謹防“勾股”中的“雷區”

文 孫媛媛

同學們在解決與勾股定理相關的問題時，多多少少會觸碰到一些“雷區”。下面我們就來舉例說明，希望同學們能理解定理，仔細審題，規范答題，知錯防錯，有效“避雷”，在勾股定理的世界自由翱翔。

雷區一 不討論斜邊引起的漏解

例1一個直角三角形的兩邊長分別是3和4，則該直角三角形的第三邊長為_____。

【錯解】5。

【錯因分析】同學們對我們祖先留下的“勾3，股4，弦5”印象深刻，一拿到這題，往往很順利地就想到兩條直角邊長分別為3、4，第三邊長為5。我們來回顧一下勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，而題目僅僅給出兩邊，顯然沒有明確已知邊的“角色”。同學們錯解的原因就是把已知邊默認為直角邊。所以，當情況不明確時，我們必須分類討論，以防漏解。我們知道，直角三角形中斜邊最長，所以3不可能是斜邊長，但是，4可能是斜邊長。所以當4為斜邊長時，直角三角形的第三邊長。

【正解】5或。

雷區二 不清楚概念引發的多解

例2若一個三角形的三邊分別是a、b、c且a、b、c為一組勾股數，其中a=3，b=4，則c=_____。

【錯解】5或。

【錯因分析】在遭受雷區一的“轟炸”后，同學們會自覺地考慮多種情況了，然而，又不知不覺陷入另一個“雷區”——勾股數。何為勾股數？勾股數是指構成直角三角形三邊的一組正整數。顯然這里有兩個條件，一是兩條較短邊的平方和等于第三邊的平方，二是a、b、c都為正整數。顯然錯解中的不符合條件。

【正解】5。

雷區三 不判定圖形形狀

例3如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，AD=2，CD=2，BC=3，AB=5，求四邊形ABCD的面積。

圖1

【錯解】如圖2，連接AC。

在△ADC中，∵∠D=90°，

圖2

【錯因分析】有的同學在求得AC后，沒有判定△ABC的形狀，默認了△ABC是直角三角形，直接求面積。這里同學們應該運用勾股定理的逆定理來證明△ABC是直角三角形。

【正解】如圖2，連接AC。

在△ADC中，∵∠D=90°，

在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，

則有BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，即BC2+AC2=AB2，

∴∠ACB=90°，△ABC為直角三角形，

雷區四 憑直覺造成的誤解

例4如圖3，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為0.7m，梯子的底端A向外移動到A′，使梯子的底端A′到墻根的距離等于1.5m，同時，梯子的頂端B下降至B′，求BB′的長（梯子AB的長為2.5m）。

圖3

【錯解】BB′=AA′=1.5-0.7=0.8m。

【錯因分析】有的同學只憑直覺，認為梯子下降多少，就等于梯子往左滑動多遠，即BB′=AA′。這是不對的，凡事都要有理有據。我們可以親自拿個梯子進行實地試驗，BB′與AA′并不相等。正確的做法應該是先求OB和OB′，再得到BB′的長。

【正解】根據題意，可得AB=A′B′=2.5，∠AOB=90°，在△ABO中，AO=0.7，AB=2.5，∠AOB=90°，

在△A′B′O中，A′O=1.5，A′B′=2.5，∠A′OB′=90°，

答：BB′的長為0.4m。