淺談物理學習中數學素養的培養
———以2020年高考全國卷Ⅰ理綜第18題的

◇ 云南 蔣金團

數學和物理不僅在科研上密切相關,在實際的學習中,兩者間的關聯也無處不在.物理學科的思維模式、思維方法與數學的思維模式、思維方法有許多異曲同工之處,將一些物理問題轉化為數學問題,有助于我們更加清晰、更加深刻地看到問題的本質.2020年高考全國卷Ⅰ理綜第18題,就是這樣一道巧用數學知識突破物理難點的好題.這道題涉及的物理情境是帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動,是考生非常熟悉的物理模型,但命題者巧妙地把題目的難點設置在臨界軌跡的尋找上,并且臨界軌跡的尋找與往常的題目有很大不同,平常所用的放縮法和旋轉法在這里并不適用,考生一時難以下手.這道題不僅考生覺得難,很多教師也覺得難度不小.本文嘗試從數學的角度對題目涉及的臨界軌跡進行探秘,以供參考.

1 試題的5種解法

圖1

原題一勻強磁場的磁感應強度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖1中虛線所示為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑.一束質量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子,在紙面內從c點垂直于ac射入磁場,這些粒子具有各種速率.不計粒子之間的相互作用.在磁場中運動時間最長的粒子,其運動時間為( ).

分析帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動時,運動時間由圓心角和周期共同決定,而運動周期與粒子的速度無關,因此,要讓粒子的運動時間最長,只需讓粒子轉過的圓心角最大即可,考慮到圓心角是弦切角的兩倍,本題既可以從圓心角的角度尋找臨界軌跡,也可以從弦切角的角度尋找臨界軌跡.

解法1 臨界條件法

設半圓邊界的半徑為r,帶電粒子的軌道半徑為R,帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動時,由牛頓第二定律得,勻速圓周運動的周期為聯立兩式可得.帶電粒子在磁場中運動的時間,所以要讓粒子的運動時間最長,只需運動軌跡對應的圓心角β取得最大值即可.

圖2

如圖2所示,其中A點為ab半圓的圓心,B為射出磁場的點,根據圓心角與弦切角的關系可得,圓心角β＝2×(90°＋θ),當弦長cB與半圓邊界相切時,θ取得最大值,β也取得最大值,此時有30°,所以粒子運動的最長時間故選C.

解法2 正弦定理法

如圖3所示,設半圓邊界的半徑為r,根據圓心角與弦切角的關系可得,圓心角β＝2×(90°＋θ),當θ取得最大值時,帶電粒子的運動時間最長.在△ABC中,由正弦定理可得當sin∠ABc＝1時,θ取得最大值,此時有,即θ＝30°,所以粒子運動的最長時間,解得t＝故選C.

圖3

解法3 余弦定理和均值不等式法

如圖3所示,設半圓邊界的半徑為r,根據圓心角與弦切角的關系可得,圓心角β＝2×(90°＋θ),當θ取得最大值時,帶電粒子的運動時間最長.

令|Bc|＝x,在△ABc中,由余弦定理得

解法4 余弦定理和一元二次函數法

如圖4所示,設半圓邊界的半徑為r,帶電粒子的軌道半徑為R.設軌跡圓的圓心為O′,半圓邊界的圓心為A,在△O′AB中,由余弦定理得

圖4

解法5 余弦定理和導數法

如圖4所示,設半圓邊界的半徑為r,帶電粒子的軌道半徑為R.設軌跡圓的圓心為O′,半圓邊界的圓心為A,在△O′AB中,由余弦定理得

令(cosα)′＝0,解得R＝r,即當R＝r時,α取得最大值,此時

所以α角的最大值為α＝60°,因此粒子運動的最長時間為故選C.

小結本題考查帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的問題,這是一個考生非常熟悉的模型,很多考生都能熟練運用洛倫茲力和圓周運動的相關知識推出最大運動時間由最大圓心角決定,進而知道解答本題的關鍵是找出最大圓心角對應的臨界軌跡.但是在實現物理問題向數學問題的轉化之后,不少考生難以建立正確的數學模型,無法用學過的數學知識找到解決問題的突破口.出現上述問題的根本原因是考生缺乏學科融合的理念和學科遷移的能力,因此在日常教學中,物理教師應擇機抓住結合點,滲透數物融合的理念,更加全面地提升學生的核心素養.

2 物理教學中提升數學素養的策略

1)加強物理教師與數學教師之間的交流,以發展新課程改革所提倡的學習方式——探究與合作.合作交流是新一輪課程改革的重要主題之一,但是在大多數人眼中,交流只是學生與學生、學生與教師之間的事,很少有人關注不同學科教師之間的教學交流合作.交流合作不僅僅是一種互相幫助、彼此共贏的學習方式,也是一種非常重要的教育觀念.教學知識和教學方法的交流不同于物質交換,思想交流迸發出來的是更加強大、更加全面的智慧火花,這必將使得各學科教師都能在自己薄弱的方面有所提升.物理教師應加強與數學教師之間的交流合作,通過交流了解物理和數學兩學科之間共有的知識結構,從而抓住適當的時機在物理教學中對涉及的數學知識進行補充和拓展,比如教授拋體運動知識之后,我們可以補充一些拋物線方程的知識;再如教授磁場中圓周運動的相關知識以后,我們可以補充一些圓方面的數學知識,從而提高學生的綜合能力和核心素養.

2)鼓勵學生從數學的角度審視物理問題,在實際教學中,物理教師可以運用大量的物理問題引導學生認識數學在物理中的重要性,同時鼓勵學生把一些物理問題“翻譯”成數學問題.通過不斷的引導與鼓勵,使學生頭腦中形成應用數學知識處理物理問題的意識,隨著物理知識和數學知識的不斷擴充,學生越來越意識到數學知識在解決物理問題中的重要性,并將其運用在自己的物理學習中,逐步嘗試應用已有的數學知識解決物理問題,進而掌握相關的方法與技巧,從而使處理實際問題的綜合能力螺旋式上升.