“一題多變與一題多解”在培養學生思維能力中的應用

林海明

摘? 要：數學教學注重培養學生的思維能力，而“一題多變與一題多解”就能提升學生的思維能力，特別是散發式的思維能力。培養思維能力，既是培養學生的理解能力，又是提高學生的分析能力，這對學生的幫助非常大。因此，本文將從“一題多變與一題多解的數學價值”“培養開放式思維力”“提高分析能力”三個角度對“一題多變與一題多解”在培養學生思維能力中的應用做簡單的探討。

關鍵詞：一題多變;一題多解;思維能力

【中圖分類號】G633.6??? 【文獻標識碼】A?????? 【文章編號】1005-8877（2020）30-0187-02

The application of "one question changing and one problem multi solution" in cultivating students' thinking ability

LIN Haiming? （Fujian Zhangpu No.1 Middle School，China）

【Abstract】Mathematics teaching focuses on the cultivation of students' thinking ability，and "one problem changing and one problem solving more" can improve students' thinking ability，especially the sporadic thinking ability. The cultivation of thinking ability is not only to cultivate students' understanding ability，but also to improve their analytical ability，which is of great help to students. Therefore，this paper will make a simple discussion on the application of "one question changing and one problem solving multiple solutions" in the cultivation of students' thinking ability from three aspects of "the mathematical value of one problem changing and one problem solving multiple solutions"，"cultivating open thinking ability" and "improving analysis ability".

【Keywords】One problem is changeable;One problem has many solutions;Thinking ability

數學這門學科在當代素質教育和學術教育統一的義務教育中占有重要地位，它是一門自由學科，但同時也是既復雜困難又富有邏輯的學科。也許對大部分學生而言，數學這門學科是一道難題。因此，數學學科的教育傳授者在教學中如何傳授這門學科的方法、方式，就顯得尤為重要。高中數學教師在講解例題時不僅要給學生講解解題技巧，還要引導學生如何抓住題目的主干和關鍵詞，如何找到解題思路，這也是培養學生數學思維力的一部分。

1.“一題多解”以及“一題多變”的數學價值

“一題多解”指的是從多個角度去分析一個數學題，然后找到題干，多種方法去解決數學題目。這種方法可以幫助學生拓展數學解題思路，增強數學知識之間的聯系，引導學生運用多種方式、多種方法解決數學題目。高中數學教師在教學過程中，要運用“一題多解”的方式進行教學，培養學生在解決數學問題時要從多個角度去思考，從多個角度去解決數學問題。教師引導學生從多方面尋找思路，同時找到每種題目中的聯系條件。展開多種方式對數學題目進行表達，只有這樣的方法才能提升學生的邏輯思維能力，具備這種思維也便于學生具備科學的數學思維，然后將此應用到更加廣泛的數學解題過程中，這也是對數學能力的一種提升，也便于學生更好地解題。

“一題多變”指的是在數學解題練習過程中，將原來數學題目中的已知條件進行變換，或者已知條件不變，將問題進行改變。或者也可能是已知條件不變，讓學生自行添加條件解決問題，這也是解決高中立體幾何問題的常用方式。采用多變的方式進行教學，主要是對數學題目或者數學例題進行多種方式的改變。讓學生從不同方面、不同情形下進行考慮。這也是高中數學教學反思的一種方式，它要求學生從出題者的角度去考慮這個數學問題。這種“一題多變”的解題方式能夠很好的培養學生觀察問題、歸納類比等多種數學思維力，還可以讓學生能夠對有些問題進行更加深入的思考，讓他們能夠針對那些難題形成更好的解題思維，以便能夠更好地應用到實際解題過程中。

2.“一題多變與一題多解”在培養學生開放式思維能力

一題多解，解法優化;一題多變，變中求同;多題一法，同模同法。這是數學解題與習題教學中非常重要的教學方法，也是學生學習的方法，對各個數學知識模塊進行這三個維度的探究教學，非常有益于學生數學思維能力的培養。在數學課堂中，教師可以適當地通過對同一問題的不同表述方法，培養學生分析和解決實際數學問題的能力。本文主要側重于思考與研究常見的幾何特征模型的一些變式問題的結論，并介紹對問題變式的改編方法的思考。數學教學離不開數學解題，學生在提高數學成績過程中常常使用“題海戰術”，這種方法其實是非常不科學的。真正提高數學成績的方法應該是做到“少而精”，少做題，找到題目的精髓。學生在解決一個問題時要做到舉一反三，教師要培養學生采用開放式的思維模式進行做題。

例如，高中數學教師在講解三角函數時，可以給學生滲透一題多解的方式：若函數f（x）=x-1/3sin2x+asinx在（-∞，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（）。A、【-1，1】B、【-1，1 /3】C、【-1 /3，1 /3】D、【-1，1 /3】。

