謹(jǐn)防“勾股”中的“雷區(qū)”

文 孫媛媛

同學(xué)們?cè)诮鉀Q與勾股定理相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，多多少少會(huì)觸碰到一些“雷區(qū)”。下面我們就來(lái)舉例說(shuō)明，希望同學(xué)們能理解定理，仔細(xì)審題，規(guī)范答題，知錯(cuò)防錯(cuò)，有效“避雷”，在勾股定理的世界自由翱翔。

雷區(qū)一 不討論斜邊引起的漏解

例1一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則該直角三角形的第三邊長(zhǎng)為_(kāi)____。

【錯(cuò)解】5。

【錯(cuò)因分析】同學(xué)們對(duì)我們祖先留下的“勾3，股4，弦5”印象深刻，一拿到這題，往往很順利地就想到兩條直角邊長(zhǎng)分別為3、4，第三邊長(zhǎng)為5。我們來(lái)回顧一下勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，而題目?jī)H僅給出兩邊，顯然沒(méi)有明確已知邊的“角色”。同學(xué)們錯(cuò)解的原因就是把已知邊默認(rèn)為直角邊。所以，當(dāng)情況不明確時(shí)，我們必須分類討論，以防漏解。我們知道，直角三角形中斜邊最長(zhǎng)，所以3不可能是斜邊長(zhǎng)，但是，4可能是斜邊長(zhǎng)。所以當(dāng)4為斜邊長(zhǎng)時(shí)，直角三角形的第三邊長(zhǎng)。

【正解】5或。

雷區(qū)二 不清楚概念引發(fā)的多解

例2若一個(gè)三角形的三邊分別是a、b、c且a、b、c為一組勾股數(shù)，其中a=3，b=4，則c=_____。

【錯(cuò)解】5或。

【錯(cuò)因分析】在遭受雷區(qū)一的“轟炸”后，同學(xué)們會(huì)自覺(jué)地考慮多種情況了，然而，又不知不覺(jué)陷入另一個(gè)“雷區(qū)”——勾股數(shù)。何為勾股數(shù)？勾股數(shù)是指構(gòu)成直角三角形三邊的一組正整數(shù)。顯然這里有兩個(gè)條件，一是兩條較短邊的平方和等于第三邊的平方，二是a、b、c都為正整數(shù)。顯然錯(cuò)解中的不符合條件。

【正解】5。

雷區(qū)三 不判定圖形形狀

例3如圖1，在四邊形ABCD中，∠D=90°，AD=2，CD=2，BC=3，AB=5，求四邊形ABCD的面積。

圖1

【錯(cuò)解】如圖2，連接AC。

在△ADC中，∵∠D=90°，

圖2

【錯(cuò)因分析】有的同學(xué)在求得AC后，沒(méi)有判定△ABC的形狀，默認(rèn)了△ABC是直角三角形，直接求面積。這里同學(xué)們應(yīng)該運(yùn)用勾股定理的逆定理來(lái)證明△ABC是直角三角形。

【正解】如圖2，連接AC。

在△ADC中，∵∠D=90°，

在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，

則有BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，即BC2+AC2=AB2，

∴∠ACB=90°，△ABC為直角三角形，

雷區(qū)四 憑直覺(jué)造成的誤解

例4如圖3，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為0.7m，梯子的底端A向外移動(dòng)到A′，使梯子的底端A′到墻根的距離等于1.5m，同時(shí)，梯子的頂端B下降至B′，求BB′的長(zhǎng)（梯子AB的長(zhǎng)為2.5m）。

圖3

【錯(cuò)解】BB′=AA′=1.5-0.7=0.8m。

【錯(cuò)因分析】有的同學(xué)只憑直覺(jué)，認(rèn)為梯子下降多少，就等于梯子往左滑動(dòng)多遠(yuǎn)，即BB′=AA′。這是不對(duì)的，凡事都要有理有據(jù)。我們可以親自拿個(gè)梯子進(jìn)行實(shí)地試驗(yàn)，BB′與AA′并不相等。正確的做法應(yīng)該是先求OB和OB′，再得到BB′的長(zhǎng)。

【正解】根據(jù)題意，可得AB=A′B′=2.5，∠AOB=90°，在△ABO中，AO=0.7，AB=2.5，∠AOB=90°，

在△A′B′O中，A′O=1.5，A′B′=2.5，∠A′OB′=90°，

答：BB′的長(zhǎng)為0.4m。