形狀記憶合金數(shù)值模型的不確定性分析

李金朋 陳城 侯和濤

摘 要：形狀記憶合金（shape memory alloy，簡(jiǎn)稱為SMA）具有“超彈性”，即在受到應(yīng)力而發(fā)生較大變形并卸載后，可以恢復(fù)原始形狀，并在這個(gè)過程中耗散能量，在建筑抗震和橋梁振動(dòng)控制中具有廣闊的應(yīng)用前景。SMA的模型參數(shù)通常由優(yōu)化方法來確定，然后用于裝有SMA裝置的結(jié)構(gòu)地震時(shí)程響應(yīng)分析中。利用Metropolis-Hasting算法（簡(jiǎn)稱為MH算法）中的改進(jìn)算法DRAM方法（延遲拒絕及自適應(yīng)采樣），基于經(jīng)過“預(yù)拉伸”和熱處理的SMA棒材循環(huán)拉伸試驗(yàn)結(jié)果，對(duì)SMA改進(jìn)的Graesser & Cozzarelli模型參數(shù)進(jìn)行采樣，從SMA的本構(gòu)模型參數(shù)和耗能能力兩個(gè)方面分析了SMA材料的不確定性。建立了各參數(shù)的后驗(yàn)分布，并得到了參數(shù)兩兩之間的相關(guān)性，結(jié)果可用于概率模型的建立及基礎(chǔ)模型數(shù)學(xué)形式的研究。研究表明，在累積概率密度為15%時(shí)，材料的能量耗散能力相對(duì)誤差高達(dá)20%;累積概率密度為85%時(shí)，相對(duì)誤差為10%。

關(guān)鍵詞：形狀記憶合金;不確定性分析;馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法;概率建模

中圖分類號(hào)：TU512.9. 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-6717（2020）06-0112-07

Abstract： Shape memory alloy（SMA） has "super elasticity"， that is， it can recover original shape after deformation and unloading due to stress， and dissipate energy in this process. It has broad application prospect in seismic control of buildings and bridge vibration. The model parameters of SMA are often determined through optimization and treated as deterministic for dynamic analysis of structures with SMA based devices. In this study， the modified Metropolis-Hasting algorithm-DRAM algorithm， which is a combination of delay rejection and adaptive sampling， is utilized to characterize the uncertainties in modified Graesser & Cozzarelli SMA model parameters. A series of SMA bars with the same geometric size and heat treatment were tested under cyclic loads. The Markov Chain Monte Carlo （MCMC） method is applied to analyze the uncertainties of SMA in terms of model parameters and energy dissipation capacity. The analysis provide insight into the underlying mathematical form of a model， suggest simplifications or modifications and begin to indicate the relative significance of individual parameters， based on a limited set of experimental data. Besides， research shows thatthe energy dissipation of the SMA bar could have up to a relative error of 20% and 10% corresponding to the CDF of 15% and 85%.

Keywords：shape-memory alloy; uncertainty analysis; Markov Chain Monte Carlo; probabilistic modeling

形狀記憶合金（SMA）具備形狀記憶，這使其在經(jīng)歷較大幅度的變形后，可通過加熱或者卸載恢復(fù)原本形狀[1]。奧氏體相下的SMA受到應(yīng)力而發(fā)生變形，并在卸載后恢復(fù)原始形狀的行為稱為“超彈性”（或“偽彈性”）。SMA的化學(xué)成分以及生產(chǎn)中的冶金處理過程對(duì)上述性質(zhì)具有顯著影響，而材料固有的不確定性導(dǎo)致這兩個(gè)因素不易被精確控制。SMA的單軸應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)通常為典型的旗幟型滯回曲線，并且具有良好的自定心能力、能量耗散能力和循環(huán)可重復(fù)性[1-2]。這使其在結(jié)構(gòu)抗震裝置，如振動(dòng)控制裝置[3]、多跨橋梁的限位裝置[4]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其數(shù)值模型也得到了深入的研究。現(xiàn)有研究中，當(dāng)進(jìn)行基于SMA裝置的地震響應(yīng)模擬時(shí)，SMA模型參數(shù)通常通過優(yōu)化算法來確定[5-6]。然而，數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化、不可避免的實(shí)驗(yàn)誤差和諸多其他因素均可能導(dǎo)致材料或者結(jié)構(gòu)的數(shù)值模型產(chǎn)生不確定性，進(jìn)而導(dǎo)致模擬結(jié)果具有局限性并可能失真[7]。

