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趣話“數字對稱等式”

2020-12-17 08:42:42
初中生世界 2020年38期

文 曉 月

觀察下列等式:

12×231=132×21,

13×341=143×31,

23×352=253×32,

34×473=374×43,

62×286=682×26,

……

以上每個等式的兩邊數字是分別對稱的,且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律,我們稱這類等式為“數字對稱等式”。

這樣的等式是不是很有趣?為什么會有這一奇特的現象呢?聰明的你能發現其中蘊含的規律嗎?

事實上,若設這類等式左邊兩位數的十位數字為a,個位數字為b,且2≤a+b≤9,則左邊的兩位數可以表示為(10a+b),三位數為[100b+10(a+b)+a];右邊的兩位數為(10b+a),三位數為[100a+10(a+b)+b]。

于是具有“數字對稱等式”一般規律的式子可表示為:

(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10·(a+b)+b]×(10b+a)

此等式容易證明。

證明過程如下:

左邊=(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]

=(10a+b)(100b+10a+10b+a)

=(10a+b)(110b+11a)

=11(10a+b)(10b+a)。

右邊=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a)

=(100a+10a+10b+b)(10b+a)

=(110a+11b)(10b+a)

=11(10a+b)(10b+a)。

易見左邊=右邊,從而等式成立。

同學們,你能根據上述規律,解答下列問題嗎?

1.根據上述各式反映的規律,使下列式子成為“數字對稱等式”:

(1)52×_____=_____×25;

(2)_____×396=693×_____。

2.你能再寫出一兩個這樣的等式嗎?這樣的式子有無數個嗎?為什么?

參考答案:

1.(1)275,572;(2)63,36。

2.這樣的式子還有:14×451=154×41,27×792=297×72,等等。若不考慮a=b和左右兩邊分別對應相同的情形,等式最左邊的兩位數只會是12、13、…、18、23、24、…、27、34、35、36、45,因此這樣的式子只有16個,故為有限個。

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