兩種載荷下掘進機截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析*

黃志龍， 宋桂秋， 張眾超， 富佳興

(1.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院 沈陽, 110819) (2.紹興文理學(xué)院機械與電氣工程學(xué)院 紹興, 312000)

(3.天地科技股份有限公司 北京, 100013)

引 言

掘進機在機械化挖掘系統(tǒng)中具有特殊的地位，在地下采礦工程的重要作用使掘進機不斷向高效、節(jié)能、可靠性方向發(fā)展，然而掘進機的穩(wěn)定狀態(tài)是掘進機高效和可靠性的重要影響因素[1-2]。因此許多人進行了掘進機穩(wěn)定性的相關(guān)研究。Zhang 等[3]通過數(shù)值模擬研究了掘進機驅(qū)動系統(tǒng)在承受沖擊載荷時的動態(tài)特性。Eyyuboglu 等[4]通過實驗研究了截齒的圓周等距對具有圓柱形切割頭的懸臂式掘進機性能的影響。鄒曉陽等[5]基于現(xiàn)場振動測試研究了硬巖掘進機的振動特性，并用于理論建模的指導(dǎo)。Alvarez 等[6]使用兩個不同的掘進機切割頭來切割兩種不同類型的巖石，以研究掘進機的性能。Jiang 等[7]通過模擬和實驗研究了掘進機的巖石破碎機理，為提高掘進機的巖石切削性能提供了依據(jù)。也有研究人員運用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測掘進機的性能[8-9]。Wang 等[10]建立了截割單元傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了應(yīng)用于高硬度巖石下的掘進機截割單元的扭轉(zhuǎn)振動特性。Huo 等[11]建立了全斷面掘進機的刀盤系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型，通過Newmark數(shù)值積分方法研究了刀盤系統(tǒng)的動力學(xué)特性。

掘進機穩(wěn)定狀態(tài)與截齒的工作狀態(tài)有重要聯(lián)系，并且在實際工況下從銳利截齒到磨鈍截齒工作狀態(tài)的變化，使其動力學(xué)特性有較大區(qū)別，截齒磨鈍會改變掘進機截割頭的受力狀況，進而影響掘進機的穩(wěn)定性[12]。由上述相關(guān)文獻研究可知，對不同截齒載荷條件下掘進機截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性研究幾乎沒有。因此筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了掘進機截割頭-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的彎扭耦合非線性動力學(xué)模型，對受到時變載荷下的截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)特性進行了分析，研究了兩種截齒載荷分別對截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響，為掘進機的振動控制和動態(tài)設(shè)計提供理論基礎(chǔ)。

1 截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型

掘進機的懸臂系統(tǒng)為截割頭截割煤層提供穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)動力。掘進機截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，花鍵軸由滾動軸承支撐，截割頭由花鍵軸和殼體支撐。

圖1 截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic illustration of the cutting head rotor system

1.1 花鍵的非線性嚙合力

圖2給出了多自由度彎扭耦合集中質(zhì)量模型，以研究截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在時變外激勵下的動態(tài)行為。花鍵嚙合的局部放大圖如圖2(b～c)所示。在圖2中，質(zhì)量點m1代表截割頭，花鍵軸簡化為m2～m5四個質(zhì)量點;Fi為花鍵齒的嚙合力;H為鍵厚;L為鍵高;μ為齒側(cè)間隙;Li為載荷作用點到鍵根的距離;Ln為初始嚙合距離;系統(tǒng)沒有動態(tài)振動位移時Li=Ln;Fx,Fy分別為花鍵不對中產(chǎn)生在x和y方向上的合力;Fsx,Fsy為花鍵的不對中嚙合力;Ry為截割頭的升力;Rx為截割頭的橫切阻力;Mz表示截割頭的負載轉(zhuǎn)矩;Fx i,Fy i為軸承在x,y方向的支撐力。

圖2 截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of the cutting head rotor system

圖2(a)為動力學(xué)模型，圖2(b)顯示了系統(tǒng)動態(tài)振動位移僅發(fā)生在x軸正向時的情況，圖2(c)顯示了系統(tǒng)動態(tài)振動位移發(fā)生在任意角度時的情況。

φi=2π(i-1)/z

(1)

為了便于分析，先假設(shè)不對中發(fā)生在x軸正向，此時有y=0，φ=0。則各鍵的等效嚙合距離為

Li=Ln-Scosφi

(2)

花鍵軸的傳遞扭矩T2可以表示為

(3)

其中：R為花鍵鍵根處圓的半徑;FTi為扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的每個花鍵齒的嚙合力。

