歲月回眸看歷史，文化考題顯素養(yǎng)
——由2020年高考試題再看數(shù)學(xué)文化

◇ 楊 茂

0 引言

數(shù)學(xué)文化是國家素質(zhì)文化教育的重要組成部分，其內(nèi)涵是一種理性思維方法在不斷探索和實(shí)踐過程中形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神，應(yīng)用“體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的價(jià)值”是新課標(biāo)的基本理念之一，數(shù)學(xué)試題的命制也體現(xiàn)著新課標(biāo)的理念.近年來，以“數(shù)學(xué)文化”為背景的試題成為高考命題中一道靚麗的風(fēng)景線，縱觀2008—2018年試題，多以著名的數(shù)學(xué)問題、著名的公式、定理、圖形為中心，將數(shù)學(xué)知識、原理和方法融于一體，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、蘊(yùn)含濃厚數(shù)學(xué)文化氣息的高考試題的出現(xiàn)，不僅給高考數(shù)學(xué)命題的工作注入了新鮮的血液，也為高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了鮮活的素材，有力地推動著培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”的全面落實(shí).2019年全國卷Ⅰ第4題，以斷臂維納斯雕像為例，探討黃金分割之美，將美的文化融入數(shù)學(xué)中，成為人們津津樂道的話題.再觀2020年試題中的“數(shù)學(xué)文化”，同樣給人一種耳目一新的感覺，數(shù)學(xué)不只有公式、定理和無休止的運(yùn)算，它還蘊(yùn)含人文素養(yǎng)、理性精神、思想方法.

1 試題賞析

例1(北京卷10)2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日.歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值.按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)方式是( ).

【試題背景】本題關(guān)注數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義的無理數(shù)，在中國傳統(tǒng)的“割圓術(shù)”基礎(chǔ)上介紹數(shù)學(xué)家的計(jì)算方法，樹立文化自信，進(jìn)行價(jià)值觀的滲透.試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸學(xué)生的基礎(chǔ).本題根據(jù)教材中提到的“割圓術(shù)”(《必修3》第45頁)的部分思想改編而成，以2020年3月14日全球首個(gè)國際圓周率日為背景，結(jié)合中國優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中的“割圓術(shù)”及近代數(shù)學(xué)史上西方的阿爾·卡西法，感悟數(shù)學(xué)“近似計(jì)算”之美，將美育教育融入數(shù)學(xué)教育.

阿爾·卡西在《圓周論》中詳細(xì)地介紹了計(jì)算圓周率的方法.在卡西之前，圓周率的最精確數(shù)值是由我國南北朝時(shí)期的科學(xué)家祖沖之在公元462年發(fā)現(xiàn)的，他算出圓周率π的范圍是3.141 592 6＜π＜3.141 592 7，這對數(shù)學(xué)的研究有重大貢獻(xiàn).一直到1424年，卡西才打破了這個(gè)記錄.卡西所使用的方法仍然是求圓內(nèi)接和外切多邊形的周長.他從正六邊形開始，逐漸使邊數(shù)加倍，這一點(diǎn)和阿基米德、劉徽的方法是一樣的，但是計(jì)算過程各有千秋.卡西通過自己的方式一直算到圓的內(nèi)接正3×228邊形的周長，同樣又算出了圓的外切正3×228邊形的周長，最后取二者的算術(shù)平均數(shù)作為圓周長的近似值，然后再算出π，最后卡西得出的圓周率的值為π＝3.141 592 653 589 793 25，這才打破了祖沖之保持了900年的記錄.

本題考查了圓周率π的近似值的計(jì)算，根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正6n邊形和外切正6n邊形的周長是解答的關(guān)鍵，重點(diǎn)考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中等題.

【姊妹題】我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法.其理論依據(jù)是設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為是x更精確的不足近似值或過剩近似值.已知π＝3.141 59…，令，則第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過剩近似值，即，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第四次用“調(diào)日法”后可得π的近似分?jǐn)?shù)為_________.

答案

例2(山東卷4)日晷是中國古代用來測量時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的維度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面，在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的維度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為( ).

圖1

A.20° B.40°

C.50° D.90°

【試題背景】日晷計(jì)時(shí)的原理：在一天中，被太陽照射到的物體投下的影子在不斷地改變，首先，影子的長短在改變，早晨和晚上的影子最長，隨著時(shí)間的推移，影子先逐漸變短，過了中午它又重新變長；其次是影子的方向在改變，在北半球，早晨的影子在西方，中午的影子在北方，傍晚的影子在東方.

