稀疏度擬合的自適應機械振動信號壓縮感知*

楊正理， 史 文， 陳海霞

(三江學院機械與電氣工程學院 南京，210012)

引 言

機械振動信號中蘊含了設備運行的豐富信息，所以常用于對設備進行故障診斷和狀態監測[1]。然而機械振動信號為動態復雜非平穩信號，具有較高頻率。為了對機械振動信號實現不失真還原，根據傳統的奈奎斯特采樣定理，必須以不小于兩倍振動信號帶寬的頻率進行全采樣，這必然會產生海量數據，為信號的存儲、傳輸和重構帶來很多困難[2]。

壓縮感知(compressed sensing，簡稱CS)理論為解決這一問題提供了良好解決方案[3-4]，并在機械振動信號處理領域成為諸多學者研究的熱點，且取得了很大的研究成果。文獻[5]基于字典學習對軸承故障時的機械振動信號特征進行提取，解決了故障信號中的沖擊成分微弱容易被噪聲覆蓋的問題，滿足了軸承實時故障監測需求。文獻[6]基于K-奇異值分解(K-singular value decomposition，簡稱K-SVD)構造過完備字典實現振動信號精確重構方法，提高了信號的壓縮率和重構性能。文獻[7]提出了一種基于K-SVD改進算法的字典更新方法，算法每次奇異分解后同時對多列字典原子進行更新，減少了迭代次數，在保證信號重構質量的前提下有效縮短了字典訓練的時間消耗。文獻[8]提出了基于稀疏編碼判別軸承故障的診斷方法，通過引入Fisher準則，在頻域對故障信號進行處理，提高了故障診斷的準確率。文獻[9]提出基于提升小波的自適應CS方法，利用小波系數的稀疏度對提升小波的濾波器和分解尺度進行選取，優化了提升小波參數，提高了機械振動信號的重構速度。

然而，目前對機械振動信號的CS仍存在一些不足：①CS的采樣率確定沒有和信號的重構精度形成有效的閉環效果，無法實現對信號重構精度進行預控制，從而可能丟失一些重要信息；②時域下的機械振動信號表現復雜，當分段對其進行CS時，由于各分段信號信息特征差異較大，傳統的稀疏字典無法滿足不同信號段的稀疏要求，從而使重構后的信號整體效果無法保證；③傳統的稀疏變換方法，如離散傅立葉變換、離散小波變換(discrete wavelet transformation，簡稱DWT)、曲波變換、離散余弦變換(discrete cosine transform，簡稱DCT)等，信號處理過程不夠精細，稀疏度不夠高，且容易丟失原始信號的特征信息，影響了信號的重構效果和壓縮率。

針對上述問題，筆者提出了一種稀疏度擬合的自適應機械振動信號CS方法。首先，對機械振動信號進行多尺度小波包變換，由于信號的高、低頻部分被同步分解，既保留了更多原始信號特征，也使信號的稀疏度和信號重構精度得到提高；然后，采用自適應方法確定信號采樣率，使各信號段的重構精度滿足實用要求，并在此基礎上盡可能降低信號的采樣率；最后，采用K-SVD算法構建包含信號特征的過完備字典，使各信號塊的稀疏度和重構精度進一步得到提高。

1 CS理論模型

1.1 信號CS原理

當機械振動信號較長或者連續測量時，需要對信號進行分段處理，設某一信號段為x，對其進行CS處理主要包括信號采集、信號傳輸和信號重構3部分，處理過程如圖1所示。

圖1 信號CS與重構過程Fig.1 Signal CS and reconstruction process

根據CS理論，設有限長一維信號x∈RN在某一變換域是稀疏的，則信號x在該變換域下的稀疏表示為

x=Ψs

(1)

其中：Ψ∈RN×N為正交基矩陣；s∈RN×1為稀疏變換向量。

對信號x進行稀疏表示后，再對其進行M次線性觀測得到觀測向量y∈RM×1，即

y=Φx=ΦΨs

(2)

其中：Φ∈RM×N為一個與Ψ不相關的測量矩陣，且M?N；由于s是k稀疏且k

min‖s‖0s.t.y=Φx=ΦΨs

(3)

其中：‖s‖0為s的l0范數，即s中的非零個數。

求解式(3)常用的方法為正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，簡稱OMP)算法，求得s后代入式(1)可重構出信號x。由觀測向量y重構出信號s須具備2個條件，一是信號s是稀疏的；二是觀測矩陣Φ必須滿足有限等距(restricted isometry property，簡稱RIP)性質[10]，即對任意常數c滿足

(4)

