基于產品使用率的柔性基本質保策略優化設計

蘇 春， 趙家彬

(東南大學 機械工程學院，南京 211189)

質保是指制造商對所售產品在一定期限和條件下，因自身質量引起的缺陷或故障現象，向顧客提供的維修、更換、退賠等承諾[1].對顧客來說，質保可以避免在一定期限內因產品故障或未達到預期性能而導致的損失.同時，質保合同也明確了制造商應承擔的有限責任，可以避免因顧客不合理的質保索賠而造成不必要的利益損害.

基本質保費用通常包含在產品售價中.質保條款設計與產品質量、售價以及制造商的預期利潤等因素相關，科學的質保策略應有利于制造商和顧客的雙贏.Yeh等[2]對質保期內的產品采用預防性維修，提出涵蓋可靠性、生產能力、質保期和價格的集成優化模型.Park等[3]提出一種可修產品的質保成本模型，同時實施可更新最小維修-替換質保和役齡替換策略，擴展了役齡替換策略.Xie等[4]考慮產品銷售過程的隨機性，構建期望折扣質保成本及其方差模型，計算給定周期內累計的折扣質保成本.上述研究均針對一維質保展開，并以產品使用時間的單一維度來定義質保.對于風力機、工程機械等產品，質保條款不僅要考慮使用時間，還應考慮使用量等因素，此即二維質保或多維質保.

制造商為顧客提供維修、更換等質保服務會產生一定的服務成本.維修策略不同，維修和質保成本會存在較大的差異.Shafiee等[5]將質保決策中的維修模型分為僅考慮事后維修、同時考慮事后維修和預防性維修、質保期結束后的維修3種類型.Wu等[6]將預防性維修模型分為線性、非線性、兼有線性和非線性3種類型.Huang等[7]以顧客使用率為基礎，通過優化預防性維修周期來降低質保成本.Su等[1]以役齡回退因子表征預防性維修強度，優化預防性維修的周期和強度，分階段優化質保成本.Pan等[8]考慮改進因子與預防性維修成本、系統使用年限和學習效應之間的關系，以長期平均成本率最小為目標優化預防性維修策略.現有的質保合同及其維修策略大多是剛性的，制造商為顧客提供相同的質保合同條款，未考慮顧客個性化需求和產品使用情況的差異性.此外，故障建模很少考慮產品使用時間與使用量之間的相關性.

Moskowitz等[9]率先提出柔性二維質保概念，制造商以相同的質保成本為顧客提供差異化的質保區間.Wang等[10]分別從制造商和顧客的角度，研究二維質保政策下的最優預防性維修策略.Shahanaghi等[11]采用回歸方法擬合質保成本與質保期之間的函數關系，獲得柔性質保區間.Su等[12]以二手產品為研究對象，分析質量升級等可靠性增長措施對二手產品質保成本的影響，構建柔性的質量升級策略和二維質保合同.目前，尚未見到面向二維基本質保的柔性質保策略和價格設計的研究工作.

本文研究二維柔性基本質保策略的設計問題，采用Copula函數描述產品使用時間和使用量之間的相關性，建立故障和非等強度的預防性維修模型；以利潤最大化為目標，分別建立產品銷量和利潤模型；考慮產品使用率分布，求解利潤優化模型，優化基本質保期長度、維修策略和質保成本，獲得產品標準的基本質保策略.在此基礎上，以保證不同使用率的顧客均能享受合理的質保服務為目標，在質保成本相同的前提下設計柔性基本質保策略，為不同使用率的顧客制定具有價格差異的柔性質保策略.

1 模型構建

1.1 質保成本模型

以W(T，X)表示產品二維矩形基本質保區間，T、X分別為產品基本質保期使用時間和使用量的上限，T>0，X>0.當使用時間或使用量中的任意一個指標達到其上限時，基本質保期結束.以r表示產品的實際使用率，設r0為使用率的參照基準(r0=X/T)，則基本質保期的結束時間可以表示為

(1)

在質保期內，產品若發生故障將會產生維修、更換、維修人員差旅以及人工等成本，則質保成本為上述成本之和.考慮到差旅以及人工等費用易于統計分析，本研究主要關注維修成本及更換成本.

