動(dòng)能定理的巧導(dǎo)與妙用

◇ 羅倩敏

動(dòng)能定理是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與過(guò)程的橋梁，是力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)樞紐，可以說(shuō)一切簡(jiǎn)單或復(fù)雜的情境問(wèn)題，幾乎都要用到動(dòng)能定理.因此，動(dòng)能定理是中學(xué)物理的“脊梁”，也是高考命題的重點(diǎn)與集結(jié)地.那么，如何復(fù)習(xí)好動(dòng)能定理呢?筆者認(rèn)為應(yīng)抓住動(dòng)能定理的“雙令箭”——巧導(dǎo)與妙用.

1 動(dòng)能定理的巧導(dǎo)

物體所受合外力做的功等于物體動(dòng)能的變化，稱(chēng)為動(dòng)能定理.設(shè)物體的初速度為v，末速度為vt，其質(zhì)量為m，所受合外力為F，合外力做功為W，則動(dòng)能定理表達(dá)式為，現(xiàn)由特殊到一般巧妙推導(dǎo)如下.

1.1 恒力作用下的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)——替代法

當(dāng)物體的初速度與恒力方向在同一直線(xiàn)上時(shí)，物體必做勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).設(shè)物體沿力F方向上的位移為x，物體的加速度為a，則W＝Fx，由牛頓第二定律得F＝ma，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，聯(lián)立整理得證.

1.2 恒力作用下的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)——分解法

當(dāng)物體的初速度與恒力不在同一直線(xiàn)時(shí)，物體必做勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，將物體的初速度分別沿垂直和平行于F方向分解，設(shè)沿力F方向上的位移為x，物體的加速度為a，有W＝Fx，F(xiàn)＝ma，而，聯(lián)立整理得證.

圖1

1.3 變力作用的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)——極限法

圖2

當(dāng)物體在變力作用下做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，采用極限分割法，軌跡如圖2所示，設(shè)從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B有無(wú)數(shù)分割點(diǎn)為1，2，3，…，n，各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的動(dòng)能分別為Ek1，Ek2，Ek3，…，Ekn，由于無(wú)限分割，每?jī)牲c(diǎn)間間距很小，可看成勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)每?jī)牲c(diǎn)間的合外力做功分別為W1，W2，W3，…，Wn＋1，A到B外力做的總功為W，根據(jù)前面的分析有，將以上各式相加有得證.

1.4 任意力作用的一般運(yùn)動(dòng)——微積分法

當(dāng)物體在任意力作用下做一般運(yùn)動(dòng)時(shí)，可用微積分法，軌跡如圖3所示，設(shè)合外力為F，在力F方向上的微元位移為dx，對(duì)應(yīng)做功為dW，則有

圖3

動(dòng)能定理的研究對(duì)象是單個(gè)物體，無(wú)論物體是受恒力還是變力，無(wú)論物體是做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)還是曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其證明的基本思想都是牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律相結(jié)合，巧妙運(yùn)用分解法、極限法、微積法，達(dá)成化曲為直、化變?yōu)楹恪⒒瘡?fù)雜為簡(jiǎn)單的思維效果.

2 動(dòng)能定理的妙用

2.1 妙用動(dòng)能定理推導(dǎo)機(jī)械能守恒與功能關(guān)系

1)當(dāng)物體系只有重力(彈簧彈力)做功時(shí)，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能總量保持不變.或者物體系除重力(彈簧彈力)做功外，其他力都不做功，機(jī)械能總量不變.

對(duì)物體和地球組成的系統(tǒng)，設(shè)物體由初位置1到末位置2，其動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能分別為Ek1、EpG1、EpN1和Ek2、EpG2、EpN2，對(duì)物體由動(dòng)能定理得WG＋WN＝Ek2－Ek1，而WG＝EpG1－EpG2，WN＝EpN1－EpN2，聯(lián)立以上各式整理得Ek1＋EpG1＋EpN1＝Ek2＋EpG2＋EpN2，即E2＝E1，機(jī)械能守恒得證.

2)物體系除重力(彈簧彈力)做功外，其他力做功W其他等于物體系機(jī)械能的變化ΔE.

