剛性擋墻位移土壓力的數學擬合公式研究綜述

張常光 單冶鵬 高本賢 吳凱

摘 要：在研究土壓力與擋墻位移關系時，可采用數學擬合方法表征土壓力隨擋墻位移的變化規律。數學擬合方法常以靜止土壓力、主/被動土壓力為基礎，通過構造數學函數來描述擋墻位移土壓力，但所采用的數學函數形式各不相同。將擋墻位移土壓力的數學擬合公式按函數形式分為：三角函數、指數函數、雙曲線函數、冪函數、S型函數以及其他函數等6大類，總結了位移土壓力數學擬合公式的特點與不足，并指出需進一步研究的方向。結果表明：數學擬合公式的主要差異在于函數形式選擇和待定參數及取值不同，導致了數學擬合公式的多樣性與研究的廣泛性。合理實用的位移土壓力數學擬合公式需具備3方面特征：邊界條件與初值滿足、參數含義明確以及能反映擋墻與土體之間的相互作用。在試驗方面，應持續對擋墻不同位移模式開展針對性研究，并進行黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等的土壓力試驗;在理論計算方面，應加強位移土壓力數學擬合公式間對比分析，探究各自的合理性及適用性，揭示土壓力與擋墻位移關系的內在機理。拓展對非飽和土擋墻的位移土壓力研究，完善參數選擇、模型驗證，以加快工程應用進程。

關鍵詞：擋墻位移;位移土壓力;數學擬合公式;位移模式;非飽和土

中圖分類號：TU432 文獻標志碼：R 文章編號：2096-6717（2020）06-0019-12

Abstract： Variation laws of earth pressure accounting for the displacement of a retaining wall can be well described by mathematical fitting， which is usually based on the earth pressure at rest or the active and passive earth pressures to illustrate the displacement-earth pressure of retaining walls through constructing various mathematical functions. This study subdivides displacement-dependent earth pressure formulations into six categories according to different functional forms， including trigonometric， exponential， hyperbolic， power， sigmoid and other functions. Characteristics and deficiencies of displacement-dependent earth pressure formulations are summarized， and future researches are provided. The findings of this study show that main differences of mathematical fitting are attributed to determination of function forms as well as undetermined parameters as well as their magnitudes， which results in the uncertainty of mathematical fitting and the generallity of research. A reasonable and practical mathematical fitting function has three features： boundary condition and initial value satisfied， parameters with clear meaning and representing the interaction between a retaining wall and soils. In terms of test studies， it is necessary to perform targeted research on different movement modes of a retaining wall， and model tests of earth pressure are conducted on clay， unsaturated soil， collapsible loess， expansive soil， among others. In terms of theoretical calculations， displacement-dependent earth pressure formulations using different mathematical fitting functions are compared to explore their rationality and applicability as well as to reveal intrinsic mechanisms between earth pressure of a retaining wall and its displacement. Displacement-dependent earth pressure of a retaining wall in unsaturated soil needs to be paid more attention. The choice and measurement of different parameters are improved and validated by model tests in order to accelerate the process of engineering applications for mathematical fitting functions.

Keywords：displacement of retaining walls; displacement-dependent earth pressure; mathematical fitting; movement mode; unsaturated soil

土壓力大小及其分布在擋墻和地下設施設計中占有十分重要的地位，Coulomb、Rankine基于擋墻平移極限狀態建立了土壓力公式并形成兩類經典極限土壓力理論，文獻[1-4]對經典極限土壓力理論進行了擴展研究。經典極限土壓力的形式簡單、物理意義明確，至今仍被廣泛應用。但要達到極限土壓力的狀態，所對應的擋墻位移多數超過實際設計允許位移，特別是對于被動狀態，土壓力的極限平衡狀態往往不會出現。因此，經典極限土壓力理論不能反映土壓力隨擋墻位移變化的中間性態，有必要研究土壓力的整個變化過程以及擋墻位移效應的影響。

土壓力是土體與擋墻相互作用的結果，不僅與土體性質、擋墻高度、擋墻剛度、時間效應等有關，還與擋墻的位移有著密切關聯，這些因素對土壓力的影響程度各不相同，不現實也沒必要把所有影響因素一起考慮，筆者將重點探討剛性擋墻位移對某點處土壓力的影響。文獻[5-11]的土壓力模型試驗結果均表明：擋墻位移效應（包括位移狀態、位移模式和位移大小）對土壓力的影響顯著，且不同位移模式下土壓力沿深度均為非線性分布。

在研究土壓力與擋墻位移關系的計算方法中，可采用數學函數來表征土壓力隨擋墻位移的變化關系。筆者針對擋墻位移土壓力的眾多數學擬合公式，依據函數形式的不同分為三角函數、指數函數、雙曲線函數、冪函數、S型函數以及其他函數等6大類，總結這些數學擬合公式的特點與不足，并指出進一步研究的方向。

