結構力學靜定拱內力的矩陣化求解方法

袁良健，王 子

（1.中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北 武漢 430063；2.東南大學 土木工程學院，江蘇 南京 210096）

1 概述

靜定拱結構通常可分為三鉸拱和帶拉桿的拱，根據鉸的位置不同亦可分為平拱和斜拱，如圖1所示。三鉸拱在實際工程運用中通常作為承壓構件，其受力特點為在豎向荷載作用下，拱趾將產生水平推力。與相同跨度的簡支梁相比，由于水平推力的存在，拱各截面的彎矩通常較小，而截面的軸力值較大，因而能跨越更大的跨度，曲線優美，采用磚、砌塊、混凝土等材料建成的拱結構通常能更好地發揮材料的特性。此外，拱的矢跨比（矢高與跨度的比值）對其受力有重大影響，實際工程中拱的矢跨比通常為1/10～1。

圖1 靜定拱的分類

2 內力矩陣方程的建立

欲求截面K的內力值，截取AK部分為隔離體，如圖2（b）所示，假設FNK與x軸的夾角為α（此處規定x軸沿著逆時針轉動到與FNK重合時所轉過的角度為α，故左半拱0°≤α≤90°，右半拱的90°≤α≤180°），則FSK與y軸的夾角為α，對該部分隔離體分別由∑Fx=0、∑Fy=0和∑MK=0得：

將式（1）～式（3）寫成矩陣形式：

同理，若欲求解右半拱截面D的內力，如圖2（c）所示，相應的內力矩陣方程如下：

圖2 三鉸拱算例

綜上，式（4）為拱的內力矩陣方程，式（6）為該矩陣方程的解。

3 矩陣化求解的一般步驟

（1）根據拱軸線方程及幾何信息，確定待求截面的幾何坐標參數，建立坐標矩陣[T]；

（2）建立待求的內力列向量[Fi]；

（3）對結構整體或局部隔離體建立平衡方程，求解結構的支反力和某些拉桿的內力值。

（4）截取待求截面處相連的隔離體，建立綜合外荷載列向量[FP]；

（5）建立內力矩陣方程并求解待求的內力。

4 參數化分析和實例驗證

靜定拱結構在某特定荷載作用下，各個截面的內力變化主要體現在坐標矩陣和綜合外荷載向量的不同。例如在計算機軟件Matlab中輸入拱的軸線方程，可計算出任意截面位置x處的sinα和cosα的值。在特定荷載作用下，綜合外荷載列向量呈現分段的規律分布，可建立其關于位置坐標參數x的函數表達式，從而建立坐標矩陣和綜合外荷載列向量之間關于x的對應關系，實現參數化分析和求解。

以靜定帶拉桿的拱為例，如圖3所示，驗證前述方法。假設拱的軸線方程為，其中f=4m，L=18m。截面K距離坐標原點的水平距離xK=3m，代入軸線方程可得yK=20/9m，sinα=0.51，cosα=0.86，易求得支座A的水平反力FAx=0，豎向反力FAy=90kN（↑）。截取AFDC部分為隔離體，由∑MC=0得：FNFG=135kN；取節點G由∑Fx=0得：FNFA=136.86kN。故可建立方程式如下：

求解方程得：

圖3 驗證實例