范德蒙行列式在多項式和線性變換中的應用

韓榮梅

（內蒙古科技大學包頭師范學院數學科學學院，內蒙古 包頭014000）

1 范德蒙行列式在多項式中的應用

分析多項式中求根類的題目時，范德蒙行列式和一些特殊的性質能提升解決問題的效率，亦能間接的幫助我們解出問題的結果，讓解題過程更清晰，易懂。

例1：假設f（x）=b0+b1x1+b2x2…+bnxn，若f（x）至少有n+1 個不同的根，則f（x）=0。

證明：

取x1，x2，…，xn+1為f（x）的n+1 個根，且各不相同。代入得：

其中b1，b2，…，bn做未知量。

其中的系數行列式中xi≠xj（i≠j）。該式又為范德蒙行列式，故而：

所以方程組（1）只有零解。從而b0=b1=b2=…=bn=0，即f（x）=0。

例2：在數域F 中，設b1，b2，…，bn為互不相同的數，而c1，c2，…，cn為數域F 中的任意一列不全為零的確定的數。則存在唯一的數域F 上的次數小于n 的多項式f（x），使f（bi）=ci（i=1，2，…，n）

證明：

設f（x）=d0+d1x+…dn-1xn-1由題f（bi）=ci（i=1，2，…，n） 可知：

由題可知b1，b2，…，bn之間都是不同的，這樣它就變成了一個范德蒙行列式。

那么其結果就為：

故而有唯一的解，且解為次數小于n 的多項式，f（x）=d0+d1x+…dn-1xn-1，能讓f（bi）=ci（i=1，2，…，n）

不難發現，范德蒙行列式在多項式中的應用方法很便捷，可以通過創建向量組等方法，亦或者通過取不同的根引入多項式中，將系數看作未知量。得到一個系數行列式。就構造了新的范德蒙行列式。然后通過范德蒙行列式，直接得到結果或一些性質或者是證明結果。

2 范德蒙行列式在線性變換中的應用

線性變換是高等代數中的一個難點。將范德蒙行列式應用在其中，能提升效率并且能使得解題進程變得簡潔，易懂。

例3：設β1，β2，…βn是線性空間V 的一組基，σ 是V 的線性變換，有σβi=β1+aiβ2+…+ain-1βn，證明：σ 是V 可逆的線性變換。

證明：

由已知得

其中的

式（3）為范德蒙行列式，所以

因此B 可逆。所以σ 為可逆線性變換。

例4：在數域F 上，設n 維向量V 的線性變換為σ，有n 個互不相同的特征值λ1，λ2，…，λn證明：所有的e，σ，σ2，…，σn-1（e 表述恒等變換）是與σ 能夠交換的V 的線性組合[7]。

證明：

設線性變換δ 是與σ 可交換的。且σ（ai）=λiαi（i=1，2，…，n）

則Vλi={kαi|k∈F}就是δ 的不變子空間。

令

則由該方程組

可知式（4）的系數行列式是由范德蒙行列式構成的，且

所以方程組有唯一解。故δ 是e，σ，σ2，…，σn-1的線性組合。

3 范德蒙行列式在向量線性相關性中的應用

例5：嘗試證明在空間中含有一個向量集包括了無限多的向量。此向量集中的任何三個向量都線性無關。

證明：

取向量集于這個空間中{（1，k，k2）|k∈z}，而在這個集中任意的3 個向量形成的向量組，所構成的三階的行列式

行列式（5）構成了范德蒙行列式。所以可知它一定不是為零的，因而它們必線性無關，即取得的向量組滿足標題中的前提條件。

例6：設λi（i=1，2，…，m）是n 階矩陣A 的不同的特征值。在矩陣A 中的與特征值λi聯系的線性無關的特征向量是ξi1，ξi2，…，ξiti（i=1，2，…，m），則ξ11，ξ12，…，ξ1t1，ξ21，…，ξ2t2，…，ξm1，ξmtm是線性無關的一組向量組。

證明：

設有ki1，ki2，…，kiti（i=1，2，…，m）使得

令

則式（6）可寫為

又ξij（j=1，2，…，ti）是特征值λi的特征向量，

故

由式（7）同時左乘A 及式（8）得

再次左乘A 得

重復進行得到：

寫為矩陣

則C 矩陣即式（10）的行列式為范德蒙行列式，所以

又因為λi（i=1，2，…，m）各不相同，可知|C|不為零；從而C可逆。

將式（10）右乘C-1得，（η1，η2，…，ηm）=0，有ηi=0（i=1，2，…，m）

所以向量組ξ11，ξ12，…，ξ1t1，ξ21，…，ξ2t2，…，ξm1，ξmtm線性無關。