帶電粒子在電場中運動的三個處理方法

◇ 楊宗禮

帶電粒子在電場中的運動問題涉及較多的概念和規律，是一個綜合性很強的考點，也是學生學習的難點.帶電粒子在電場中的運動對空間想象能力、分析綜合能力、應用數學知識處理物理問題的能力有較高的要求，是高考考查考生多項能力極好的載體.分析近幾年的高考物理試題可知，帶電粒子在電場中的運動是高考的熱點內容，每年高考都會考查到，復習時要對這部分知識格外重視，同時要掌握好帶電粒子在電場中運動的處理方法.

1 用運動的分解思想處理

分解思想是高中物理有效處理復雜運動問題的重要手段，在處理帶電粒子在勻強電場或電場與重力場組成的復合場中做曲線運動的問題時，運動的合成與分解法比較常見，一般將粒子比較復雜的曲線運動分解為沿電場方向和垂直于電場方向的兩個分運動來求解，緊抓運動的獨立性特征，巧借分運動化難為易，化繁為簡.

例1如圖1所示，一質量為m、電荷量為q(q＞0)的液滴，在電場強度大小為、方向水平向右的勻強電場中運動，運動軌跡在豎直平面內.A、B為其運動軌跡上的兩點，已知該液滴在A點的速度大小為v0，方向與豎直方向的夾角為30°；它運動到B點時速度方向與豎直方向的夾角為60°.求A、B兩點間的電勢差.

圖1

本題液滴在水平方向受電場力作用，豎直方向受重力作用，這兩個力均為恒力，液滴做勻變速曲線運動，因此可以用正交分解法處理.先將復雜的運動分解為兩個相互垂直的直線運動，再根據運動合成的觀點去求復雜運動的有關物理量.

【高考真題賞析1】(2019年全國卷Ⅲ)空間存在一方向豎直向下的勻強電場，O、P是電場中的兩點.從O點沿水平方向以不同速度先后發射兩個質量均為m的小球A、B.A不帶電，B的電荷量為q(q＞0).A從O點發射時的速度大小為v0，到達P點所用時間為t；B從O點到達P點所用時間為.重力加速度為g，求：

(1)電場強度的大小；

(2)B運動到P點時的動能.

(1)設電場強度的大小為E，小球B運動的加速度為a.根據牛頓第二定律、運動學公式和題給條件，有

(2)設B從O點發射時的速度為v1，到達P點時的動能為Ek，O、P兩點的高度差為h，根據動能定理

本題中不帶電小球做平拋運動，帶電小球做類平拋運動.兩種運動均屬于勻變速曲線運動，處理方法均為分解法，均可分解為沿初速度方向的勻速直線運動和沿合外力方向且初速度為零的勻加速直線運動.

2 用能量觀點處理

由于電場力做功與粒子在電場中運動的路徑無關，只取決于始、末位置的電勢差，即WAB＝qUAB，因此用功能關系法處理粒子在勻強電場或非勻強電場中的直線運動或曲線運動問題都是有效的.

例2如圖2所示，在O點放置一個正電荷，在過O點的豎直平面內的A點，自由釋放一個帶正電的小球，小球的質量為m、電荷量為q.小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O為圓心、R為半徑的圓(圖中實線表示)相交于B、C兩點，O、C在同一水平線上，∠BOC＝30°，A距離OC的豎直高度為h.若小球通過B點的速度為v，試求：

圖2

(1)小球通過C點的速度大小.

(2)小球由A到C的過程中電勢能的增加量.

(1)因B、C兩點電勢相等，小球由B到C只有重力做功，由動能定理得

(2)由A到C應用動能定理得

由電勢能變化與電場力做功的關系得

1)對于類似本題受變力作用的帶電體的運動，必須借助能量觀點來處理.即使都是恒力作用的問題，用能量觀點處理通常也更簡捷.

2)電場中功能關系問題的分析方法：

a)受力情況分析和運動情況分析.

b)分析各力做功的情況，做正功還是負功.

c)分清有多少種能量參與，哪種能量增加，哪種減少.

d)選擇動能定理或能量守恒定律列出方程式.

3 運用等效思想處理

等效類比法是物理學中的常用方法.用等效類比的方法，可將復雜的物理情境轉化為簡單、熟悉的情境.在勻強電場中的帶電體除受到電場力外，一般還會受到重力等其他外力的作用，這類問題應用等效重力法，即將重力和電場力的合力看成一等效重力，然后運用類比法，通常都能較簡捷地解決問題.運用等效的觀點對物理過程進行分析，不僅有利于我們對物理問題的解答，還有助于知識的靈活運用，對促進知識和能力的遷移、思維的拓展，都有很大的幫助.

例3如圖3所示，空間有一水平向右的勻強電場，半徑為r的絕緣光滑圓環固定在豎直平面內，O是圓心，AB是豎直方向的直徑.一質量為m、電荷量為＋q(q＞0)的小球套在圓環上，并靜止在P點，OP與豎直方向的夾角θ＝37°.不計空氣阻力.已知重力加速度為g，cos 37°＝0.8.若要使小球從P點出發能做完整的圓周運動，求小球初速度的大小應滿足的條件.

