說說“高”的“那些事”

文 任 蕾

提起“高”，同學們一定會想到直角三角形，想到勾股定理。下面，我們的話題就從一道關于“高”的習題說起：

習題在△ABC中BC邊上的高AD=6，求邊BC的長。

【錯解】如圖 1，畫△ABC，并過點A作AD⊥BC，垂足為D。在Rt△ABD中，BD=同理，在 Rt△ACD中，CD=，所以BC=BD+CD=8+2=10。

【分析】運用勾股定理求線段長是常見方法，上述按照“常規”思路得出的答案有錯嗎？有。錯在何處？本題沒有圖形，所以要將“文字語言”轉化成“圖形語言”。在實際操作中多數同學會畫出圖1，即三角形的高AD在三角形內部，殊不知BC邊上的高的位置并不確定，AD還可能在三角形外部。

圖1

圖2

【正解】除了上述情況，當AD在△ABC外部時（如圖2），過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D。這里求得BC=BD-CD=6。所以BC邊長為10或6。

【點評】關于“高”的問題常用勾股定理解決。三角形的高可能在三角形內部，也可能在三角形外部，甚至在三角形的邊上。我們在解題時要根據三角形的形狀進行分析，若無法確定三角形形狀，要進行分類討論。

拓展已知等腰△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面積為10，求邊BC的長。

【解析】由三角形面積可以聯想到三角形的高，但是高的具體位置還要根據三角形的形狀進行討論。

若△ABC為銳角三角形（如圖3），BC=2 5；若△ABC為鈍角三角形（如圖4），BC=4 5。同學們可以嘗試寫出具體解答過程。

圖3

圖4

【歸納】通過以上例題，我們不難看出，運用勾股定理求有關三角形的高的問題時，往往需要分類討論，這樣才能全面地分析問題的本質。因為“三角形的高在形內或形外”是不能一概而論的，我們應考慮有多個解的可能性。

分類討論是一種基本而又重要的數學思想方法，也是考試的熱點之一。掌握了這個思想，可使我們的數學思維更加靈活、縝密，更有條理。