其中：δ∈[0,1]為等距系數。

然而，有些信號在正交變換基Ψ下不夠稀疏，因此可以根據信號的具體特征構建過完備字典D，用以對信號x進行稀疏表示。根據CS理論，如果存在一個變換D，對任意k稀疏信號x，使x=Ds，s∈∑k，∑k={s:‖s‖0≤k}，則式(3)可寫成

min‖s‖0s.t.y=Φx=ΦDs=θs

(5)

其中：θ=ΦD為感知矩陣。

通過訓練樣本得到的過完備字典D一般為非正交基，但由于測量矩陣Φ為高斯隨機矩陣，得到的感知矩陣θ也是隨機的，必然滿足RIP性質。

1.2 信號CS與重構評價指標

文中采用壓縮比(compression ratio，簡稱CR)作為評價機械振動信號CS的壓縮效果評價指標，用n1和n2分別為機械振動信號壓縮前、后的數據量，其計算公式為

CR=(n1-n2)/n1

(6)

峰值信噪比(peak signal to noise ratio，簡稱PSNR)表示信號可能的最大功率和影響其精度的背景噪聲功率之間的比值，單位為分貝(dB)。文中采用PSNR作為機械振動信號重構精度的評價指標

(7)

2 基于小波包的信號稀疏變換

2.1 稀疏變換方法選擇

傳統的DCT和DWT變換重點關注的是信號低頻部分，忽略了仍具有豐富信息的高頻部分，采用這些方法進行稀疏變換時，會丟失部分原始信號的信息特征，且信號處理不夠精細，變換后的稀疏度較低，從而導致信號重構精度下降。采用小波包對信號進行稀疏變換時，信號的低頻部分和高頻部分被同步分解，信號處理更加精細，保留了更多原始信號的特征信息，也使信號的稀疏度和重構精度進一步提高。

對同一信號來說，在其稀疏域的稀疏度越高，信號CS時的壓縮率就越高[11]，變換過程也應盡可能保留原始信號的特征，所以筆者選擇小波包對信號進行稀疏變換。還需說明的是，在采用小波包對信號進行稀疏變換時，還需要根據原始信號的特征，進一步對小波基的類型進行選擇。只有選擇合適的小波基，才能獲得最佳的稀疏效果[12]。文中通過實驗方法確定選擇DB4小波基函數。

2.2 小波包分解尺度選擇

對機械振動信號采用小波包進行稀疏變換，是為了使信號在頻域表現出更高的稀疏度。信號在頻域的稀疏度還與小波包分解的尺度有關，但并非分解尺度越多，稀疏度越高。所以在實際應用中，應該選擇合適的分解尺度。

通過一個實例來分析信號分解尺度和稀疏度之間的關系，并根據分析結果選擇合理的小波包分解尺度。選擇美國西儲大學軸承數據庫中的OR007@6號振動信號為測試樣本，該信號表示在軸承外圈6點方向、0.007″深度處發生了故障，故障負載為0，分別由位于電機驅動端和風扇端的加速度傳感器采樣得到，信號采樣頻率為12 kHz。任意截取長度為512個采樣點的數據，采用DB4小波基對信號進行多尺度小波包分解，對各尺度下小波包系數絕對值不大于閾值T的系數進行置零，置零后的小波包系數中為零的個數與所有系數的百分比定義為稀疏度k，統計結果如表1。

表1 不同分解尺度下的稀疏度Tab.1 The sparsity at different decomposition scales

從表1中數據看出，在不同閾值下，隨著分解尺度的增加，小波包系數的稀疏度呈上升趨勢；但達到一定分解尺度后，稀疏度開始下降。根據表1的數據和分析結果，文中的小波包分解尺度選擇為4。

3 稀疏度擬合的自適應CS

3.1 不同采樣率下信號重構精度

利用機械振動信號進行故障診斷和狀態監測，必須保證重構后的信號具有較高精度。當采用PSNR作為信號重構評價指標時，一般要求振動信號的重構精度PSNR不小于45 dB，否則難以保證重構信號的完整性。對同一機械振動信號來說，如果要求重構信號的PSNR越高，則需要較高采樣率。但采樣率越高時，信號的壓縮率會越低[13]。

通過實例來分析信號的重構精度與采樣率之間的關系，并根據分析結果為自適應采樣率的選擇提供理論基礎。仍采用文中2.2節所述的測試樣本，采用不同的采樣率對信號進行CS，并選擇對應的獨立同分布高斯隨機矩陣為觀測矩陣，采用OMP算法對信號進行重構。不同采樣率下的信號重構PSNR值如表2所示。

表2 不同采樣率時信號重構精度Tab.2 The signal reconstruction accuracy at different sampling rates

