何知識至關重要.

1 構造和差法

有些題目不能直接看出陰影部分與已知圖形的面積關系，此時需要學生構建數學圖形，轉化思維，通過添加輔助線等方式來構造出可以用和差法計算的圖形.比如，在一個不規則四邊形中，要求某塊陰影部分的面積，可通過連接四邊形的對角線，將四邊形分割成兩個三角形，然后利用這兩個三角形與其他已知圖形或通過計算得到的圖形之間的面積關系，采用和差法求解陰影部分面積.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中， ∠A= 30^°，AB=4，AD=2 ，現以 A 點為圓 ∴ ，以 AD 為半徑畫一段弧，交 AB 邊于點 E ，并連接 CE ，求圖中陰影部分的面積（結果保留 π ）.

因為 AD=2，∠A=30^°

所以 因為以點 A 為圓心， AD 的長為半徑畫弧交AB于點 E ，所以 AE=AD=2 又因為 AB=4 ，所以 BE=2 ，所以 S_??EB=S_?ABCD-S_??ADE-S_?ΔBCE

點評本題考查了不規則圖形面積的求法，掌握相關面積公式和定理是解題的關鍵.利用平行四邊形的面積減去扇形面積和三角形面積即可求解.利用和差法的關鍵在于學生能夠準確分析圖形之間的關系，合理地將陰影部分面積轉化為已知圖形面積的組合.這需要學生多做練習，積累經驗，提高對圖形的敏感度.

2全等法

通過尋找圖形中的全等關系，將陰影部分的某一部分與其他部分進行等量替換，從而簡化計算.例如，在一個圖形中，有兩個全等的三角形，其中一個三角形為陰影部分，另一個三角形與其他規則圖形組合在一起，可利用全等關系將陰影部分三角形進行替換，使陰影部分轉化為更易計算的圖形.

例2如圖2，AB是 ?O 的直徑，弦 CD⊥AB ， ，則 S_ABs= （結果保 留 π ）.

解析 過點 D 作 DF⊥AB 于 F ，解析 因為 ∠C=30^°

所以 ∠EOD=2∠C=60^°.

因為 CD⊥AB，AB 過圓心 O .

所以 ∠AEC=∠DEO=90^°

所以 ∠EDO=30^°

在 RtΔACE 中， ∠C=30^°

所以 AC=2AE ，

根據勾股定理，得 ，

解得 AE=2 （負數舍去），

所以 AC=2AE=4 ，

同理 OE=2，OD=4

所以

所以 （20

點評本題主要考查了陰影部分面積的求解，通過尋找全等關系 S_ΔAEC=S_ΔOED ，將不易求解的不規則圖形面積轉化為容易求解的扇形 AOD 的面積，直觀地解決了問題.

3對稱法

對于具有對稱性質的圖形，可利用對稱原理，將陰影部分圖形通過對稱變換轉化為規則圖形.比如，在一個關于某條直線對稱的圖形中，陰影部分圖形分布在對稱軸兩側，可將一側的陰影部分圖形通過對稱變換到另一側，使陰影部分組成一個完整的規則圖形，再進行面積計算.

例3如圖3，以AB為直徑，點 O 為圓心的半圓經過點 C ，若 ，則圖中陰影部分的面積是

解析 因為 AB 為直徑，

所以 ∠ACB=90^°

因為 ，

所以 ΔACB 為等腰直角三角形，

所以 OC⊥AB ，

所以 ΔAOC 和 ΔBOC 都是等腰直角三角形，

所以 S_ΔAOC=S_ΔBOC ，

所以

點評本題求陰影面積的主要思路是先利用圓周角定理的推論得到 ∠ACB=90^° ，再根據 S_ΔBOC ，結合對稱性，再根據扇形的面積公式計算圖中陰影部分的面積.

4結語

初中數學中陰影部分面積的求解方法多種多樣，公式法較為常見且比較基礎，構造和差法和對稱法是最為常用的方法，此外還有拼湊法、疊合法、估算法等.在實際解題過程中，學生需要根據圖形的特點，靈活選擇合適的方法進行求解.通過掌握這些方法，不僅能夠提高學生解決幾何問題的能力，還能培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力和創新能力，為學生今后的數學學習打下堅實的基礎.教師在教學中應注重方法的傳授和學生思維能力的培養，引導學生不斷探索和總結，提升學生的數學素養.

參考文獻：

[1]魯德健.初中數學教學中與陰影部分的面積、周長有關的計算問題研究[J].數學學習與研究，2024（20）：149—151.

[2]武云輝.例談初中數學陰影面積的求法[J].考試周刊2019（21）：110.

[3]李漢平.美麗的陰影部分圖形—探究《圓》中陰影部分面積的求法[J].數學學習與研究，2016（6）：149.