筆者提出對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行概率建模的方法，基于SMA棒材的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用改進(jìn)的Graesser和Cozzarelli模型與MCMC算法的組合來分析模型本身固有的不確定性，將模型參數(shù)視為隨機(jī)變量，采用Metropolis-Hastings算法來生成樣本參數(shù)集，揭示了參數(shù)的概率特性和參數(shù)之間的潛在相關(guān)性，并從模型參數(shù)的角度研究了SMA模型中固有的不確定性及其對(duì)材料能量耗散能力預(yù)測(cè)值的影響。

1 SMA的數(shù)值模型與材性試驗(yàn)

1.1 改進(jìn)的Graesser & Cozzarelli 模型

1.2 SMA棒材的循環(huán)拉伸試驗(yàn)

采用粒子群優(yōu)化（PSO）方法[11]得到使模型具備良好擬合效果的參數(shù)值作為初始參數(shù)組，通過試驗(yàn)得到一組SMA棒材的循環(huán)拉伸測(cè)試的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用PSO方法得到模型的確定性參數(shù)值。試驗(yàn)試件的原材料為直徑12 mm的鎳鈦SMA棒材，其化學(xué)成分如表1所示。棒材加工成“狗骨”形狀的試樣，削弱部分直徑6 mm，便于循環(huán)拉伸測(cè)試，如圖1（a）所示。熱處理的溫度為400 ℃，持續(xù)時(shí)間為15 min。退火后，觀察到試樣的顏色從銀色變?yōu)榻鹕鐖D1（b）、（c）所示。試件的加載方式如圖1（d）所示。在熱處理之前，先對(duì)試件進(jìn)行峰值應(yīng)變?yōu)?%的準(zhǔn)靜態(tài)拉伸并卸載處理，使材料內(nèi)部晶體結(jié)構(gòu)重新排列，有助于其性能的發(fā)揮[12];處理結(jié)束后，試件產(chǎn)生了3.8%的殘余應(yīng)變。

將熱處理后的試件進(jìn)行循環(huán)拉伸試驗(yàn)，其加載制度如圖2（a）所示。圖2（b）為循環(huán)拉伸試驗(yàn)得到的滯回曲線，其數(shù)據(jù)用于后續(xù)的不確定性分析。在進(jìn)行不確定性分析之前，基于峰值應(yīng)變?yōu)?.08的兩條滯回曲線，采用PSO方法得到使模型具備良好擬合效果的參數(shù)值作為初始參數(shù)組，有助于提高馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）模擬時(shí)馬爾可夫鏈的收斂速度。由PSO方法得到的初始參數(shù)具體數(shù)值如表2所示。從圖2（b）可以看到，PSO優(yōu)化方法得到的參數(shù)雖然使得模型具有良好的擬合效果，但模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)仍舊存在偏差，因此，有必要研究模型中存在的固有不確定性。

2 MCMC不確定性分析

2.1 MCMC方法

馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）是一種通過建立一條按照提議分布π（x）平滑分布的馬爾科夫鏈來獲取所需樣本點(diǎn)的方法。MCMC方法通過沿著馬爾可夫鏈計(jì)算1/n∑ni=1f（Xi）的值，當(dāng)該值趨于穩(wěn)定后，將該值作為給定函數(shù)f相對(duì)于分布π（x）的期望Eπf的估計(jì)（此時(shí)認(rèn)為馬爾可夫鏈?zhǔn)諗浚M(jìn)而得到平滑服從所給提議分布的馬爾可夫鏈的樣本點(diǎn)。其中，1/n∑ni=1f（Xi）稱為MCMC算子。通常，MCMC采樣是漸進(jìn)無偏且服從正態(tài)分布的[13]。