由表2可以看出，當采樣率接近80%時，信號的重構精度才能滿足實用要求，這主要是因為測試信號的奇異度較高。更多實驗結果證明，在重構精度一定的前提下，信號越平穩，采樣率越低。

3.2 精確自適應采樣率選擇

根據上述分析，基于信號的重構精度為不同信號選擇精確采樣率的步驟如下(如圖2所示)：

圖2 自適應壓縮采樣流程Fig.2 The flow chart of adaptive compressed sampling

1) 對信號進行4尺度小波包分解；

2) 對第4尺度下的高頻小波包系數中絕對值不大于閾值T的系數進行置零處理，并求取該尺度下的小波包系數稀疏度k；

3) 設置信號初始采樣率f=20%，步長1%，終值100%，然后進行迭代計算：在每個采樣率下對信號進行CS并進行重構，計算信號重構精度PSNR值，當PSNR不大于45 dB時，迭代繼續；當PSNR大于或等于45 dB時，所對應的采樣率為精確自適應采樣率值，記錄該值后迭代結束。

3.3 信號自適應采樣率優化

對機械振動信號采用上述方法進行分段處理，當完成m段信號的稀疏變換后，可以得到一組稀疏度-采樣率的數據對集合{ki，fi}，i=1,2,…,m。由于各種測量誤差的存在，一些數據對會表現為離散的點。根據信號的慣性特征，這些離散的點往往是由測量誤差產生的。為了消除測量誤差，采用最小二乘法對這些數據對進行擬合，即在m次線性函數簇P={p1,p1,…,pm}中找到最佳函數h(k,C)，使其平方誤差和滿足

(8)

實際應用中，在程序的初始化部分對m段振動信號進行稀疏變換，并對m段信號的稀疏度-采樣率數據對進行最小二乘擬合，得到一個確定性函數。程序運行時，當有新數據對加入時，直接調用該確定函數對采樣率進行優化。并將新數據對加入到數據對序列中，再次進行最小二乘擬合并得到新的確定性函數，當有更新的數據對加入時，再次調用新的確定性函數對采樣率進行優化，依次類推。

4 機械振動信號過完備字典設計

機械振動信號的稀疏性是實現信號CS與重構的前提。時域下的機械振動信號是非稀疏的，因而需要采用稀疏字典進行變換。常用的稀疏字典有兩種類型：固定字典和學習字典。固定字典由數學變換得到，如傅里葉字典、DCT字典、DWT字典等。固定字典結構良好，計算速度快，但固定字典對原始信號的依賴性較強，自適應較差，不能良好的表現原始信號特征；學習型字典基于原始信號樣本，通過機器學習方法構建出非正交過完備字典，因其能夠良好表現原始信號特征，壓縮率高，重構性能優越受到廣泛關注，常用的方法有最優方向法和K-SVD法[14]。眾多研究表明，K-SVD方法在字典學習過程中對信號特征的描述效果更好[15]，應用更為廣泛。

K-SVD算法與K-均值聚類算法關系密切，是K-均值聚類算法的高度泛化[16]。字典學習主要包括3個步驟：①字典初始化。可以選擇固定字典(如過完備DWT字典)或隨機選擇K個信號樣本得到初始化字典D，文中采用第2種方法。②稀疏編碼。在初始化字典D的基礎上，采用OMP算法查找信號在字典D上的最優系數矩陣。③字典更新。更新字典D中的原子，并根據迭代次數或最小誤差要求，使字典D達到最優。應用步驟如下。

1) 選取機械振動信號樣本，并確定訓練過完備字典的5個重要參數：原子數量K、原子維數n、待分解信號進行線性稀疏表示時所需要的最大原子數量L、K-SVD算法的迭代次數J和樣本信號集合S的原子個數N。

2) 對選取的機械振動信號樣本按照原子維數n大小進行劃分，并隨機選擇K個原子對字典D進行初始化，再選擇N個原子構成機械振動信號樣本集合S，并保證所有原子均具有2-范數。

3) 在選取的機械振動信號樣本中采用OMP算法進行迭代，求取字典D的稀疏系數矩陣X。

4) 對稀疏系數矩陣X進行固定，利用K-SVD算法對字典D中的原子依次進行更新，使其逼近誤差最小。

5) 重復步驟3和4，直到滿足最小誤差要求或達到預設的迭代次數，得到最優過完備字典D和最優稀疏系數矩陣X。

5 實驗結果及分析

5.1 過完備字典重構性能分析

仍以文中2.2節的測試樣本信號為例。由于信號的周期性和字典訓練的需要，將該測試樣本0～121 991采樣點擴展至0～609 955，其中0～563 200采樣點用以訓練過完備字典，采樣點563 200后的46 755個采樣點為CS測試信號，采用OMP算法對信號進行重構計算。為了使實驗結果更有針對性，在進行本節實驗時不采用自適應采樣率，而是取固定采樣率80%進行實驗。