根據(jù)粘彈性理論，花鍵軸上的外花鍵和截割頭上的內(nèi)花鍵扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生嚙合力可表示為

(4)

其中:β為每個花鍵齒的變形;θ(t)為每個花鍵齒的變形產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角位移。

花鍵軸和切割頭在轉(zhuǎn)矩T2的作用下一起扭轉(zhuǎn)，因此每個花鍵齒的扭轉(zhuǎn)角位移θ(t)是相同的。當(dāng)考慮花鍵間隙時，各鍵扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的嚙合力可改寫成如下形式[13]

(5)

其中：g[θ(t)Li]為花鍵間隙分段線性位移函數(shù),其中考慮了花鍵間隙μ的影響;ks為花鍵的平均嚙合剛度，cs為花鍵的平均嚙合阻尼。

參照齒輪副的嚙合阻尼經(jīng)驗公式，取嚙合阻尼比ξs為0.1,嚙合阻尼[14]為

(6)

其中：Mn，Mw分別為內(nèi)、外花鍵副的等效質(zhì)量。

動態(tài)振動位移產(chǎn)生的嚙合力[15]為

Fdi=(Ssinφi)ks

(7)

由以上分析可知，每個鍵齒嚙合力為

Fi=FTi+Fdi=

(8)

將各鍵齒產(chǎn)生的嚙合力沿坐標(biāo)方向分解有

(9)

其中:φi為每個鍵齒作用力的方向與x軸正向的夾角

φi=φi+π/2

(10)

則可求得花鍵不對中而產(chǎn)生x，y方向的合力Fx，F(xiàn)y分別為

(11)

以上是動態(tài)振動位移發(fā)生在x軸正向的時候，當(dāng)花鍵嚙合發(fā)生任意角度的不對中時，相當(dāng)于上述不對中繞圓點逆時針旋轉(zhuǎn)φ角，有花鍵的不對中嚙合力為

(12)

1.2 截割頭受力分析

圖3 截割頭受力分析Fig.3 Force analysis of cutting head

截割煤層時，銳利截齒和磨鈍截齒兩種條件下的截割頭載荷分別有如下形式[16]，其中銳利截齒條件下掘進機截割頭載荷為

(13)

磨鈍截齒條件下掘進機截割頭載荷為

其中：ωt+ψi為第i個截齒的位置角;nj為截割區(qū)域內(nèi)的截齒數(shù)量;rj為第i個截齒的工作半徑。

1.3 軸承的振動模型

滾動軸承的外圈固定在殼體上，內(nèi)圈固定在軸上。滾動體與軸承內(nèi)、外圈接觸點的線速度分別為vi=ωir,vo=ωoR,式中r，R分別為軸承內(nèi)外圈半徑，ωi,ωo分別為軸承內(nèi)外圈角速度。軸承保持架的角速度等于滾動體的角速度，并且軸承內(nèi)圈與轉(zhuǎn)軸一起運動，外圈與軸承座固結(jié)不轉(zhuǎn)動，ωo=0，ωi=ω，可得保持架的角速度為

ωd=(vi+vo)/(R+r)=ωir/(R+r)

(15)

則第i個滾動體的轉(zhuǎn)動角度αi為

αi=ωdt+2π(i-1)/Nb(i=1, 2, …,Nb)

(16)

滾動軸承的中心分別產(chǎn)生振動位移x和y；γ0代表軸承間隙，然后第i個滾動體和滾道之間的接觸變形可以表示[17]為

δi=xcosαi+ysinαi-γ0(i=1, 2, …,Nb)

(17)

其中：Nb為軸承滾動體數(shù)目。

根據(jù)非線性赫茲接觸理論，fi表示在滾動接觸情況下第i個滾動體和滾道之間的接觸壓力，考慮到滾動體和滾道之間的接觸只能產(chǎn)生法向正壓力，因此非線性赫茲力僅在δi>0成立。

H(xcosαi+ysinαi-γ0)

(18)

其中：kb表示赫茲接觸剛度;H(x)為亥維塞函數(shù)，當(dāng)函數(shù)變量大于0時,函數(shù)值為1，否則為0。

軸承支撐力F在x,y方向上的非線性赫茲力分別為

1.4 掘進機截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

考慮截割頭-轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)的橫向和扭轉(zhuǎn)變形，則系統(tǒng)的位移向量為

X=[x1,y1,θ1,x2,y2,θ2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,θ5]T

(21)

其中：xi,yi(i=1，2～5)為質(zhì)量點i的x和y向位移;θi(i=1，2，5)為質(zhì)量點i繞z軸轉(zhuǎn)角;r1θ1,r2θ2,r5θ5分別指質(zhì)量點i的位移函數(shù)。