2.1.1 DRAM方法

采用MCMC方法中兩個(gè)重要方法的結(jié)合，即延遲拒絕法（DR法，Delaying Rejection）和自適應(yīng)采樣（AM法，Adaptive Metropolis Samplers），簡(jiǎn)稱為DRAM方法[13-14]。DR法通過適當(dāng)調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)Metropolis-Hastings（MH）算法中馬爾可夫鏈每一步中的提議分布來提高M(jìn)CMC算子的效率。AM法則是基于馬爾可夫鏈的歷史來調(diào)整提議分布。當(dāng)提議分布的方差非常小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)MH算法傾向于以小步長(zhǎng)“遍歷”目標(biāo)分布，而無法有效地探索狀態(tài)空間，且樣本點(diǎn)分布偏移樣本空間中心，產(chǎn)生偏差。Haario等[14]的研究證明了AM方法能夠解決“探索范圍未覆蓋整個(gè)樣本空間”的問題，DR方法能夠解決“樣本集中位置偏移樣本空間中心”的問題，而DR和AM的組合，即DRAM方法可以同時(shí)解決這兩個(gè)問題。

2.1.2 似然函數(shù)

似然函數(shù)定義為給定的一組參數(shù)值下，模型模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一致的概率，也可以將其視為模型預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)量之間的誤差概率。ss函數(shù)是似然函數(shù)的一部分，用于描述歸一化后的誤差[15]。

2.1.3 參數(shù)的先驗(yàn)概率

在模擬開始之前，首先要建立參數(shù)的先驗(yàn)概率，包括參數(shù)的范圍及其在該范圍內(nèi)的分布。研究表明，先驗(yàn)分布并不是MCMC模擬得到參數(shù)所收斂的后驗(yàn)分布的決定性因素，而是影響收斂速度的關(guān)鍵因素[16]。因此，模擬中僅根據(jù)數(shù)學(xué)或物理要求對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行合理規(guī)定，不指定其分布方式。參數(shù)的先驗(yàn)概率設(shè)置如表3所示。

2.2 MCMC分析結(jié)果

2.2.1 模型參數(shù)

基于峰值應(yīng)變?yōu)?%的加載循環(huán)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的參數(shù)不確定性分析結(jié)果如表4、圖4所示。表4列出了10個(gè)參數(shù)的概率特性，包括均值、方差和偏度。圖4為所有參數(shù)的頻率分布直方圖，圖4中大多數(shù)參數(shù)的頻率分布呈現(xiàn)出單峰結(jié)構(gòu)，表明對(duì)參數(shù)采樣的馬爾可夫鏈?zhǔn)諗糠脑搮?shù)。

2.2.2 能量耗散

為了更好地說明不確定性研究的必要性，研究通過模型參數(shù)的概率分布建立材料耗能能力的概率特征，其概率密度示意圖如圖6（a）所示。與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的結(jié)果相比，在累積概率密度為15%時(shí)，材料的能量耗散能力相對(duì)誤差高達(dá)20%;累積概率密度為85%時(shí)，相對(duì)誤差為10%。圖6（b）顯示了對(duì)應(yīng)能量耗散的累積概率密度值分別為0.15、0.5、0.64和0.85時(shí)模型的擬合效果。結(jié)果顯示，此時(shí)模型具有非常好的擬合效果，但沒有PSO優(yōu)化結(jié)果好。這表明更新模型參數(shù)不會(huì)消除或補(bǔ)償模型模擬的偏差，但會(huì)將偏差控制在可接受的范圍內(nèi)。

3 結(jié)論

1）基于形狀記憶合金棒材循環(huán)拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的DRAM算法采樣得到的馬爾可夫鏈體現(xiàn)出模型參數(shù)的概率特性。樣本的分布特征（均值、方差等）體現(xiàn)出優(yōu)化方法可能存在偏差，部分參數(shù)之間存在線性相關(guān)性，在進(jìn)行數(shù)值模型研究時(shí)應(yīng)予以重視。

2）數(shù)值模型的不確定性也體現(xiàn)在模型的耗能預(yù)測(cè)上，在累積概率密度為15%時(shí)，材料的能量耗散能力相對(duì)誤差高達(dá)20%;累積概率密度為85%時(shí)，相對(duì)誤差為10%。加載應(yīng)變峰值對(duì)材料的耗能性能有明顯影響，等效粘滯阻尼分布顯示，加載峰值應(yīng)變?yōu)?%時(shí)，材料耗能性能較其他對(duì)比組更好。參考文獻(xiàn)：

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（編輯 章潤(rùn)紅）