機電產品的故障率可以用浴盆曲線來描述.經過出廠前老化測試等過程后，在有效壽命期，產品的故障率趨于穩定.在二維質保故障建模中，產品使用時間、使用量等參數可以表示為時間的函數.設F1(t)、F2(x)分別為T和X的累積分布函數，利用Copula函數可以構造二維聯合分布函數，F(t,x)=Copula(F1(t),F2(x);θ)，其中θ為Copula函數的相關系數.其概率密度函數f(t,x)和故障率函數h(t,x)分別為

在Copula函數族中，Clayton Copula函數可以描述正相關關系以及解釋尾部相關對可靠性的影響，適用于系統可靠性建模[13].將不同樣本在同一時刻的性能退化數據視為服從某一分布的隨機變量，建立故障模型.該方法關注產品的總體屬性，適用于退化趨勢不明顯的情況.設T、X分別服從尺度參數為α1和α2、形狀參數為β1和β2的兩參數Weibull分布，構造Clayton Copula函數，則聯合概率分布函數為

F(t,x)=1-{exp[θ(t/α1)β1]+

exp[θ(x/α2)β2]-1}-1/θ

(4)

式中：α1>0，α2>0，β1>1，β2>1，θ∈(0,+∞).變量T和X之間的相關系數為τ=θ/(2+θ)，θ越大則相關度越高.

若直接對式(4)求二階偏導以獲得故障率的函數表達式，模型將變得十分復雜.采用邊緣法，將使用量轉化為產品年齡和使用率的函數，并假定同一顧客在質保期內的使用率保持不變[14].假設T(t)、X(t)分別表示在t時刻產品的累積使用時間和累積使用量.為簡化模型，假設相對于正常工作時間，產品故障后的維修時間可以忽略，則有T(t)=t，X(t)=rt.那么概率分布函數為

F(t|r)=1-{exp[θ(t/α1)β1]+

exp[θ(rt/α2)β2]-1}-1/θ

(5)

則其概率密度函數和故障率函數分別為

(6)

(7)

在質保期內，若產品發生故障均采用事后最小維修加以修復.為了減小故障次數以及維修成本，對產品采取周期預防性維修.采用役齡回退因子δ(m)描述預防性維修效果，δ(m)=(1+m)e-m，0≤m≤M.其中:m為預防性維修強度；M為預防性維修強度的上限(閾值).當m=0時，δ(m)=1，無役齡回退，相當于取消此次預防性維修；當m=M時，δ(m)=0，役齡回退到上一次預防性維修結束時的水平.m=M相當于修舊如新，即更換部件或產品.當剩余質保期小于或等于預防性維修周期時，將不再執行預防性維修.令質保期內預防性維修間隔為I，總的維修次數為n，則每次預防性維修后的產品實際役齡為

ν1=ν0+Iδ(m1)

ν2=ν1+Iδ(m2)

?

νi=νi-1+Iδ(mi)

?

νn=νn-1+Iδ(mn)

其中：ν0=0為初始役齡；I=min{K,L/r}，K、L分別為使用時間和使用量維度的預防性維修間隔；νn為第n次預防性維修后產品的實際役齡.每一次預防性維修的強度mi(i=1，2，…，n)均不相同，以增加維修策略的柔性.

對兩次預防性維修之間發生的故障開展最小維修，且維修時間忽略不計，則產品故障服從非齊次泊松過程(NHPP)，并且其條件故障強度等于首次故障時間的條件故障率(見式(7)).因此，需要單獨估計每兩次預防性維修之間的故障次數，基本質保期內預期故障次數為

(8)

(9)

1.2 銷量模型

文獻[15]采用對數線性函數構造銷量隨產品價格和質保期變動的模型.上述模型存在如下缺陷：① 僅考慮產品價格和質保期變動的影響，未考慮市場波動和隨機性，適用于壟斷性產品；② 僅考慮質保期對銷量的影響，未考慮質保期長度與產品質量的相關性，忽略了使用過程中顧客滿意度對產品銷量的影響.

