分布式RS碼的協作及基于權重分配的聯合譯碼研究

張立康，仰楓帆

(南京航空航天大學 電子信息工程學院，江蘇 南京，211106)

0 引言

在過去的幾年中，許多作者研究了不同的信道編碼在協作通信系統下的性能表現，包括低密度奇偶校驗碼 (Low Density Parity Check，LDPC)[1]，Turbo碼[2]和Polar碼[3]等，但關于協作通信下的RS碼的研究卻很少。里德-所羅門 (Reed Solomon Code，RS)碼是當今無線通信系統中使用最廣泛的編碼方案之一，已經被幾種3G標準采用，包括數字視頻廣播(Digital Video Broadcasting，DVB) 標準[4]以及全球微波接入互操作性 (Worldwide Interoperability for Microwave Access，WiMAX)標準等[5]。

協作分集是最近引入的分集技術，利用中繼節點來改善系統的范圍和可靠性。最常見的協議是解碼轉發 (Decode and Forward，DF)協議和放大轉發(Amplify and Forward，AF)協議 。在DF協議中，中繼首先從源廣播中解碼信號，重新編碼并將其轉發到目標[6]。AF協議中，中繼放大接收到的信號，并將放大后的信號轉發到目的地[7]。將不同的信道編碼方案與所述的中繼協議集成，可以進一步提高協同系統的性能。這些類型的方案，也稱為分布式編碼，顯著提高了協作系統的端到端性能[8]。RS碼，作為一種極大距離可分碼 (Maximum Distance Separable，MDS)，廣泛用于分布式存儲[9]，以求更好地達到冗余和可靠性的權衡點，已經被證實為最好的檢錯編碼[10]。在無線通信的過程中，無限信道的衰落特性與通信質量息息相關，協作技術的提出有效地改善了信道衰落對無線通信質量的影響[11]，但是基于RS碼的協作研究是非常少的。

本文提出了一種新的基于分布式RS碼的權重協作方案，由于不同信道條件對判決結果所帶來的影響不同，利用源節點和中繼節點到目的節點的信道條件的差異性和多進制正交振幅調制(Multiple Quadrature Amplitude Modulation，MQAM)硬判決的特性[12]，在目的節點對兩路信號權重分配后，采用文獻[13]中提出的伯利坎普(Berlekamp) 迭代譯碼算法進行聯合譯碼。通過實驗仿真證明了該方案具有良好的性能增益，同時也從數學理論角度對該算法進行了推導，為該方案提供了理論依據。

1 RS碼的編碼與譯碼

1.1 RS碼編碼

符號取自GF(q)、糾t個錯誤的RS碼，其生成多項式h(x)以α，α2，…，α2t為其全部的根，這是文獻[14]中給出的定義，如式(1)所示：

h(x)=(x-α)(x-α2)…(x-α2t)，

(1)

式中，αi為GF(q)中的元素，0≤i≤2t。RS碼具有如下參數：

分組長度：n=q-1，

(2)

奇偶校驗符號數：n-k=2t，

(3)

維數：k=q-1-2t，

(4)

最小距離：dmin=2t+1。

(5)

從另一個角度來說。RS碼是商環R=Fq[x]/(xn-1) 上的主理想[15]，其中R是主理想環(每個理想環都可以由單個元素生成)。

令u(x)=u0+u1x+…+uk-1xk-1為消息多項式，其中uj∈GF(q)，0≤j≤k-1，編碼過程是一種映射[16]：

ρ:u(x)→v(x)。

(6)

其中，系統級RS碼的編碼過程是：

v(x)=u(x)xn-k-[u(x)xn-kmodh(x)]。

(7)

1.2 Berlekamp譯碼算法

w(x)=w0+w1x+…+wn-1xn-1，

(8)

r(x)=r0+r1x+…+rn-1xn-1，

(9)

e(x)=r(x)-w(x)=e0+e1x+…+en-1xn-1，

(10)

式中，w(x) 為傳輸的碼多項式；r(x) 為接受多項式；e(x) 為錯誤模式[17]。由定義得ei=ri-vi，ei是GF(q)中的符號，假設e(x)在位置xb1，xb2，…，xbv上v個錯誤，其中0≤b1

e(x)=eb1xb1+eb2xb2+…+ebvxbv。

(11)

同時定義矯正子如下：

Mi=e(αi)，1≤i≤2t，α1，α2，…，α2t∈GF(q)。

(12)

對于1≤i≤v，令βi?αbi，μi?ebi。

定義錯誤位置多項式為：

δ(x)=(1-β1x)(1-β2x)…(1-βvx)=

δ0+δ1x+…+δvxv=1+δ1x+…+δvxv。

(13)

譯碼步驟為:

(1) 計算矯正子(M1，M2，…，M2t)。

(2) 確定錯誤位置多項式：

在求解錯誤位置多項式的過程中，設定:

δ(-1)(x)=1，

(14)

δ(0)(x)=1，

(15)

δ(1)(x)=1-M1x。

(16)

需要經過2t次迭代后取得錯誤位置多項式δ(x)=1+δ1x+…+δvxv，其中迭代方程如下：

1≤s≤2t-1，-1≤ρ

(17)

