問題驅(qū)動下方程的教學(xué)意義探究

廣州市增城區(qū)第二中學(xué) 黎燦群

方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，分布在初中階段七、八、九三個(gè)年級，涵蓋一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程等內(nèi)容。在一線教學(xué)實(shí)踐中，教師認(rèn)真?zhèn)湔n，特別重視各種方程的解法技巧訓(xùn)練，但是這些都只是方程教學(xué)中的技能訓(xùn)練，學(xué)生畢業(yè)多年以后，往往很難想起教師講過的解方程技巧，只有真正的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維才會存留在腦海里，所以必須關(guān)注數(shù)學(xué)的核心。教師要在百忙之中抽出時(shí)間來慢慢思考，好好探索一下“為什么要學(xué)習(xí)方程？”這個(gè)問題，不是因?yàn)榻滩膬?nèi)容的安排或是升學(xué)學(xué)習(xí)的需要，而是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的需求與必要性，應(yīng)該是歷史發(fā)生的必然結(jié)果。本文將在問題驅(qū)動理論指導(dǎo)下探究方程教學(xué)的意義。

一、方程的知識地位

數(shù)學(xué)知識并不是孤立的。方程是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。方程是繼有理數(shù)、整式的知識之后學(xué)習(xí)的進(jìn)一步深入，又是過渡到不等式、函數(shù)部分知識的臺階。方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)了第一章“有理數(shù)”、第二章“整式的加減”之后的第三章內(nèi)容，都屬于“數(shù)與代數(shù)”的知識領(lǐng)域。從代數(shù)中關(guān)于方程的分類來看，一元一次方程是最簡單的代數(shù)方程，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)。先是在七年級學(xué)習(xí)一元一次方程，再到八年級學(xué)習(xí)二元一次方程組、分式方程，最后在九年級學(xué)習(xí)一元二次方程，知識呈現(xiàn)由簡單到復(fù)雜，由易到難，思維呈螺旋式不斷上升發(fā)展。方程是比算術(shù)式子更有力的數(shù)學(xué)工具，用字母表示未知數(shù)，列出方程進(jìn)行計(jì)算，從而解決問題。這樣既體現(xiàn)出與算式、整式的聯(lián)系，又顯示出比算術(shù)方法的進(jìn)步優(yōu)勢，為后續(xù)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)、不等式做好知識鋪墊。

二、方程產(chǎn)生的歷史意義

人們對方程的研究有悠久的歷史。《九章算術(shù)》是我國東漢初年編定的一部現(xiàn)有傳本的、最古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作。其中，“方程章”是世界上最早系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門論著。14 世紀(jì)初，我國數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中又創(chuàng)立了“四元術(shù)”，以天元、地元、人元、物元四個(gè)元素（即相當(dāng)于現(xiàn)代的設(shè)未知數(shù)x、y、z、w）表示四元高次方程組，這是古代數(shù)學(xué)研究的一次飛躍。法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在韋達(dá)的基礎(chǔ)上，采用小寫字母，用字母表中靠前的字母(如a,b,c等)表示已知數(shù)或常量，而靠后的字母(如x,y,z等)表示未知數(shù)或變量，標(biāo)志著符號代數(shù)產(chǎn)生。

方程是重要的數(shù)學(xué)知識，它隨著實(shí)踐需要而產(chǎn)生，并且有極其廣泛的應(yīng)用。從數(shù)學(xué)學(xué)科本身看，方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，其研究推動了代數(shù)學(xué)的整體發(fā)展。方程學(xué)習(xí)并不只是簡單地認(rèn)識方程的外在特征，即“含有未知數(shù)的等式”，而是要讓學(xué)生體會方程的本質(zhì)特征，即揭示事件中最主要的數(shù)量關(guān)系。

三、方程的優(yōu)越性

在學(xué)習(xí)方程以前，如果只用算式來解決問題，在某些問題中，數(shù)理關(guān)系不直接，往往就需要采用逆向思維來分析和計(jì)算，理清各種量之間的關(guān)系才能解決問題。這樣給問題解決帶來了極大不便，數(shù)理關(guān)系也不容易分析和理解。但是如果運(yùn)用方程解決問題，可以通過假設(shè)若干個(gè)未知數(shù)，依據(jù)相等關(guān)系使未知數(shù)逐步化歸為用已知數(shù)表達(dá)的形式。通過列方程分析問題的時(shí)候，思路是正向的、直接的，數(shù)學(xué)線性的思考方式就顯示出其優(yōu)越性。

例如，七年級數(shù)學(xué)上冊課本提出的問題：一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70 km/h，卡車的行駛速度是60 km/h，客車比卡車早1 h 經(jīng)過B地。A、B兩地間的路程是多少？

對于這個(gè)問題，如果用方程來解決，可以設(shè)A、B兩地相距xkm，根據(jù)問題的條件，即可列出方程，學(xué)生可以理解怎樣分別用未知數(shù)表示客車和卡車從A地到B地的行駛時(shí)間。但是如果用算術(shù)的方法來解決這個(gè)問題，對于“1 km 的路程，客車比卡車少用的時(shí)間”這個(gè)數(shù)量關(guān)系，卻變成學(xué)生理解的難點(diǎn)。教材提出的這個(gè)典型問題，顯然突出顯示了方程思維在解題方面的優(yōu)勢。通過列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量，并進(jìn)一步依據(jù)相等關(guān)系列出方程，突出方程的根本特征，也使學(xué)生能夠順利實(shí)現(xiàn)從算式解題思路到方程解題思路的過渡。從算術(shù)方法到方程方法，是數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

列算式是用算術(shù)方法進(jìn)行計(jì)算的程序，列算式是依據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，算術(shù)中只含已知數(shù)而不含未知數(shù)。列方程也是依據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系（特別是相等關(guān)系），但它打破了列式時(shí)只能用已知數(shù)的限制，方程中可以含有相關(guān)的已知數(shù)和未知數(shù)，這是一種進(jìn)步。正因?yàn)槿绱耍话銇碚f，列方程比列算式有更多的優(yōu)越性。

曹廣福教授在《問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)》中指出，數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的“有限再創(chuàng)造”。學(xué)生是在老師的引導(dǎo)之下進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，而不是獨(dú)立自主的再創(chuàng)造。課堂教學(xué)中要以真正的問題驅(qū)動課堂教學(xué)，以問題驅(qū)動為指導(dǎo)，將驅(qū)動教學(xué)的問題通過適當(dāng)?shù)那榫罢宫F(xiàn)出來，滲透數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，真正培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。