設市場同類競爭產品的平均價格為P0，基本質保期為W0(T0，X0)，T0、X0分別為同類產品基本質保期的平均使用時間和使用量；質保期內的故障次數和預防性維修次數分別為N0、n0，其對應的市場銷量為D0.質保期內的故障次數反應了產品質量，頻繁地維修會導致顧客滿意度和對產品的信任度降低.以質保期內單位時間的維修次數來表征顧客滿意度.綜合考慮制造商產品價格、質保期以及顧客滿意度對銷量的影響，獲得的產品銷量模型為

(10)

式中：P為產品價格；b1、b2和b3分別為價格、基本質保期和顧客滿意度的彈性因子，且b1>1，0

1.3 利潤優化模型

制造商的利潤取決于產品銷量、價格以及質保成本等因素.現有的質保研究常以質保成本最小化來優化維修策略，忽略了產品價格和基本質保期的優化.以制造商利潤最大化為目標，關注二維柔性基本質保期W(T，X)、質保價格Pw設計以及質保期內維修策略的優化.設產品生產成本為CM、不包含基本質保時產品的價格為Pp，獲得制造商利潤R的優化模型如下：

maxR=D(Pp+Pw-CM-Cw)

(11)

2 基本質保策略設計

(12)

(13)

對于使用率為r的顧客，二維基本質保區間為

(14)

(15)

按等間距在(rl,rh)范圍內取得y個點r1,r2, …,rj, …,ry.求解式(12)，可以得到y+1個組合(Tj,Xj)，通過擬合可以獲得等價格基本質保的柔性曲線.當允許對產品實施差異化定價時，利用相同的求解方法，制造商可以根據顧客使用率的不同得到(T,X,P,K,L,mi)的柔性基本質保菜單.

3 案例分析

設某車型平均參考售價P0為5萬元，其中不包含質保成本的售價為4.6萬元，制造成本CM為4萬元.基本質保參考值為W0=(3 a，6×104km).設定故障強度模型中α1、α2分別為4和3，β1、β2均為3，θ=0.7.銷量模型中，市場參考銷量為3萬輛，價格彈性因子b1=7，質保期彈性因子b2=0.6，顧客滿意度彈性因子b3=0.3；維修強度m= 0, 1, …, 5，對應的預防性維修成本分別為Cp= 0、20、60、140、300和620元；事后最小維修平均成本為Cf= 250元.設顧客使用率分布服從[0.5×104，3.5×104]km/a的平均分布，其中rl=0.5×104km/a，rh=3.5×104km/a，r0=2×104km/a.

3.1 基本質保策略設計

本文重點研究基本質保期及其價格設計對制造商利潤的影響，保持基本質保期和質保價格不變，在各預防性維修周期強度相同的條件下優化維修策略.不同維修優化策略的結果如表1所示.由表1可知，若不采取預防性維修，只采取事后最小維修，制造商的質保成本最高，且利潤最低.顯然，若以質保成本最小化為目標來優化維修策略，將無法實現制造商利潤的最大化.其原因為在該策略下，產品故障和維修次數較多，銷量和盈利水平下降.當m=4、K=12 m時，不同使用率顧客的Cw=1 361.34 元，高于質保成本最小化的 1 125.06 元，此時制造商可獲得最大利潤，即 30 125.00 萬元，高于 29 292.76 萬元.在后續基本質保期和質保價格設計時，將保持該維修策略不變.

表1 不同維修優化策略的結果

考慮顧客的使用率分布，利用式(11)求解，獲得當制造商利潤最大時，質保成本、質保定價隨基本質保期的變化規律，如圖1所示.由圖1可知，產品制造成本及其定價均隨著基本質保期的增加而增加，但價格增長速度要高于成本增長速度.因此，設定的質保期越長，單位產品給制造商帶來的利潤更高.由于制造商提供的質保服務通常為有限的時間段，還應該考慮單位產品在單位時間內的獲利能力.

圖1 不同基本質保期下，質保價格和質保成本的演變規律

圖2 產品銷量、利潤與基本質保期的關系

保持式(11)優化結果中的質保定價及成本不變，考慮顧客使用率的差異性，優化基本質保區間，結果如圖3所示.由圖3可知，顧客使用率越高，對應質保區間的使用量越高、使用時間越短、質保期越短；而隨著產品使用率的降低，質保期長度將增加.此外，在不同使用率區間，使用量也呈現出不同的變化規律.