ρ的取值于[-1，s]范圍內使得{ρ-lρ}的值最大的值，其中，ls和lρ為δ(s)(x)和δ(ρ)(x)的多項式的階，ds和dρ的定義如下：

(18)

(19)

經過2t次迭代后，得到δ(x)=1+δ1x+…+δvxv，自此確定了錯誤位置多項式。

(3) 確定錯誤估值函數：

求得δ(x)的根，并求得這些根的倒數集{β1，β2，…，βv}，并定義錯誤估值函數：

(20)

(21)

(22)

整理得：

(23)

2 分布式RS碼中繼協作系統的構造

相對于傳統的點對點或者一點對多點的蜂窩網絡，協作網絡基于復雜的相互作用，所涉及的節點彼此協作，從而改善自己的通信性能[19]。基于中繼節點的協作通信已經成為提高網絡覆蓋、頻譜與功率效率以及減少中斷概率的有效方法[20]。

2.1 信道模型

2.1.1 AWGN信道

加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN) 信道是常見的通信研究信道，噪聲是符合N～(0，σ2)的高斯白噪聲，其條件概率密度函數如式(24)所示：

(24)

對于RS(63，51) 碼，采用的是64-QAM的調制方式，MQAM是一種將多進制數字相位鍵控(Multiple Phase Shift Keying，MPSK) 和多進制幅移鍵控(Multiple Amplitude Shift Keying，MASK) 結合起來的調制技術。可知SNR=Eb/N0+10lg(K/N)+10lg(lb(M))，其中K為信息位長度，N為碼長，M為調制的階數。在信號功率一致時，噪聲功率不同的加性高斯白噪聲概率密度函數的方差不同。

為了方便解釋權重加法的原理，這里基于AWGN信道下的1 bit情況的2PSK調制進行討論信噪比不同所帶來的影響。

(25)

(26)

根據PDF的定義，當收到1 bit信息x時，判決為-1的概率p(-1|x)為：

(27)

判決為1的概率p(1|x)為：

(28)

當σ1=σ2=1時，f(x)，g(x)及p(1|x)的函數圖如圖1所示。

圖1 f(x)，g(x) 和 p(1|x) 的數學函數圖Fig.1 Mathematical function diagram for f(x)，g(x) and p(1|x)

圖1的橫坐標為自變量x的取值范圍，縱坐標為對應函數的值。當σ1=σ2=1時，1 bit信息x加噪前為1的概率滿足圖1中的函數p(1|x)，在x=0時，加噪前為1和-1的概率都為0.5。在x>0后，加噪前為1的概率大于0.5，并逐漸趨近于1。當σ1=1，σ2=0.8時，p(1|x)的函數圖如圖2所示，圖2的橫坐標為變量x的取值范圍，縱坐標為條件概率函數p(1|x) 的取值。

圖2 條件概率函數 p(1|x) 的數學函數圖Fig.2 Mathematical function graph of conditional probability function p(1|x)

由圖2可知，在x=0時，函數的值為0.485 5，此時加噪前為1的概率小于加噪前為-1的概率，這是由于方差不同所帶來的對置信率(即判決結果的可靠性)的影響。

對于協作方案，做一個假設，設從源節點發送來的1 bit信息為x1=a+n1，從中繼節點發送來的1 bit信息為x2=a+n2。假設中繼節點到目的節點的信道的SNR要比源節點到目的節點的信道的SNR大2 dB，即：

SNR(r，d)=SNR(s，d)+2。

(29)

即噪聲n1的概率分布函數的方差比噪聲n2的概率分布函數的方差要大，因此在這種條件下，從概率分布的角度上說，x1的置信率要比x2稍大。令權重加法系數c=0.6。因此，將判決前的信號表示為x=a+0.4n1+0.6n2。并且基于條件，從置信率角度來說，p(n1>n2)>p(n1

假設a=1：① 當n1和n2同為正號時，將x判決為1的置信率較高，此時判決正確。② 當n1和n2同為負號時，進行加權后，在Eb/N0較大的情況下，x<0的概率極低。因此，即使出現了n1和n2其中一個小于-1的情況，在和另一個加權后，會削弱較強噪聲帶來的影響，加權后x的值也會有一定的概率大于0。③ 當n1和n2異號時，同時有p(n1>n2)>p(n1

當a=-1時，與a=1的情況是對稱的，因此不在此討論。對于以上3種情況的討論，在|n1|和|n2|不變的情況下，對判決影響最大的是情況②。不難得出，在n1和n2都不為0時，發生n1和n2同為負號的概率為1/4。

2.1.2 衰落信道

衰落是指信號強度隨時間的變化，由于接收信號是通過天線接收從遠端的發射機發出的，所以變化是在發送方與接收方之間的通信信道中產生的。在接收信號含有直達分量時，信號幅度衰落呈現萊斯分布，反之，信道幅度衰落服從瑞利分布[21]。其概率密度函數為：

(30)

