巧用“場線法”速解電場圖象問題

◇ 聶震萍 王曉平

靜電場的圖象問題有多種，其中較為常見的有φx圖象、E-x圖象、Ep-x圖象、v-t圖象等.利用圖象不僅可以考查學生對電場基本概念、基本規律的理解，而且還可以很好地考查學生利用數學知識解決物理問題的能力，綜合性較強.而大多數學生不能把相關知識有效地銜接起來，再加上場的概念又比較抽象，導致解決此類問題時會感覺比較吃力，尤其對電勢高低的判定和電勢能的變化無從下手.其實，除了圖象的常規解法，如利用圖象的直觀物理意義、圖線的斜率、截距、面積等，我們還可以畫出一條具有代表性的輔助電場線來表示題中所給的物理情境，使抽象問題形象化、直觀化，此類問題便可迅速解決.下面例析“場線法”解決問題的方法和技巧，希望對大家有所幫助.

1 知識儲備

解決有關電場圖象問題需要從電場的力的性質、能的性質方面做好知識上的儲備，理順二者間的關系，以便能準確利用物理知識寫出表達式，為相關圖象問題的解決提供知識上的保障.其關系如圖1所示.

圖1

2 “場線法”解決問題的要點

要點1從給定的圖象中能確定場強的方向，沿場強方向畫出一條電場線；

要點2由電場線的方向來判定電勢的高低；

要點3結合電荷的電性來判斷電勢能的變化及電場力做功的特點.

3 典例分析

1)φ-x圖象

對于φ-x圖象，首先要明白圖象本身是描述電勢隨位移變化的規律，根據電勢的高低可以判斷電場強度的方向，這樣我們畫出一條電場線，利用該電場線就能直觀快捷地解決有關電場力做功和電勢能變化的問題.同時也要注意，根據可知圖象的斜率大小表示電場強度的大小.

例1兩電荷量分別為q1和q2的點電荷固定在x軸上的A、B兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨坐標x變化的關系圖象如圖2，其中P點電勢最高，且xAP＜xPB，則( ).

圖2

A.q1和q2都是正電荷

B.q1的電荷量大于q2的電荷量

C.在A、B之間將一負點電荷沿x軸從P點左側移到右側，電勢能先減小后增大

D.一點電荷只在電場力作用下沿x軸從P點運動到B點，加速度逐漸變小

A到P電勢升高，P到B電勢降低，則電場線方向為從P到A和從P到B，則q1和q2是同種電荷，一定是負電荷，故選項A錯誤；在P點，φ-x圖線切線斜率為零，則P點的電場強度大小為零，說明q1和q2兩點電荷在P點產生的場強大小相等，方向相反，由公式，且xAP＜xPB，知q1的電荷量小于q2的電荷量，故選項B錯誤；負電荷從P點左側移到P點右側，電場力先做正功，后做負功，電勢能先減小后增大，故選項C正確；據φ-x圖線切線斜率為場強，知從P點到B點斜率越來越大，場強越來越大，故選項D錯誤.答案為C.

對于選項A、C的判定，可借助“場線法”.根據圖象中電勢的變化可知，從A到P電勢升高，從P到B電勢降低，分別畫出P點兩側的一條電場線，如圖3所示.由圖可以直觀地判斷出，q1和q2都是負電荷，且在A、B之間將一負點電荷沿x軸從P點左側移到右側，電場力先做正功后做負功，故電勢能先減小后增大.

圖3

需要注意的是：φ-x圖象的斜率表示場強的大小，故此題可以根據圖象切線的斜率分析場強的大小變化情況.

2)E-x圖象

對于E-x圖象，首先要明白圖象本身是描述電場強度隨位移變化的規律，場強E的正負表示場強的方向，這樣我們就可以根據場強方向畫出一條電場線，利用該電場線就能直觀快捷方便地解決有關電場力做功和電勢能變化的問題.

例2真空中兩個點電荷Q1、Q2分別固定于x軸上x1＝0和x2＝4a兩點，在它們的連線上場強E與x關系如圖4所示(取x軸正方向為場強正方向，無窮遠處為電勢零點)，以下判斷正確的是( ).

圖4

A.Q1帶正電、Q2帶負電

B.Q1的電荷量是Q2的3倍

C.x軸上3a處的電勢為零

D.正點電荷q在x軸上a處的電勢能比在2a處的大

由圖象可知，0～3a處場強沿正方向，Q1帶正電；3a～4a處場強沿負方向，Q2帶正電，故選項A錯誤；x軸上3a處的合場強為零，根據點電荷場強公式，可知Q1的電荷量是Q2的9倍，故選項B錯誤；3a處的場強為零，但是Q1帶正電，Q2帶正電，所以電勢大于零，故選項C錯誤；場強從a處指向2a處，電勢越來越低，所以正點電荷q在x軸上a處的電勢能比在2a處的大，故選項D正確.

由于E-x圖象直接反映出電場強度大小隨位置變化的規律，且規定了正方向，即E＞0表示場強沿x軸正方向，E＜0表示場強沿x軸負方向，故我們可以以3a位置為分界點，分別畫出其兩側的一條電場線，如圖5所示.這樣在處理A、C、D三個選項時就比較方便.由圖可直觀看出兩電荷均為正電荷，正點電荷周圍的電勢不為零，且由于a處電勢高于2a處電勢，故正電荷q在a處的電勢能比在2a處的大.