圖3

當小球靜止在P點時，小球的受力情況如圖4所示，先求出重力與電場力的合力F，將這個合力視為一個“等效重力”，

圖4

1)帶電粒子在勻強電場和重力場組成的復合場中做圓周運動的問題，是高中物理教學中一類重要而典型的題型.對于這類問題，若采用常規方法求解，過程復雜，運算量大.若采用“等效法”求解，則能避開復雜的運算，過程比較簡捷.

2)把握三點，正確解答該類問題.

a)把電場力和重力合成一個等效力，稱為等效重力，將視為“等效重力加速度”.

b)等效重力的反向延長線與圓軌跡的交點為帶電體在等效重力場中運動的最高點.等效最“高”點與最“低”點的尋找：確定重力和電場力的合力的大小和方向，然后過圓周圓心作等效重力作用線的反向延長線，反向延長線交圓周上的那個最高點即為圓周的等效最“高”點，延長線交圓周的那個最低點為等效最“低”點.

c)將物體在重力場中的運動規律遷移到等效重力場中分析求解.

4 三法并用

解答一道復雜的帶電粒子在電場中運動的習題或高考題目，往往三種方法要同時運用.

例4如圖5所示，半徑R＝0.8 m的光滑絕緣導軌固定于豎直平面內，加上某一方向的勻強電場時，帶正電的小球沿軌道內側做圓周運動.圓心O與A點的連線與豎直方向成一角度θ，在A點時小球對軌道的壓力FN＝120 N，此時小球的動能最大.若小球的最大動能比最小動能多32 J，且小球能夠到達軌道上的任意一點(不計空氣阻力).則：

圖5

(1)小球的最小動能是多少?小球受到重力和電場力的合力是多少?

(2)現小球在動能最小的位置突然撤去軌道，并保持其他量都不變，若小球在0.04 s后的動能與它在A點時的動能相等，求小球的質量.

(1)小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能EkB.設小球在復合場中所受的合力為F，則有

帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理有－F·2R＝EkBEkA＝－32 J.由此可得F＝20 N，EkB＝8 J，即小球的最小動能為8 J，重力和電場力的合力為20 N.

(2)帶電小球在B處時撤去軌道后，小球做類平拋運動，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動.設小球的質量為m，則

1)第(1)問中，帶電小球在勻強電場和重力場組成的復合場中做圓周運動，將重力和電場力的合力看成等效重力，根據小球的動能最大確定等效最低點的位置，合力的方向確定等效最高點的位置，然后根據動能定理求解.在第(2)問中用正交分解法處理，帶電小球在復合場中做類平拋運動，帶電小球在B處時撤去軌道后，在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動.

2)本題綜合運用了等效重力法、正交分解法、動能定理求解，避開了復雜的運算，較簡捷地解決了問題.

【高考真題賞析2】(2020年全國卷Ⅰ)在一柱形區域內有勻強電場，柱的橫截面積是以O為圓心，半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖6所示.質量為m，電荷量為q(q＞0)的帶電粒子在紙面內自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直.已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ＝60°.運動中粒子僅受電場力作用.

圖6

(1)求電場強度的大小；

(2)為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進入電場時的速度應為多大?

(3)為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進入電場時的速度應為多大?

(1)由題意知在A點速度為零的粒子會沿著電場線方向運動，由于q＞0，故電場線由A指向C，根據幾何關系可知xAC＝R.所以根據動能定理有

(2)根據題意可知要使粒子動能增量最大，則沿電場線方向移動距離最多，做AC垂線并且與圓相切，切點為D，即粒子要從D點射出時沿電場線方向移動距離最多，粒子在電場中做類平拋運動，根據幾何關系有x＝Rsin 60°＝v1t，而電場力提供加速度qE＝ma.

圖7

(3)因為粒子在電場中做類平拋運動，粒子穿過電場前后動量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0，過C點作AC的垂線會與圓周交于B點，故由題意可知粒子會從C點或B點射出.

當粒子從C點射出時初速度為0；當從B點射出時由幾何關系有.電場力提供加速度有qE＝ma.

1)第(1)問中根據動力學條件確定由靜止開始運動的帶電粒子僅在恒定電場力作用下一定做勻加速直線運動，AC就是運動路徑，應用動能定理即可求得電場強度的大小.第(2)問中使粒子動能增量最大，電場力對帶電粒子做功最多，則在電場力方向的投影距離最大，應用類平拋運動規律求解.第(3)問中要用分解思想處理粒子穿過電場前后動量變化量，帶電粒子在電場中做類平拋運動，初速度方向上動量不變，粒子穿過電場前后動量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0，過C點作AC的垂線會與圓周交于B點，故由題意可知粒子會從C點或B點射出.

2)本題作為壓軸題，計算量并不大，但對學生物理思維的深刻性要求較高，著重考查學生對規律的靈活運用，有利于學生終身發展的關鍵能力的培養，著力提升學生物理學科核心素養.