解法一：f（x）=x-1/3sin2x+asinx的導數為f'（x）=1-2 /3cos2x+acosx，由題意可知f'（x）≥0，1-2/3cos2x+acosx≥0，然后設t=cosx，就可以解出該題。

解法二：可以應用結論“奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數。”由題意可知，函數f（x）=x-1 /3sin2x+asinx的定義域為（-∞，+∞），且-f（x）=f（-x），所以f（x）就是奇函數，而導函數就是偶函數。非常容易的可以得到答案就是C。

3.“一題多變與一題多解”在提高分析問題能力

對于難度比較大的數學題，教師同樣可以引導學生采用“一題多解與一題多變”的方式進行解決。而運用一題多變的數學方法進行解題時，要找到題干中的相同點，或者要找到已知條件的聯系，引導學生從不同角度去解決問題，提升學生的分析問題能力，為學生提升數學成績奠定良好的基礎。

例如，高中數學教師講解單調性的例題時，教師可以采用一題多變的方式進行講解：已知f（x）對于任意實數x，y滿足f（x+y）=f（x）+f（y），當x>0時，f（x）<0。（1）求證：f（x）=-f（x）。（2）判斷f（x）的單調性。證明：令x=y=0，可以得到f（0）=f（0）+f（0）=0，令x=-y，得到f（0）=f（x）+f（-x）=0，所以f（x）=-f（-x）講解完這個題目之后教師可以給學生布置一個變式：已知函數是定義R上的增函數，且滿足f（x /y）=f（x）×f（y），求f（1）的值，教師引導學生用“一題多變”的方式做題。

4.“一題多變與一題多解”在提升學生的反應力

橫看成嶺側成峰，當心掉進隱蔽的陷阱。從不同角度、按不同思路、用不同方法 給出同一道習題的解答。筆者在教學過程中實施 “一題多解”調動學生的學習積極性，在教師的啟發、引導下讓學生對同一個題目盡量做到“一題多解 ”，努力將自己思維變靈活，經過多次反復練習后，做到根據題目中列出的已知條件，快速而靈活地選擇解題切人點，節省做題時間，這也是數學思考問題中比較常見的方法，需要教師好好去把握，一旦出現一些比較難的問題時，需要及時地給予學生解答，讓他們對于數學能夠產生更多的興趣。

例題：“如果關于x 的方程sin2 x+cosx+α= 0有實根，求實數α的取值范圍”。

初見題目感覺題目短小 ，但是卻隱藏著一個令不少學生忽視的陷阱。不少學生提筆就算方程中不就是在求嗎，用到了學過的知識 ，即三角函數sinx，COSX.學過這兩者之間的關系的，即sin2 x = 1一 COS2x，題目中的方程變形就可以了：COS2x 一 cosx一1一α= 0①

題目中要求有實根 ，其實就是在找cosx對應的實數，則另m =cosx，這樣方程① 就化成了m2 -m-1一α=O②

不少學生很自信的認為方程 ② 就應該有實數根，他們下定論的理由就是判別式△= 4a+5≥從而就得出了實數α的取值范圍：α≥一（5/4）.一些學生認為解題完成 ，但是他們還不知道自己已經掉入命題人所設置的陷阱之中。

找陷阱：當 α≥一（5/4）時，一定有△≥0，m2一m一1一α=0一定有實數根，這個陷阱就出現了：

cosx =m有實根，是不是m2一m一1一α=0就一定有實數根.掉進陷阱的同學沒有注意到 ：余弦函數的值域是 COSX?[-1，1]，故m2一m一1一α=0有實根，我們根本不能保證 cosx=m一定在[一1，1]內，關鍵點在此，所以不小心的學生肯定掉入深深的陷阱里了。

挖陷阱：引導學生一題多變的形式轉化：將方程變成m2一m一1一α=0有位于[一l，1]中的實數根時，求實數α的取值范圍.這樣由方程 m2一m一1一α=0得：α∈[一（5/4），1]U[一（5/4），一1]=[一（5/4），1]時，原方程有實數根.通過一題多變的方法解題避開陷阱，用到了“一元二次方程求根公式”，用到了“解兩個無理不等式組成的不等式組”，用到了“集合的交集和并集 ”。

5.結語

總而言之，高中數學教師要注重對于學生思維能力的培養，教師可以給學生講解“一題多變與一題多解”的數學價值，同時數學教師在講解例題時要多給學生滲透“一題多變與一題多解”的解題方式，培養學生開放式的數學思維能力，提高他們對于問題的反映力，思考能力，提高分析問題能力，為學生的數學學習之路奠定一個良好的基礎。為提升總體數學成績奠定良好的基礎。

參考文獻

[1]王靜.一題多解與一題多變在數學中的應用[J].神州，2017：136-136

[2]徐承嬌.一題多解對學生思維能力的培養[J].中學數學教學參考，2017：45