小學數(shù)學中的“數(shù)學思維”淺析

劉滿

（河北省保定市清苑區(qū)大莊鎮(zhèn)東孟莊小學，河北 保定 071100）

一、“數(shù)學思維”的基本形式

現(xiàn)代關于數(shù)學思維研究的一項重要成果指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構成了算術以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學特別是算術和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去實行進一步的運算。對于所說的“凝聚”可進一步分析如下：

（一）“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現(xiàn)了數(shù)學的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結構中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進行重新建構”。這正如著名哲學家、心理學家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學都可以按照結構的建構來考慮，而這種建構始終是完全開放的……當數(shù)學實體從一個水平轉(zhuǎn)移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進行的演示，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復下去，直到我們達到了一種結構為止，這種結構或者正在形成‘更強’的結構，或者在由‘更強的’結構來予以結構化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構”。

（二）“凝聚”主要包括以下三個階段：1.內(nèi)化；2.壓縮；3.客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程做出描述或進行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關的運作，還可從更高的抽象水平對整個過程的性質(zhì)做出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進教學也具有重要的指導意義。例如，所說的“內(nèi)化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應積極提倡學生的動手實踐，但又不應停留于“實際操作”，而應十分重視“活動的內(nèi)化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數(shù)學思維。另外，在不少學者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳統(tǒng)做法的合理性。

（三）由“過程”向“對象”的過渡不應被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過程”轉(zhuǎn)向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

綜上可見，在算術的教學中我們應自覺地應用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。

二、數(shù)學思維的互補與整合

首先，互補與整合的數(shù)學思維形式對于小學數(shù)學具有特殊的重要性。我們應注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認識到了的，就有理數(shù)的理解而言，關鍵恰又在于不應停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關、彼此獨立的；而應對有理數(shù)的各種解釋很好地加以整合，也即應當將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

其次，我們應注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。這也正是新一輪數(shù)學課程改革的一個重要特征，即突出強調(diào)學生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數(shù)學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數(shù)學的重要方式……教師應激發(fā)學生的學習積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗。”由于實踐活動（包括感性經(jīng)驗）構成了數(shù)學認識活動的重要基礎，合作交流顯然應被看成學習活動社會性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調(diào)的是，除去對于各種學習方式與表述形式的直接肯定以外，我們應更加重視在不同學習方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補。

最后，我們應清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關系。特別是，就由“日常數(shù)學”向“學校數(shù)學”的過渡而言，不應被看成對于學生原先所已發(fā)展起來的樸素直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學校的數(shù)學學習使之“精致化”，以及隨著認識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學直覺。在筆者看來，我們應當從這樣的角度去理解《課程標準》中有關“數(shù)感”的論述，這就是，課程內(nèi)容的學習應當努力“發(fā)展學生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小做出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要做出迅速地估算。當然，作為問題的另一方面，我們又應明確地肯定幫助學生牢固地掌握相應的數(shù)學基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面做出準確的刻畫和計算，并能對運算的合理性做出適當?shù)恼f明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

綜上可見，即使是小學數(shù)學的教學內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學中我們應做出切實的努力以很好地落實“幫助學生學會基本的數(shù)學思想方法”這一重要目標。