對(duì)物體和地球組成的系統(tǒng)，設(shè)物體由初位置1到末位置2，其動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能分別為Ek1、EpG1、EpN1和Ek2、EpG2、EpN2，對(duì)物體由動(dòng)能定理可得WG＋WN＋W其他＝Ek2－Ek1，而WG＝EpG1－EpG2，WN＝EpN1－EpN2，聯(lián)立以上各式得

當(dāng)物體系只有重力或彈簧彈力(統(tǒng)稱(chēng)為保守力，保守力做功只與物體的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān))做功時(shí)，機(jī)械能守恒；若除了重力或彈簧彈力做功外，還有其他力(統(tǒng)稱(chēng)為非保守力，亦稱(chēng)耗散力，非保守力特點(diǎn)是其做功與路徑有關(guān)，如摩擦力等)做功W其他，則有W其他＝E2－E1＝ΔE.

2.2 妙用動(dòng)能定理求解多運(yùn)動(dòng)過(guò)程問(wèn)題

1)往返問(wèn)題——單物體在摩擦力作用下的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

例1一個(gè)物體從斜面上高h(yuǎn)處由靜止滑下并緊接著在水平面上滑行一段距離后停止，測(cè)得停止處相對(duì)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)處的水平距離為s，如圖4所示，不考慮物體滑至斜面底端時(shí)機(jī)械能的損失，并設(shè)斜面與水平面對(duì)物體的動(dòng)摩擦因數(shù)相同.求動(dòng)摩擦因數(shù)μ.若物體在水平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能與其位移的關(guān)系如圖5所示，求物體的質(zhì)量m.

圖4

設(shè)斜面傾角為α，對(duì)物體全過(guò)程由動(dòng)能定理得mgh－μmghcotα－μmg(shcotα)＝0，即有.在水平面上由動(dòng)能定理有－μmgx0＝0－Ek0，聯(lián)立可得

圖5

例2如圖6所示，AB和CD為兩個(gè)斜面，其下端分別與一光滑圓弧面相切，PH為整個(gè)軌道的對(duì)稱(chēng)軸，圓弧所對(duì)圓心角為120°，半徑為R＝2 m，整個(gè)裝置處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E中.一帶正電(電荷量為q，且有Eq＝mg)物體在離弧底H高h(yuǎn)＝3 m處以v＝4 m·s－1的速度沿斜面運(yùn)動(dòng)，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.02.求物體在AB與CD兩斜面上運(yùn)動(dòng)的總路程s.(g取10 m·s－2)

圖6

物體經(jīng)過(guò)多次往返后，到D或B點(diǎn)速度為零，由幾何關(guān)系知CD延長(zhǎng)線(xiàn)與DB的夾角為60°，全程由動(dòng)能定理得

由已知有Eq＝mg，聯(lián)立代入解得s＝240 m.

2)板塊問(wèn)題——雙物體在摩擦力作用下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

例3如圖7所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為m1的木板A置于光滑水平面上，在A板上表面左端有一質(zhì)量為m2的物塊B，B與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，A和B一起以相同的速度v0向右運(yùn)動(dòng)，在A與豎直墻壁碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，要使B一直不從A上掉下來(lái)，木板B的長(zhǎng)度L應(yīng)滿(mǎn)足什么條件(用m1、m2、v0、μ表示).

圖7

若m1＞m2，碰撞后的總動(dòng)量方向向左，以向左為正方向，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒有m1v0－m2v0＝(m1＋m2)v，當(dāng)相對(duì)靜止時(shí)B剛好在A板右端，根據(jù)功能關(guān)系得

若m1＝m2，最后系統(tǒng)總動(dòng)量為零，都靜止在水平面上，且B在A的右端，有m1v0－m2v0＝0，

若m1＜m2，則A與墻壁發(fā)生多次碰撞，每次碰撞后總動(dòng)量方向都向右，而B(niǎo)相對(duì)于A始終向右運(yùn)動(dòng)，最后A靜止在靠近墻壁處，B靜止在A的右端，同理有，聯(lián)立解得

2.3 妙用動(dòng)能定理求解變力做功問(wèn)題

1)機(jī)車(chē)恒功率啟動(dòng)——變力直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

例4質(zhì)量為500 t的機(jī)車(chē)以恒定的功率由靜止出發(fā)，經(jīng)5 min行駛s＝2.25 km，速度達(dá)到最大值54 km·h－1，設(shè)阻力恒定且g取10 m·s－2.求機(jī)車(chē)的功率P.