1 土壓力及擋墻位移效應

文獻[12-14]指出土壓力隨擋墻位移變化而變化，實際擋墻土壓力介于靜止土壓力和極限土壓力之間，并與擋墻位移存在非線性關系，如圖1所示。擋墻不發生移動時的土壓力為靜止土壓力p0，背離土體移動時擋墻土壓力隨之衰減并終止于主動極限狀態，相應的土壓力衰減稱為松弛應力pr、主動極限狀態土壓力為主動土壓力pa即土壓力的最小值。同理，朝向土體一側移動時擋墻土壓力隨之增長并終止于被動極限狀態，相應的土壓力增長稱為擠壓應力ps、被動極限狀態土壓力為被動土壓力pp即土壓力的最大值。

除圖1擋墻位移狀態（主動、被動）、位移大小顯著影響土壓力以外，圖2中的擋墻位移模式也對土壓力具有重要影響。當剛性擋墻發生平移而處于非極限狀態時，擋墻沿深度方向各點的位移相同，即研究某點處土壓力與擋墻位移的函數變化關系可用于擋墻上的所有點，這使得擋墻位移土壓力求解大為簡化，故現有文獻采用數學擬合方法研究擋墻位移土壓力p*時均基于擋墻的平移T模式。

在位移土壓力的數學擬合公式中，對應主/被動土壓力的擋墻極限位移δcr是一個關鍵的物理量，一般通過模型試驗獲得。表1總結了土體達到極限平衡狀態時擋墻所需的位移量，其中達到主動土壓力的擋墻極限位移δacr要遠小于被動土壓力相應的極限位移δpcr。規定以被動狀態的位移為正，主動狀態的位移為負。

2 數學擬合公式分類及特點

2.1 擬合公式分類

擋墻位移土壓力的數學擬合公式常以靜止土壓力、主/被動土壓力這3個已知土壓力為基礎，對圖1可分別開展主動狀態、被動狀態下擋墻位移土壓力的分段數學表征，也可不分段對整條曲線進行數學表征。將圖1中擋墻的松弛應力pr和擠壓應力ps統稱為附加應力，進而擋墻位移時土壓力可視為靜止土壓力相加減附加應力，如式（1）所示。

可以看出：位移函數kδ1、kδ2、kδ3的量綱為1，對應位移函數kδ的3種構造方式，用于描述土壓力隨擋墻位移的變化關系。當構造位移函數的方式確定后，可選用不同形式的數學函數對位移函數進行表征，并著重研究其待定參數及取值。因土體類型復雜且土壓力數據少，某種數學擬合公式僅在文獻個別土體類型下的預測效果較好，不同土體類型下的擬合效果不盡一致，故數學擬合公式的適用性難以準確評價。但構造位移函數最突出的特點就是每個數學擬合公式都有較為明確的函數形式，決定擋墻位移土壓力曲線的變化趨勢。

因此，按照文獻所用擬合函數的不同數學形式，將位移土壓力的代表性數學擬合公式大致分為6大類。需說明的是，如果同時涉及2種函數形式，則以主函數形式進行分類，并按出現年代依次列出;若位移函數在主動狀態、被動狀態中采用同一函數，則用一個公式表示整條曲線;本文研究對象為剛性擋墻，未考慮擋墻自身的變形影響。

2.1.1 三角函數

2.2 擬合公式特點

結合擋墻位移土壓力數學擬合公式的構造方式及函數形式分類可知，同類數學擬合公式保留了該類函數的數學特征，繼而土壓力呈現相似的變化趨勢。現從數學擬合公式的目的、構造方式、合理性以及參數確定等方面，對代表性位移土壓力公式進行總結：

1）這6類位移土壓力公式的目的相同，即采用某一種數學函數描述擋墻在表1極限狀態范圍內土壓力隨擋墻位移的變化規律，可獲得擋墻非極限狀態下的位移土壓力，故數學擬合方法的途徑明了、簡單易用，不過多探究擋墻位移土壓力的內在機理，在工程設計中已得到一定應用。

2）構造位移土壓力的數學擬合公式存在4種方式，前3種以靜止土壓力、主/被動土壓力為基礎，通過附加應力作比或已知土壓力直接作比定義了無量綱的位移函數，尤以附加應力作比的構造方式應用最為廣泛，可分別對主動狀態、被動狀態下擋墻的位移土壓力進行分段數學表征，也可不分段對整條曲線進行數學表征。以已知土壓力直接作比的構造方式，需綜合考慮位移土壓力的整體變化規律。

3）結合圖1和6類位移土壓力公式的數學特征可知，合理實用的位移土壓力數學擬合公式需具備3方面特征：邊界條件與初值滿足、參數含義明確以及能反映擋墻與土體之間的相互作用。位移土壓力公式的適用性需經多種類型土體工程實測、模型試驗和數值模擬的系統性驗證。