根據(jù)圖2中的動力學(xué)模型建立了13個自由度的振動微分方程

k2x2+(k3+k2)x3-k3x4=Fx1

(k3+k2)y3-k3y4=Fy1-m3g

k3x3+(k3+k4)x4-k4x5=Fx2

(k3+k4)y4-k4y5=Fy2-m4g

其中：T1為輸入扭矩;T2為截割頭和花鍵軸之間的嚙合扭矩；k1，kh為截割頭的彎曲剛度和殼體接觸剛度；c1，ch為截割頭的彎曲阻尼和殼體接觸阻尼；k2，k3，k4為花鍵軸對應(yīng)處的彎曲剛度；c2，c3，c4為花鍵軸對應(yīng)處的彎曲阻尼；kt1，kt2，kt5為截割頭和花鍵軸對應(yīng)質(zhì)量點的扭轉(zhuǎn)剛度；ct1，ct2，ct5為截割頭和花鍵軸對應(yīng)質(zhì)量點的扭轉(zhuǎn)阻尼；cb1，cb2分別為兩個軸承處的阻尼。

以上方程呈現(xiàn)了復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，它是一種強非線性系統(tǒng)。為了更深入地研究該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)特性，在此考慮了花鍵時變嚙合特性和彎扭耦合作用。

2 截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)分析

以EBZ200型號掘進機為例進行仿真分析，參數(shù)如表1所示。這里采用newmark-β法對系統(tǒng)進行數(shù)值求解。由于掘進機截割頭的旋轉(zhuǎn)速度與輸出截割力成反比。為了確保截割頭在不同條件下具有合理的截割力，下面分別討論銳利截齒和磨鈍截齒條件下截割頭的不同旋轉(zhuǎn)速度對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。首先對銳利截齒條件下掘進機截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行仿真分析。在給定截割煤層硬度Pk=230 MPa、切削厚度h=25 mm等前提下，隨著截割轉(zhuǎn)速n的升高，耦合系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)如圖4所示。圖4中分別顯示了截割頭質(zhì)量點x1方向和扭轉(zhuǎn)θ1方向上的分叉圖和三維頻譜圖。從分叉圖中看出，當(dāng)截割煤層時系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速n∈[15，20]內(nèi)處于混沌運動和擬周期運動狀態(tài)，兩種狀態(tài)交替出現(xiàn)。隨著截割頭轉(zhuǎn)速的升高到n∈[21，60]，混沌運動和擬周期運動被周期性運動所代替。從三維頻譜圖中可以看出，由于系統(tǒng)中存在花鍵非線性嚙合力和彎扭耦合的作用，出現(xiàn)明顯的由轉(zhuǎn)頻fr和嚙合頻率fm組成的組合頻率成分2fm/5+fr,fm/2+5fr,fm+2fr,2fm+4fr,8fm-fr,16fm-3fr等。在截割頭質(zhì)量點扭轉(zhuǎn)θ1方向上出現(xiàn)的高倍頻幅值較大，截割頭質(zhì)量點x1方向上低倍頻幅值較大，頻率成分以低倍頻為主。因此在銳利截齒截割煤層硬度較低時，可以選擇較低轉(zhuǎn)速n>20的穩(wěn)定運動區(qū)域?qū)崿F(xiàn)低速大扭矩來提高切削厚度，同時低速可以減小截割頭磨損。

表1 EBZ200型掘進機截割頭-轉(zhuǎn)子-軸承傳動系統(tǒng)的參數(shù)Tab.1 Parameters of the cutting head-rotor-bearing transmission system in EBZ200 type roadheader

給定截割煤層硬度Pk=230 MPa、切削厚度h=25 mm等相同條件下對磨鈍截齒截割煤層進行仿真分析，結(jié)果如圖5所示。圖5中顯示了截齒磨鈍條件下截割頭質(zhì)量點x1方向和扭轉(zhuǎn)θ1方向上的分叉圖和三維頻譜圖。對比圖4和圖5的分叉圖可以看出，在截齒磨鈍條件下的系統(tǒng)處于混沌運動和逆周期運動的范圍明顯增大，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速n∈[15，22]內(nèi)處于混沌運動和逆周期運動狀態(tài)，在轉(zhuǎn)速n∈[23，60]內(nèi)處于周期運動狀態(tài)。在圖5中轉(zhuǎn)速n=58 r/min時耦合系統(tǒng)出現(xiàn)了跳躍現(xiàn)象。以上分析說明,截齒磨鈍對截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響主要體現(xiàn)在低轉(zhuǎn)速區(qū)域，在截割頭轉(zhuǎn)速較高時截齒磨鈍對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響不大。對比圖4和圖5的三維頻譜圖可以看出， 在截齒磨鈍條件下出現(xiàn)更多的頻率成分，如:2fr,fm/2+fr,fm/2+3fr,3fm/5+4fr,fm+2fr,3fm/2+3fr,2fm+4fr,15fm/2-6fr,15fm-8fr等。截齒磨鈍后的頻率成分依然集中在低頻區(qū)域，由于截齒磨鈍的影響，低頻區(qū)域的組合頻率成分變得更加復(fù)雜。為了更全面了解截齒磨鈍條件下截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)，在圖6～8中分別給出了轉(zhuǎn)速為17, 19,50 r/min 3種情況下截割頭質(zhì)量點x1方向的時域圖、頻域圖、相圖及Poincaré 截面圖。