從原理上來說，根據(jù)影子的長度或方向都可以計(jì)時(shí)，但根據(jù)影子的方向來計(jì)時(shí)更方便一些，故通常都是以影子的方位計(jì)時(shí).由于日晷必須依賴日照，不能用于陰天和黑夜.因此，單用日晷來計(jì)時(shí)是不夠的，還需要其他種類的計(jì)時(shí)器(如水鐘)來與之相配.

人類使用日晷的時(shí)間非常久遠(yuǎn)，古巴比倫人在遠(yuǎn)古時(shí)代的6 000年前就開始使用了，中國可追溯到3 000年前的周朝.日晷不但能顯示一天之內(nèi)的時(shí)刻，還能顯示節(jié)氣和月份.當(dāng)然它的缺點(diǎn)也是顯而易見的，笨重而且看不到陽光的時(shí)候不能用，比如陰天和晚上.

中國最早的可靠記載是《隋書·天文志》中提到的袁充于594年(隋開皇十四年)發(fā)明的短影平儀(即地平式日晷).赤道日晷的明確記載初見于南宋曾敏行的《獨(dú)醒雜志》卷二中提到的晷影圖.

畫出截面圖，如圖2所示，其中CD是赤道所在平面的截線，l是點(diǎn)A處的水平面的截線，依題意可知OA⊥l，AB是晷針?biāo)谥本€.m是晷面的截線，依題意，晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理，可知m∥CD.根據(jù)線面垂直的定義，可得AB⊥m.

圖2

由于∠AOC＝40°，m∥CD，所以∠OAG＝∠AOC＝40°，由于

∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°，所以∠BAE＝∠OAG＝40°，即晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為∠BAE＝40°.故選B.

本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查球體的有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行、線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

【姊妹題】日晷，是中國古代利用日影測得時(shí)刻的一種計(jì)時(shí)工具，又稱“日規(guī)”.其原理就是利用太陽的投影方向來測定并劃分時(shí)刻.利用日晷計(jì)時(shí)的方法是人類在天文計(jì)時(shí)領(lǐng)域的重大發(fā)明，這項(xiàng)發(fā)明被人類沿用達(dá)幾千年之久.下圖是故宮中的一個(gè)日晷，則根據(jù)圖片判斷此日晷的側(cè)(左)視圖可能為( ).

圖3

答案D.

圖4

例3(全國卷Ⅰ3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

【試題背景】胡夫金字塔是古埃及金字塔中最大的金字塔，這座塔高146.59 m，由于風(fēng)化，塔頂因風(fēng)化而被大約削掉了10 m，現(xiàn)在是136.5 m，相當(dāng)于一棟40層樓的高度.塔身由230萬塊巨石組成，每塊巨石重1.5噸到160噸不等，塔重約684萬噸，是埃及發(fā)現(xiàn)的70多座金字塔中最大的一座.另外，胡夫金字塔是一個(gè)幾乎實(shí)心的巨石體，把這些大石塊沿著金字塔內(nèi)的螺旋路徑向上運(yùn)送，然后一層一層地堆積起來，當(dāng)埃菲爾鐵塔還沒有建成時(shí)，胡夫金字塔是世界上最高的建筑.

圖5

如圖5所示，設(shè)CD＝a，PE＝b，則

本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道簡單題.

例4(全國卷Ⅱ理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有( )扇面形石板(不含天心石).

A.3 699塊 B.3 474塊

C.3 402塊 D.3 339塊

圖6

【試題背景】天壇是古代舉行祭天大典的場所，主要建筑有圜丘、皇穹宇及配殿、神廚、三庫及宰牲亭，附屬建筑有具服臺、望燈等.圜丘明朝時(shí)為3層藍(lán)色琉璃圓壇，清乾隆十四年(1749)擴(kuò)建，并改藍(lán)色琉璃為艾葉青石臺面，漢白玉柱、欄.圜丘形圓，3層壇制，高5.17 m，下層直徑54.92 m，上層直徑23.65 m，每層四面出臺階各9級.上層中心為一塊圓石，外鋪扇面形石塊9圈，內(nèi)圈9塊，以9的倍數(shù)依次向外延展，欄板、望柱也都用9或9的倍數(shù)，象征“天”數(shù).