2)圓周運(yùn)動(dòng)——變力曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

例5如圖8所示，質(zhì)量為m的物體被一根穿過(guò)光滑小孔的細(xì)繩牽引在光滑的水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力為某個(gè)值F時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時(shí)，物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2R，則外力對(duì)物體所做的功的大小是多少?

圖8

對(duì)m，由動(dòng)能定理有，由牛頓第二定律得，聯(lián)立可得W＝，即外力對(duì)物體做負(fù)功，大小是

例6如圖9所示，質(zhì)量m＝1.0 kg的物體以v0＝10 m·s－1的初速度從水平面的某點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)并沖上半徑R＝1.0 m的豎直光滑半圓環(huán)上，物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，g取10 m·s－2.

圖9

(1)如果物體從某點(diǎn)出發(fā)后在半圓軌道運(yùn)動(dòng)途中離開(kāi)軌道，求出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x的取值范圍.

(2)設(shè)出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為x，物體從M點(diǎn)飛出后，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為y，通過(guò)計(jì)算畫(huà)出y2隨x變化的關(guān)系圖象.

(3)若半圓軌道粗糙，物體從距離N點(diǎn)x＝2 m處出發(fā)恰好能從M點(diǎn)離開(kāi)軌道，求物體在半圓軌道上克服摩擦力做的功W.

(1)當(dāng)物體恰好從M點(diǎn)飛出時(shí)，有mg＝.從出發(fā)點(diǎn)到M點(diǎn)由動(dòng)能定理有

聯(lián)立解得xmin＝5 m.

當(dāng)物體剛好至與圓心等高處速度為0時(shí)，有

解得xmax＝8 m，綜上得所求的范圍為5 m≤x＜8 m.

(2)物體從M點(diǎn)飛出落到N點(diǎn)所在平面上，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

(3)物體恰好從M點(diǎn)飛出時(shí)有，從出發(fā)點(diǎn)到M點(diǎn)，由動(dòng)能定理有

圖10

聯(lián)立解得W＝15 J.

3)關(guān)聯(lián)體問(wèn)題——變力作用下的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)

例7一輛車(chē)通過(guò)一根跨過(guò)定滑輪的繩PQ提升井中質(zhì)量為m的物體，如圖11所示.繩的P端拴在車(chē)后的掛鉤上，Q端拴在物體上，設(shè)繩的總長(zhǎng)不變，繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、滑輪上的摩擦都忽略不計(jì).開(kāi)始時(shí)車(chē)在A點(diǎn)，左右兩側(cè)繩都已繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩長(zhǎng)為H.提升時(shí)車(chē)加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)過(guò)B駛向C.設(shè)A到B的距離也為H，車(chē)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB.求車(chē)由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功.

圖11

例8一光滑輕桿下端用鉸鏈固定，桿的某點(diǎn)緊靠在質(zhì)量為m、高為h的長(zhǎng)方體上，長(zhǎng)方體置于光滑水平地面上，若桿以角速度ω沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，在桿從與水平方向成角α到成角β的過(guò)程中，如圖12所示，求桿對(duì)長(zhǎng)方體做的功W和長(zhǎng)方體獲得的平均加速度a.

圖12

桿與水平面成角α?xí)r，桿和物體的觸點(diǎn)位置繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的切向速度，長(zhǎng)方體運(yùn)動(dòng)的速度為u1，由運(yùn)動(dòng)的合成可知，聯(lián)立可得.同理當(dāng)桿與水平方向成角β時(shí)長(zhǎng)方體運(yùn)動(dòng)的速度，對(duì)長(zhǎng)方體由動(dòng)能定理有W＝，聯(lián)立解得由于運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，則長(zhǎng)方體獲得的加速度為，聯(lián)立解得

4)連續(xù)體問(wèn)題——多質(zhì)點(diǎn)變力作用下的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

例9某噴灌裝置的示意圖如圖13所示，水泵從深H的井中抽水，通過(guò)距地面h的龍頭噴出，已知水以相同的速率從龍頭噴出，Δt時(shí)間內(nèi)噴出水的質(zhì)量為m，水離開(kāi)龍頭的水平距離為R.不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求水泵工作時(shí)的輸出功率P.若將靠近龍頭處的豎直擋板插下?lián)踝〕鏊Y(jié)果出來(lái)的水豎直下流，那么，水對(duì)擋板的壓力是多少?已知水的密度為ρ，出水口的橫截面積為S.