圖4 銳利截齒條件下截割頭不同轉(zhuǎn)速的分叉圖和三維頻譜圖Fig.4 Bifurcation diagram and 3-D frequency spectrum of different speeds of the cutting head under sharp pick conditions

圖6 截齒磨鈍條件下轉(zhuǎn)速17 r/min時振動響應(yīng)Fig.6 Vibration response at 17 r/min at condition of blunt picks

截齒磨鈍條件下轉(zhuǎn)速為17 r/min時的振動響應(yīng)如圖6所示。從圖6(a)時域圖中看出，截割頭質(zhì)量點x1方向在時域上的振動響應(yīng)為非周期變化。從圖6(b)頻率譜中看出，系統(tǒng)除了組合頻率成分2fr,fm/2+fr等還出現(xiàn)連續(xù)的頻率譜成分，頻率成分較為復(fù)雜。從圖6(c) 相圖中可以看出，相平面顯示出不規(guī)則的運動。從圖6(d) Poincarè截面圖中可以看出，耦合系統(tǒng)呈現(xiàn)出不規(guī)則的離散點。由以上分析進一步驗證了系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)。截齒磨鈍條件下轉(zhuǎn)速為19 r/min時的振動響應(yīng)如圖7所示。從圖7中時域圖、頻域圖、相圖和Poincarè截面圖中看出，系統(tǒng)處于不規(guī)則運動狀態(tài)并在Poincarè截面形成封閉環(huán)，說明系統(tǒng)處于擬周期運動狀態(tài)。系統(tǒng)此時在低頻區(qū)域頻率成分較為復(fù)雜，如組合頻率成分fm/2+fr,fm+2fr等。截齒磨鈍條件下轉(zhuǎn)速為50 r/min時的振動響應(yīng)如圖8所示。從圖8(a)時域圖中看出，截割頭質(zhì)量點x1方向上振動響應(yīng)均為周期運動。圖8(b)顯示了x1方向在低頻區(qū)域有間斷的轉(zhuǎn)頻成分2fr,8fr，嚙合頻率成分fm/3,3fm/5，以及組合頻率成分fm/2+fr,fm/2-3fr等。從圖8(c～d)看出系統(tǒng)在Poincarè截面上存在少量可數(shù)點，相圖上對應(yīng)不規(guī)則的閉合曲線。綜合圖8(a～d)可說明系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。

圖7 截齒磨鈍條件下轉(zhuǎn)速19 r/min時振動響應(yīng)Fig.7 Vibration response at 19 r/min at condition of blunt picks

圖8 截齒磨鈍條件下轉(zhuǎn)速50 r/min時振動響應(yīng)Fig.8 Vibration response at 50 r/min at condition of blunt picks

3 結(jié) 論

1) 銳利截齒條件下截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在低轉(zhuǎn)速n∈[15，20]時處于混沌和擬周期運動狀態(tài)，提高轉(zhuǎn)速后系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。在銳利截齒截割煤層硬度較低時，可以選擇較低轉(zhuǎn)速n>20的穩(wěn)定周期運動區(qū)域?qū)崿F(xiàn)低速大扭矩來提高切削厚度，同時低速可以減小截割頭磨損。

2) 對磨鈍截齒和銳利截齒兩種條件下的系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)進行對比分析，在截齒磨鈍情條件，截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌和擬周期運動范圍增大，頻率成分較為復(fù)雜，頻率幅值波動明顯。應(yīng)提高轉(zhuǎn)速使系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運動狀態(tài)，但轉(zhuǎn)速過高時系統(tǒng)的截割扭矩變小，應(yīng)在提高穩(wěn)定性和增加截割力之間選擇合理的轉(zhuǎn)速。截割頭轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動態(tài)分析結(jié)果為掘進機的減振和動態(tài)設(shè)計提供了理論依據(jù)。