采用K-SVD算法完成機械振動信號過完備字典訓練過程就是合理選取文中第4節中所述的5個重要參數值。如何對這些參數進行合理選取，還沒有統一的標準。下面分別通過實驗方法測試當某一個參數發生變化時過完備字典對信號的稀疏度，進而對信號重構精度的影響進行分析，獲得選取這些參數的實驗方法。

實驗1分別取K=600，L=14，J=10，N=1 100，當原子維數n從100～500變化時，信號的重構精度曲線如圖3所示。

圖3中的3條曲線分別表示在K-VSD過完備字典、DWT過完備字典和DWT正交基3種稀疏方式下的信號重構精度曲線。可以看出，相同n值下，K-VSD過完備字典具有較好的稀疏性能，其信號重構精度較高，DWT過完備字典次之，DWT正交基最低，這一結果比較明顯地反應了3種稀疏變換方式下信號的稀疏度與信號重構精度有關。另外，當n=300時，3種稀疏方式下的重構精度均較高，且長度為300的采樣點能夠反映振動信號的周期性變化，所以后面的幾項實驗中的n均取300。

圖3 不同n值下信號重構精度Fig.3 The signal reconstruction accuracy under different n values

實驗2分別取n=300，L=14，J=10，N=1 100，當字典的原子數量K從500～800變化時，信號的重構精度曲線如圖4所示。

圖4 不同K值下信號重構精度Fig.4 The signal reconstruction accuracy under different K values

顯然，由于n值固定，觀察矩陣Φ不變，則DWT正交基下信號的重構精度不變。所以，圖中只給出了K變化時，在K-VSD過完備字典、DWT過完備字典2種稀疏方式下的信號重構精度曲線。可以看出，當K=650時，信號重構精度較高。

實驗3分別取n=300，K=650，L=14，J=10，當樣本信號集合S的原子個數N從750～1 100變化時，信號的重構精度曲線如圖5所示。可以看出，N=850時信號的重構精度較好。

圖5 不同N值下信號重構精度Fig.5 The signal reconstruction accuracy under different N values

實驗4分別取n=300，K=650，N=850，J=10，待分解信號進行線性稀疏表示時所需要的最大原子數量L從2～20變化時，信號的重構精度曲線如圖6所示。可以發現，當L≥10后信號的重構精度變得相對比較穩定，從而算法中的L取值不應小于10。

圖6 不同L值下信號重構精度Fig.6 The signal reconstruction accuracy under different L values

實驗5分別取n=300，K=650，N=850，L=10，K-SVD算法的迭代次數J從2～20變化時，信號的重構精度曲線如圖7所示。容易看出，當算法的迭代次數超過10次后，信號的重構精度變得相對比較穩定，所以算法的迭代次數取值不應小于10次。

圖7 不同J值下信號重構精度Fig.7 The signal reconstruction accuracy under different J values

5.2 本算法性能比較

為了驗證筆者提出的算法性能，對信號采用小波包自適應稀疏變換，取信號重構精度為45 dB，在K-VSD過完備字典、DWT過完備字典和DWT正交基3種不同稀疏方式下，對10種不同類型機械振動信號進行CS，經多次實驗，得到信號壓縮率CR的平均值計算結果如表3所示。從表中數據可以看出，筆者所述算法的信號壓縮率顯然最高。

表3 不同類型信號的壓縮率Tab.3 The Compression Ratio of different types signals

6 結束語

通過稀疏度擬合的自適應CS方法，完成對機械振動信號的CS與重構，主要解決了3個方面問題：①采用小波包對機械振動信號進行稀疏變換，對仍蘊含豐富信息的高頻信號進行分解，使機械振動信號在頻域的稀疏度更高，提高了信號的壓縮率和重構精度;②采用稀疏度擬合的自適應CS，在保證信號重構精度的前提下，具有最低采樣率；最小二乘法擬合的采樣率優化消除了信號測量過程中可能出現的誤差，使信號重構精度進一步提高;③根據機械振動信號特征，基于K-SVD算法訓練過完備字典對機械振動信號進行稀疏表示，進一步提高了信號的壓縮率和重構精度。但針對機械振動信號，采用K-SVD算法訓練過完備字典時對參數的選取研究甚少，還沒有統一標準的方法可以借鑒。因此筆者通過實驗方法對這一部分內容進行了重點研究，對K-SVD算法的參數進行了合理選取，使其更適合用于對機械振動信號進行處理。