圖5

3)Ep-x圖象

對于Ep-x圖象，首先要明白圖象本身是描述電勢能隨位移變化的規律，根據電勢能的變化即可判斷出做功的正負.也可根據做功的情況畫出一條電場線，使得處理相關問題時更加直觀方便.此類圖象還需注意：據W＝ΔEp＝Fx可知，該圖象的斜率代表電場力.

例3在x軸上O、P兩點分別放置電荷量為q1、q2的點電荷，一帶正電的試探電荷在兩電荷連線上的電勢能Ep隨x變化關系如圖6所示，其中A、B兩點電勢能為零，BD段中C點電勢能最大，則( ).

A.q1和q2都是正電荷且q1＞q2

B.BC間場強方向沿x軸負方向

C.C點的電場強度大于A點的電場強度

D.將一負點電荷從B點移到D點，電場力先做負功后做正功

圖6

由圖象知從O到P電勢能一直減小，試探電荷帶正電，電勢一直降低，則兩個點電荷必定是異種電荷，故選項A錯誤；由圖象可知從B到C，電勢能增加，試探電荷帶正電，電勢升高，根據順著電場線電勢降低可知，BC間電場強度方向沿x軸負方向，故選項B正確；根據ΔEp＝－qEx可知，圖象切線的斜率可反映場強的情況，可知C點場強為零，A點的場強不等于零，則A點的場強比C點的大，故選項C錯誤；將一負點電荷從B移到D點，電勢先升高后降低，電勢能先減小后增大，電場力先做正功后做負功，故選項D錯誤.答案為B.

此題可根據電勢能變化的特點判斷出做功的情況，即由于移動的是一正試探電荷，從O移動到P過程中電勢能一直減小，從P移動到D的過程中電勢能先增大后減小，以此為據在P點兩側各畫出一條電場線，如圖7所示.這樣處理A、B、D三個選項就更直觀方便，由圖OP之間的場線可直接看出q1和q2必是異種電荷；BC間的場強方向沿x軸負方向；將一負點電荷從B點移到D點，電場力先做正功后做負功.需要注意的是，由功能關系知ΔEp＝－qE·Δx，即，故Ep-x圖線斜率的絕對值可反映電場力的大小，即可以根據圖象切線的斜率分析場強的變化.

圖7

4)v-t圖象

對于v-t圖象，首先要明白圖象本身是描述速度隨時間變化的規律，而v-t圖象的斜率表示加速度，在只有電場力做功的過程中表示電場力，我們可根據電場力的方向結合電荷的電性畫出一條電場線，由此即可直觀判定電場力做功、電勢的高低及電勢能變化的規律.

例4如圖8-甲所示，等量點電荷M、N固定于光滑絕緣水平桌面上，其連線的中垂線上有A、B、C三點.一帶電荷量為＋q的小球自A點由靜止釋放，其運動的v-t圖象如圖8-乙所示，運動到B、C點的時刻分別為tB、tC，速度大小分別為vB、vC，且tB時刻圖線切線斜率最大.則下列說法正確的是( ).

圖8

A.A、B、C三點中，B點的電場強度最大

B.由A到C的過程中小球的電勢能先減小后增大

C.由A到C的過程中，電勢逐漸升高

D.B、C兩點之間的電勢差

速度—時間圖象中斜率表示加速度，且tB時刻圖象切線斜率最大，可知B點加速度最大，根據牛頓第二定律可知，該點電場強度最大，故選項A正確；由圖象可知，速度逐漸增大，則動能逐漸增大，根據能量守恒定律可知，電勢能逐漸減小，故選項B錯誤；由圖象可知，斜率方向未變，即加速度方向不變，均由A指向C，則正電荷受到電場力由A指向C，所以電場方向由A指向C，由沿著電場線方向電勢逐漸降低可知，由A到C的過程中電勢逐漸降低，故選項C錯誤；對B到C過程由動能定理可得

圖9

此題雖未給出兩電荷的電性，但由v-t圖象可知帶正電的小球一直做加速運動，可以確定場強方向與運動方向同向，故可畫出如圖9所示的一條電場線.由圖9可直觀得出A到C的過程中，電勢逐漸降低，且由A到C的過程中電場力一直做正功，小球的電勢能一直減小.

需要注意的是v-t圖的斜率可表示加速度的變化情況，即可反映電場力、場強的變化情況，故據此可判斷B點的加速度最大.

鏈接練習

1.空間存在一靜電場，一條沿x軸的電場線上的電勢φ隨x的變化圖象如圖10所示.一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子僅在電場力作用下，從坐標原點O由靜止開始沿x軸做直線運動，則帶電粒子的加速度a、速度v、動能Ek、電勢能Ep與x的關系圖象中可能正確的是( ).

圖10

2.空間有一沿x軸分布的電場，其電場強度E隨x變化的圖象如圖11所示.－x1、x1、x2、x3是x軸上的四個點，下列說法正確的是( ).

圖11

A.－x1處的電勢比x1處的電勢高

B.將正電荷由－x1移到x2，電勢能先增大，后減小

C.將一負電荷由－x1處由靜止釋放，若只受電場力作用，它將在－x1和x1之間往復運動

D.負電荷在4個點中的x2處的電勢能最大

鏈接練習參考答案

1.C、D.2.B、C.