4）位移土壓力數學擬合公式重點表征了剛性擋墻位移對土壓力的影響，其待定參數常與土體內摩擦角或黏聚力等土性因素有關，部分參數需結合工程實測或模型試驗確定;土體流變時間效應、基坑開挖空間效應以及多因素耦合作用等影響，一般是借助不同類型的數學函數相復合得以實現。

5）位移土壓力數學擬合公式大多基于某一類明確具體的函數形式，其差異主要體現在函數形式選擇和待定參數及取值不同，導致了數學擬合公式的多樣性、可選性，同時也表明當前位移土壓力數學擬合方法研究的廣泛性與非系統性，這實際反映的是對擋墻位移土壓力的認知局限性。

3 存在的不足及進一步研究方向

目前，數學擬合方法在土壓力與擋墻位移關系研究中已占據重要地位，但土壓力的影響因素眾多且錯綜復雜，使得很多數學擬合公式仍停留在理論層面，存在研究不足并需進一步完善。

1）6類數學擬合公式重點描述了土壓力隨擋墻位移的變化特征，很大程度上未對墻后土體、擋墻以及土體擾動的相互作用進行闡述，僅針對土壓力有限數據做了宏觀規律性對比驗證，雖在某些條件下說明了數學擬合公式的正確性，但只適用于對比所用的特定土，對其他土體的擬合效果不盡理想。

研究方向：應將擋墻位移土壓力的形成機理、物理解釋和理論分析與數學擬合方法相結合。另外，數學擬合公式提出后，需經大量土壓力實測、試驗或模擬的適用性驗證，進而界定公式的適用范圍、應用步驟，或以分段函數形式獲得更具針對性的擬合公式。加強各數學擬合公式間的比較和參數定量化描述。

2）土壓力是土體與擋墻相互作用的結果，其他影響因素，如溫度、時空效應、施工工序、滲流等，有時一同歸并為對擋墻位移的影響，這樣雖然可簡化實際問題，但并不一定客觀。圖2擋墻位移模式對土壓力大小及分布具有顯著影響，而數學擬合方法卻均假定擋墻為平移T模式。

研究方向：應針對不同位移模式的擋墻，建立相應的位移土壓力數學擬合公式，并適當兼顧其他因素的影響。例如，邾祝融等[68]考慮開挖順序及時間因素，將時空效應影響與位移函數相復合。如何將其他因素影響也轉化成數學函數表達，是對現有位移土壓力數學擬合公式進行修正的一個重要方向。

3）位移土壓力數學擬合公式大多針對的是干土或飽和土，表1中模型試驗的土體也多為干砂、密砂、粉砂、粉土和礦渣，鮮有黏性土，針對不良特殊土體（濕陷性黃土、膨脹土等）的研究也不充分，且尚未開展基于非飽和土力學原理的擋墻位移土壓力研究。

研究方向：開展各類土體擋墻土壓力的模型試驗或數值模擬以及現場試驗，特別是黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等。工程實踐中遇到的土體大多為非飽和土，與飽和土最大的區別是基質吸力的存在及其產生的吸附強度，可構建基于非飽和土力學原理的擋墻位移土壓力數學擬合公式。

4）已有的土體真三軸試驗結果表明[69-70]，中間主應力對土體強度的影響明顯。土體強度的提高必然會對擋墻土壓力產生全方位影響，包括墻后土體滑裂面、土壓力大小和分布，甚至是擋墻的位移模式。現有位移土壓力的數學擬合公式均沒有體現中間主應力的影響，獲得的土壓力難以反映土體實際強度。

研究方向：對墻后土體開展真三軸試驗研究，探討中間主應力對土體黏聚力及內摩擦角的影響規律，或者基于合理考慮中間主應力影響的土體真三軸強度準則與土體常規軸對稱壓縮試驗，獲得平面應變條件下土體的真實強度參數用于位移土壓力計算，并加強對墻后土體滑裂面和擋墻位移模式的試驗觀測。

4 結論

1）擋墻位移土壓力常以靜止土壓力、主/被動土壓力為基礎，存在4種數學函數構造方式，尤以第1種附加應力作比構造位移函數的應用最為廣泛，可相應對主動或被動狀態下擋墻的位移土壓力進行分段數學表征，也可不分段對整條曲線進行數學表征，目的都是更準確地描述土壓力隨擋墻位移的變化規律。

2）將擋墻位移土壓力數學擬合公式按函數形式分為6大類：三角函數、指數函數、雙曲線函數、冪函數、S型函數以及其他函數，可利用某類數學函數應具備的3方面特征，確定其適用范圍，以便更好地表達土壓力隨擋墻位移變化的非線性特征。

3）應將擋墻位移土壓力的形成機理、物理解釋和理論分析與數學擬合方法相結合，加強位移土壓力數學擬合公式間的對比分析，探究各自的合理性及適用性。對擋墻不同位移模式開展全面分析，并進行黏性土、非飽和土、濕陷性黃土、膨脹土等的土壓力試驗和中間主應力效應研究。

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（編輯 章潤紅）