在“變與不變”的探究中促進學生主動思考

江蘇省興化市景范學校 陳 穎

蘇軾在《赤壁賦》中從哲學的角度向世人道出了人生中的變與不變的真理。其實，從數學的角度看，世界上所有的事物都在變化著，這種變化包含著變化和不變的因素。其中，如何處理“變與不變”的關系是解決數學問題的一大難點，也是重要的數學思維方法之一。筆者將結合自己的教學實踐談談如何在教學中滲透“變與不變”的數學思維方法。

一、“變與不變”思想方法的概述

1.“變與不變”的內涵。偉大的哲學家蘇格拉底認為，世界上的所有事物都在某些方面發生變化或消逝，但是從某種程度上來說這些變化著的事物在某些方面卻是相同的，那就是從不變化、從不消逝。這句話將“變與不變”的哲學含義很好地解釋透徹了。其實，“變與不變”是以辯證關系而存在的，如表面發生變化，但本質卻不變；局部發生變化，但整體卻不變；事物都會有短暫的變化，但長期來看最終結果是不發生改變的。總之，如果要嘗試運用變與不變的思想方法去思考問題，那么需要我們既要考慮其變化的一面，又要考慮其不變的一面，同時還需要思考二者如何進行轉換。總之，世界上有太多千變萬化的事物，它們有可能會令人眼花繚亂，但是我們如果能抓住事物變化的本質，就可以以不變應萬變，無論是生活中的問題或是學科中的學術問題，都能舉一反三，想出最適當且最高效的辦法解決，從而提高自身解決問題的能力與效率。

2.“變與不變”思想方法的數學地位。數學思想是在數學知識形成和發展以及應用過程中誕生的，它是對數學知識以及方法在更高層次上的升華與濃縮。當解決數學問題時，就需要運用數學方法，因此數學方法是將數學知識應用起來的策略，同時也是數學思想的具體反映。在教學過程中應用“變與不變”的思想，可以幫助學生解決錯綜復雜的問題，也能讓學生通過現象看本質，根據局部把握全局等。如果學生能把“變與不變”運用到數學學習中去，就可以做到舉一反三和觸類旁通。因此“變與不變”思想方法在數學教學中具有深遠的意義。

二、“變與不變”思維方法在小學數學教學中的實際運用

1.在“變與不變”中分析概念。數學概念是數學知識體系中最基本的一個內容，也是一切中高難度知識點的核心。因此，在數學教學活動中，概念的理解與把握是分析和解決數學問題的基礎。然而，數學概念具有抽象化的特點，這使數學概念的教學變得比較困難。因此，在教學過程中，尤其是在講解概念時，教師應當把握“變與不變”的關系，適當引導學生進行比較分析，以便更為清楚地理解概念的本質特征和意義。

例如，在教學“面積”這一單元時，很多老師把周長和面積分開來教，這就容易使學生混淆面積和周長這兩個重要概念。其實，最好的教學方式是教師先將周長和面積這兩個概念分別講解后，再設計一系列與之相關的教學活動，讓每一個學生仔細觀察圖形周圍的線的變化是如何引起周長和面積的變化的，周長和面積之間到底有什么聯系或者差別。

比如，教師拿出一個可以活動的平行四邊形框架，將平行四邊形變成長方形再變成其他平行四邊形的過程演示出來，讓學生觀察平行四邊形的周長和面積有什么變化，學生很快就能得出圖形的周長不變，但是面積發生改變了。

教師通過在課堂上讓學生猜測、驗證、比較和發現，使學生不僅能夠清楚地辨析面積與周長概念的區別，還能夠學會全面思考問題的方法，從而提高自身辨析事物的能力。

2.在“變與不變”中探究規律。自從新課程改革開始實施之后，很多版本的數學教材都對內容進行了仔細的探索與鉆研，并總結出許多規律，對這些內容進行了合理的安排與設計。其實，數學教材中有很多規律、性質或公式，都是可以融入“變與不變”思想的，通過這種思想的滲透，可以引導學生主動地進行探究與發現問題。

例如，在“商不變的性質”一課中，教師讓學生思考一個問題：“為什么被除數和除數變了，商卻沒有變。這里面究竟蘊藏了什么規律？”在總結了性質之后，教師可以適當地引導學生使用“什么變了，什么沒有變，每一次變化的量是按照什么規律變化的”的方式。接著，再通過類比進行一系列的歸納與總結。總之，教師要讓學生學會在接下來的學習中自覺地運用“變與不變”的思維方法去進行觀察和總結。

同樣，在教學“空間與圖形”時，教師可以經常使用數學轉換的方法，但在轉換的過程中，教師應該促使學生及時地發現“變化與不變化”之間的關系，最后主動地總結出規律來。

例如，在教學“平行四邊形的面積計算”時，教師可以先要求學生通過拼接和切割的方式將平行四邊形轉換成長方形，然后詢問學生“什么改變了”和“什么沒有改變”，接著再讓學生進行探索。很顯然，經過仔細觀察和認真比較，學生會發現平行四邊形的“底”等于轉化后長方形的“長”，平行四邊形的“高”等于轉化后長方形的“寬”，以及平行四邊形的面積等于轉換后的長方形的面積。而在先前，學生已經非常熟練地掌握了長方形的面積公式，即長方形的面積=長×寬，所以面對這種情況，學生通過遷移可以很容易發現：平行四邊形的面積=底×高。

這樣一來，在“變與不變”思維方法的指導下，學生也會自覺、主動地運用“變與不變”的思維方法去發現與解決問題。接下來，學生要學習如何推導圓、梯形和三角形的計算公式時，就會很自覺地將“變與不變”的思想滲透到推導過程中去，從而使自身的思維能力得到有效的鍛煉。

3.在“變與不變”中解決問題。世界上的事物是不斷變化和演變的，變化包含著變和不變的因素，而我們要做的是從這些復雜的變化中發現變與不變之間的相互聯系，因為這通常是解決問題的突破口。例如，我們在解決“盈虧問題”等學生會感到比較困難的問題時，如果學生懂得在其中歸納萬千變化中不變的規則，那么這些問題就能迎刃而解了，解決的難度系數也會下降很多。

例如，有這么一道題：學校圖書館有420本歷史書籍和文學書籍，其中歷史書籍占20%左右，后來又買進一些歷史書。在這個時候，歷史書占全部書的比重是30%，問又買了多少歷史書籍？”其實，這道題中，歷史書的數量和總數是變化的，而文學書的數量是不變的。因此，在解決問題時，教師應引導學生抓住不變的量——文學書的數量，最后得出這樣的結論：文學書的數量是420×（1-20%）=336（本）。而變化后的總本數是336÷（1-30%）=480（本），此時，增加歷史書為480－420=60（本）。

就這樣，在復雜的變化中，用常數量即不變的量作為突破口，能夠開闊學生的思維，使問題變得更加簡單、易解決。

綜上所述，“變與不變”是數學學習和日常生活中分析和解決問題的一種為人所熟知的思維方式。教師應該了解整體的教學材料和基本方法，運用更加豐富多彩的教學設計與教學方法，全面提高學生的數學素養和主動學習的能力。