論9 的除法

湖北省荊州市洪湖市文泉中學(xué) 陳景華

如果一個自然數(shù)的各位數(shù)字之和是9 或9 的倍數(shù)，那么這個數(shù)一定能被9 整除。例如：1215、2151、1512……36783、666、456789……如上這些數(shù)都能被9 整除。

任意一個自然數(shù)除以9，一般的方法是用除法，先求商，后求余數(shù)，而我的方法是：①先求余數(shù)；②后求商；③用加減法求。

首先，怎樣求余數(shù)呢？在這里介紹用劃數(shù)法求余數(shù)。

第一，當(dāng)一個數(shù)的各位數(shù)字較小時，例：234561÷9，方法是，劃去數(shù)位上的數(shù)字之和為9 或9 的倍數(shù)，剩下的數(shù)位上數(shù)字之和即為余數(shù)，如3+4+5+6=18，剩下2+1=3，所以此式的余數(shù)為3。驗證：234561÷9=26063……3。又例：12321346÷9，劃去的數(shù)字2、3、3、4、6 的和為18，還剩下的數(shù)字1、2、1 之和為4，故12321346÷9的余數(shù)為4。

總結(jié)：沒有劃掉的數(shù)字相加的和就是余數(shù)。

第二，當(dāng)一個數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字較大時，例：8887687÷9，劃去的數(shù)字8、7、6、8、7 之和為36，剩下的數(shù)字為8、8，和為16，又?jǐn)?shù)字1、6 之和為7，所以式子8887687÷9 的余數(shù)是7。又如：823276÷9，劃去數(shù)字3、2、7、6 之和為18，余下數(shù)字8、2 之和為10，又1+0=1，所以823276÷9 的余數(shù)為1。

我們將余數(shù)求出了，現(xiàn)在怎么求商呢？

我們先來研究這樣一個問題：①54÷9=6；②324÷9=36；③63927÷9=7103。

以上三式中，被除數(shù)的個位與商的個位之間有什么關(guān)系？4+6=10，4+6=10，7+3=10，它們之間互補(bǔ)（就是相加等于10）。

我們發(fā)現(xiàn)，任意一個能被9 整除的數(shù)，被除數(shù)的個位與商的個位互補(bǔ)。有了這樣的結(jié)論，我們可以大膽設(shè)想一下，任何一個能被9 整除的數(shù)，可不可以用加減法求其結(jié)果呢？例：365418÷9，因為各位的數(shù)字3、6、5、4、1、8 之和為27，是9 的倍數(shù)，說明365418 能被9 整除。

365418 →被除數(shù)，第一步，因為8+2=10，所以商的個位是2；第二步，8+2=10 進(jìn)位1，十位上1+1=2，2+？=2，只有2+0=2，所以商的十位數(shù)字是0；第三步，被除數(shù)的百位是4，而只有4+6=10，所以商的百位上是6；第四步，4+6=10 進(jìn)位1，被除數(shù)的千位上是5，以百位上進(jìn)位1，有5+1=6，只有6+0=6，所以商的千位上數(shù)字為0；第五步，被除數(shù)的萬位上數(shù)字是6，6 比商的千位上的數(shù)0 大，只有6+4=10 才能有0，所以商的萬位數(shù)字為4。且因為6+4=10，進(jìn)位1，被除數(shù)最高位數(shù)字為3，有3+1=4，只有4+0=4，所以商到萬位4 就終止了，則有365418÷9=40602。

總結(jié)：365418÷9 圖例如下：（每位分為進(jìn)位或不進(jìn)位）

3 6 5 4 1 8……被除數(shù)

4 0 6 0 2……商

商：從個位起，要進(jìn)位，十位不進(jìn)位，百位上要進(jìn)位，千位不進(jìn)位，依次循環(huán)到最高位，且商的十位上數(shù)字為被除數(shù)十位上數(shù)字1 與個位上進(jìn)位1 之和，商的千位數(shù)字為被除數(shù)千位數(shù)字5 與百位上進(jìn)位1 之和……

又例：35642134÷9=？

解析：因為3+5+6+4+2+3+4=27，還余數(shù)字1，所以此式子的余數(shù)是1，那么35642133÷9 的商為多少呢？看圖例：3 5 6 4 2 1 3 3……被除數(shù)

1 1 1

0 3 9 6 0 2 3 7……商（個位上數(shù)字起開始進(jìn)位）

原則：商的個位數(shù)字為被除數(shù)個位數(shù)字的補(bǔ)數(shù)字，商的十位數(shù)字為商的個位上數(shù)字減去被除數(shù)十位數(shù)字與進(jìn)位1 之和，商的百位數(shù)字為商的十位數(shù)字減去被除數(shù)百位數(shù)字，商的千位數(shù)字為商的百位數(shù)字減去除數(shù)千位數(shù)字（從十位數(shù)字起，有進(jìn)位1 要減去1，不進(jìn)位的要減去0）……所以35642134÷9=3960237……1。