圖13

設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)噴出質(zhì)量為m的水，設(shè)從龍頭噴出水的速度為v，由動(dòng)能定理可得PΔt－，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知R＝vt，，聯(lián)立得

對(duì)長(zhǎng)度Δx的微元水，其質(zhì)量為Δm＝ρSΔx，當(dāng)速度由v到0，作用點(diǎn)位移為，由動(dòng)能定理可得，聯(lián)立整理得由牛頓第三定律得水對(duì)擋板的壓力

例10在顯像管的電子槍中，從熾熱的金屬絲中不斷放出的電子進(jìn)入電壓為U的加速電場(chǎng).設(shè)其初速度為零，經(jīng)加速后形成橫截面積為S、電流為I的電子束.已知電子的電荷量為e、質(zhì)量為m，則在剛射出加速電場(chǎng)時(shí)，求一小段長(zhǎng)為Δl的電子束內(nèi)的電子個(gè)數(shù).

5)宏觀(guān)天體與微觀(guān)粒子問(wèn)題——近心運(yùn)動(dòng)和離心運(yùn)動(dòng)

例11天宮一號(hào)是我國(guó)研發(fā)的一個(gè)目標(biāo)飛行器，目的是作為其他飛行器的接合點(diǎn)，是中國(guó)空間實(shí)驗(yàn)室的雛形，于北京時(shí)間2011年9月29日21時(shí)16分03秒發(fā)射升空.

(1)若萬(wàn)有引力常量為G，地球質(zhì)量為MD，地球半徑為RD，發(fā)射天宮一號(hào)的速度必須大于第一宇宙速度，試推導(dǎo)第一宇宙速度的表達(dá)式；若RD＝6 370 km，g取9.8 m·s－2，求第一宇宙速度的值；

(2)若質(zhì)量為m的衛(wèi)星在地球赤道附近由西向東發(fā)射出去剛好在近地軌道運(yùn)行，設(shè)地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)D.求發(fā)射該衛(wèi)星所做的功(用字母表達(dá))；

(3)若萬(wàn)有引力常量為G，中心天體的質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的物體距中心天體r時(shí)具有的引力勢(shì)能為(以無(wú)窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為0).①求第二宇宙速度的值；②若把地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道近似認(rèn)為是圓，且不計(jì)其他星體對(duì)飛行物體的作用力，地球的公轉(zhuǎn)速度為29.8 km·s－1，求第三宇宙速度.

聯(lián)立解得v3＝16.7 km·s－1.

例12氫原子的核外電子看成繞核做圓周運(yùn)動(dòng)，已知電子電荷量為e，質(zhì)量為m，靜電力常量為k.當(dāng)一個(gè)電子從距核較近的r1軌道吸收一定頻率的光子能量ΔE躍遷到距核較遠(yuǎn)的r2軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，該過(guò)程中電子的電勢(shì)能變化了多少?

聯(lián)立解得電子電勢(shì)增加

使用動(dòng)能定理必須經(jīng)歷“三定一看一判”，“三定”即定對(duì)象、定初末狀態(tài)(低速)、定參考系(慣性參考系)，“一看”即看運(yùn)動(dòng)軌跡，“一判”即判斷過(guò)程中做功情況.妙用動(dòng)能定理體現(xiàn)在單物體、多物體、多過(guò)程、曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)和變力作用等問(wèn)題中.對(duì)于板塊多物體問(wèn)題要隔離分別使用動(dòng)能定理；對(duì)于關(guān)聯(lián)體要靈活選取對(duì)象分析，注意物體間速度關(guān)聯(lián)；對(duì)于多過(guò)程往返運(yùn)動(dòng)要分清保守力與非保守力，明確其做功特點(diǎn)；對(duì)于變力要分析變力功的特點(diǎn)；對(duì)于連續(xù)體問(wèn)題要選擇微元或個(gè)體分析，注意質(zhì)心位移；對(duì)于離心或近心圓運(yùn)動(dòng)，要選其中心為參考系.