設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為an，第一層共有n環(huán)，則{an}是以9為首項(xiàng)、9為公差的等差數(shù)列，an＝9＋(n－1)×9＝9n，設(shè)Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以S3n－S2n＝S2n－Sn＋729，即

本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算問題，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道簡單題.

【姊妹題】天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所.天壇公園中的圜丘壇共有3層(如圖7所示)，上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石鋪成(如圖8所示).上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有9環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有9環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有9環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是_________；上、中、下3層壇所有的扇面形石塊數(shù)是_________.

圖7

圖8

例5(全國卷Ⅱ文3)如圖9，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1，a2，…，a12，設(shè)1≤i＜j＜k≤12.若kj＝3且j－i＝4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為( ).

圖9

A.5 B.8 C.10 D.15

【試題背景】以鋼琴鍵為背景，不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)在音樂領(lǐng)域的價(jià)值，還可以改變學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是冰冷、枯燥的認(rèn)識，使其學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待事物.

根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：

k－j＝3，j－i＝4.i＝1，j＝5，k＝8；

i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；

i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12.

原位小三和弦滿足：

k－j＝4，j－i＝3.i＝1，j＝4，k＝8；

i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；

i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12.

故個(gè)數(shù)之和為10.故選C.

本題主要考查列舉法的應(yīng)用，以及對新定義的理解和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【姊妹題】音樂是用聲音來展現(xiàn)美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，它們是一些形如asinbx的簡單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音.由樂聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波.下列函數(shù)中不能與函數(shù)y＝0.06sin 180 000t構(gòu)成樂音的是( ).

A.y＝0.02sin 360 000t

B.y＝0.03sin 180 000t

C.y＝0.02sin 181 800t

D.y＝0.05sin 540 000t

賞析完試題，不難發(fā)現(xiàn)以上試題情境交融、知能并重，背景涉及古今中外，視角觸及天邊眼前，蘊(yùn)含著濃郁的文化意韻，流淌著鮮活的數(shù)學(xué)思想，是精心打造的亮點(diǎn)之處和匠心獨(dú)運(yùn)的創(chuàng)新之舉.這類問題要求學(xué)生對所提供的信息資料進(jìn)行整理和分析，在試題營造的數(shù)學(xué)氛圍中，感受數(shù)學(xué)的思維方式，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的理性精神，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識世界、觀察社會、思考問題.同時(shí)，體現(xiàn)出高考數(shù)學(xué)以問題為背景、以知識為載體、以方法為依托、以能力為主線，在平凡中進(jìn)行科學(xué)探究，在樸實(shí)中傳播數(shù)學(xué)文化的命題意圖.這些試題的意義和價(jià)值實(shí)際上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了試題本身.

當(dāng)前教材中出現(xiàn)了許多高考數(shù)學(xué)文化命題素材來源題，高考講求“源于教材，高于教材”，所以我們要有意識地對這些數(shù)學(xué)文化素材或真題進(jìn)行拓展改編.

2 試題的啟示

將數(shù)學(xué)文化融入高考試題，改變了以往單純的知識性考查，使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)冰冷的外表下蘊(yùn)藏著的豐富世界，要能夠透過試題表面看到背后的數(shù)學(xué)本質(zhì).但作為一線的教師要認(rèn)識到，并不是因?yàn)楦呖家紨?shù)學(xué)文化，課標(biāo)要求提到數(shù)學(xué)文化，才顯得數(shù)學(xué)文化重要.

在日常的教學(xué)中如何自然地滲透數(shù)學(xué)文化(或數(shù)學(xué)思想)，筆者認(rèn)為“此事無形勝有形”.數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)不是一蹴而就的，一線教師在備課時(shí)應(yīng)該深度挖掘，充分利用教材中所涉及的數(shù)學(xué)文化，在課堂講解的過程中滲透，將數(shù)學(xué)文化中所蘊(yùn)含的思想、方法融入教學(xué)之中，使學(xué)生在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識的同時(shí)了解其背后的故事.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科來自人們對日常生活經(jīng)驗(yàn)的歸納和總結(jié)，更加具有文化氣息，教師要重視對數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用，將數(shù)學(xué)文化貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程的始終，讓學(xué)生可以深入了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，感受數(shù)學(xué)的深厚內(nèi)涵，主動探索和發(fā)掘數(shù)學(xué)文化精髓，培養(yǎng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生感受到更豐富的數(shù)學(xué)知識及數(shù)學(xué)運(yùn)用，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感，最終提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).