圖3 相同定價下柔性基本質保區間優化結果

對不同使用率的顧客提供差別化的質保和定價策略.以6個使用率區間為例進行分析，結果如表2所示.考慮到實際需求，以月為單位、對基本質保區間時間進行離散化.隨著使用率的增加，基本質保策略的質保區間長度減小、質保定價降低.制造商對不同使用率的顧客制定不同的基本質保優化策略.產品使用率越高的顧客群體，制造商獲得的利潤越低.在該策略下，制造商可獲得的期望利潤為4.07×104萬元，大于前兩種策略的收益.

表2 差別定價柔性基本質保分析

3.2 參數靈敏度分析

模型參數對優化結果有重要的影響.針對模型中基本質保參考值、價格彈性因子、質保期彈性因子和顧客滿意度彈性因子4個參數開展靈敏度分析.保持其他參數不變，改變某一參數的取值，獲得優化結果的變化規律，分析參數不確定性對優化結果的影響.

圖4 基本質保期的靈敏度分析

保持其他參數和維修策略不變，只改變價格彈性因子b1，獲得的基本質保策略如表3所示.價格彈性因子越大，表示價格對產品銷量的影響越大，不利于單位產品獲得更高的利潤.此時，制造商可以通過降低價格、增加銷量的方式，獲取更多的利潤.由表3可知，基本質保期、成本以及質保定價均隨價格彈性因子的增大而減小，單位產品利潤不斷減小，產品銷量呈現出先減小后增大的趨勢.此時，制造商總利潤的變化規律與銷量保持一致，但其最小值對應的價格彈性因子更大.

表3 價格彈性因子的靈敏度分析

保持其他參數和條件不變，改變質保期彈性因子b2的大小，獲得的基本質保策略如表4所示.基本質保期彈性因子越大，表示基本質保期對產品銷量的促進作用越大.由表4可知，該因子越大，基本質保策略中的質保期越長，成本和定價也會隨之增加.隨著該因子的增加，優化后的基本質保期、成本、定價以及單位產品利潤均呈增加趨勢.當該因子小于0.2時，價格上漲對銷量的抑制作用大于質保期延長對銷量的促進作用；當該因子大于0.2時，質保期延長對銷量的促進作用大于價格上漲對銷量的抑制作用.產品銷量隨基本質保期的增加，呈現先減小后增加的趨勢.當基本質保期彈性因子為0.2時，利潤與銷量同時達到最小值，分別為3.29×104萬元和4.79萬輛.

表4 基本質保期彈性因子靈敏度分析

保持其他條件不變，只改變顧客滿意度彈性因子b3，基本質保策略如表5所示.顧客滿意度彈性因子越大，表示制造商需要通過調整維修策略盡可能降低質保期內的維修次數.由表5可知，b3越大，優化后的質保期越短，質保成本及其定價也隨之減小.與其他兩個彈性因子不同的是，產品銷量與總利潤呈現出增加的趨勢.因此，當顧客滿意度彈性因子較大時，制造商應適當縮減質保期，以免因質保期內維修次數過多對企業形象造成負面影響.

表5 顧客滿意度彈性因子靈敏度分析

4 結語

考慮使用時間和使用量等二維變量的相關性，建立了質保成本優化模型，構建涵蓋質保期、價格以及顧客滿意度的銷量模型；以制造商利潤最大化為目標，優化基本質保策略.基于顧客使用率，提供3種定制化的基本質保策略，包括基本質保區間、維修策略和質保價格.研究結果表明：能實現質保成本最小的維修策略并不一定能夠保證制造商利潤的最大化；根據顧客使用率的差異，提供高柔性的定制化基本質保策略，可以在提高顧客滿意度的同時，增加制造商利潤，實現制造商與顧客的雙贏.

在客戶定制質保模型中，仍有一些問題值得進一步探索：① 綜合考慮產品使用率和顧客風險偏好，提供多種基本質保策略供選擇；② 維修策略中可考慮不定周期、不定強度的預防性維修，以提升質保策略柔性；③ 制造商對定制化產品提供柔性基本質保，根據顧客選擇，柔性地設計質保服務合同.