本文主要研究的是瑞利信道，信道模型如圖3所示。

圖3 瑞利信道模型Fig.3 Rayleigh channel model

圖3中，xk，yk分別為信道輸入及輸出信號；nk為服從N(0，σ2)的信道高斯白噪聲；rk為信道衰落系數，與時間具有相關性，因此該信道模型可表示為：

yk=rkxk+nk。

(31)

(32)

衰落通常分為快衰落和慢衰落2種：

(1) 快衰落

幅度變化隨著頻率變化很快，快衰落起因于多路徑引起的相消干涉，多普勒擴展導致頻率擴散和時間選擇性衰落[22]。

(2) 慢衰落

它不會隨著頻率變化很快。它的產生受機動性的影響，是由陰影和障礙物(如樹木或建筑物等)引起的信號路徑變化的結果[23]。

2.2 系統模型

系統模型采用方案如圖4所示。

圖4 RS碼的中繼協作方案圖Fig.4 RS code relay cooperation scheme

2.2.1 分布式RS碼編碼

1.1小節中論述了RS碼的編碼，對于源節點，φ(x)要編碼的信息，其中生成多項式如式(1)所示。信息進行編碼后得到碼字c(x)，將c(x)分別發送給中繼節點和目的節點。在中繼節點接收到來自源節點的信號解調判決后得到碼多項式c′(x)，使用Berlekamp譯碼后得到消息多項式φ′(x)，并將譯碼后的信息重新編碼得到碼字多項式c″(x) ，調制后發送至目的節點。

例1：設α為GF(26)的本原元，該域是使用如下的本原多項式進行構造：

q(x)=1+x+x6。

(33)

考慮碼長為63個符號，信息長度為51個符號，最小距離為13的RS(63，51)碼，符號取自GF(26)。其生成多項式有6個連續根，依次為α，α2，α3，α4，α5，α6，所以生成多項式為：

h(x)=(x+α)(x+α2)(x+α3)(x+α4)

(x+α5)(x+α6)。

(34)

1.1小節中論述了RS碼的編碼原理，使用式(34)中的生成多項式即可編碼。

① 首先將消息比特ω1映射為GF(26) 中的符號，映射后得到消息多項式φ(x)=φ0+φ1x+φ2x2+…+φ50x50，通過RS(63，51)編碼器編碼后得到碼多項式c(x)=c0+c1x+c2x2+…+c61x61+c62x62，然后經過64-QAM調制后，發送至目的節點和中繼節點。

2.2.2 聯合譯碼算法

目的節點接收到來自源節點的幅值多項式θ(x)和來自于中繼節點的幅值多項式μ(x)之后，對2個多項式相同的位進行帶權值的加法運算，得到幅值多項式r(x)。將r(x)送入判決器之后得到碼字多項式s(x)，對s(x)進行聯合譯碼后得到消息多項式φ″(x)。

例2：目的節點接收到來自源節點的幅值多項式θ(x)=θ0+θ1X+θ2X2+…+θ61X61+θ62X62，θi為復數，0≤i≤62。收到來自中繼節點[17]的幅值多項式μ(x)=μ0+μ1x+μ2x2+…+μ61x61+μ62x62，μj也為復數，0≤j≤62。對每一符號位的值進行帶有權值(Coefficient)的加法。

為了方便說明，在64-QAM中取點a和點b。其中點a=0.304 1-3.445 4i，b=0.682 6-2.867 3i，c=0.4a+0.6b。a，b，c在星座圖中的位置如圖5所示，圖中橫坐標為同相振幅，縱坐標為正交振幅。

圖5 64-QAM星座圖中的權重分配示例Fig.5 Example of weight assignment in a 64-QAM constellation diagram

假設r(x)為相加后的幅值信號，設權重系數為0.6，則r(x)的值如式(35)所示：

r(x)=(0.6μ0+0.4θ0)+(0.6μ1+0.4θ1)x+…+

(0.6μ61+0.4θ61)x61+(0.6μ62+0.4θ62)x62=

r0+r1x+r2x2+…+r62x62。

(35)

3 仿真結果與分析

在仿真中，假設從源節點到中繼節點之間的SNR=∞，僅考慮從中繼節點到目的節點之間的差異性影響。

之前介紹了RS(63，51) 碼的編碼，為探究在不同信道條件下，權值加法系數對碼性能的影響，加入RS(255，239) 碼進行參照對比。

設β為GF(28)的本原元，該域使用如下的本原多項式進行構造：

p(x)=1+x2+x3+x4+x8。

(36)

考慮碼長為255個符號，信息長度為239個符號，最小距離為17的RS(255，239)碼，所有符號取自GF(28)。其生成多項式有8個連續根，依次為β，β2，β3，β4，β5，β6，β7，β8，所以生成多項式為:

h(x)=(x+β)(x+β2)(x+β3)(x+β4)(x+β5)

(x+β6)(x+β7)(x+β8)。

(37)

1.1小節中論述了RS碼的編碼原理，使用式(37)中的生成多項式即可編碼。

其中第一組為RS(63，51) 碼和RS(255，239) 碼在AWGN信道下的仿真結果，由圖6可知，在源節點到中繼節點信道完美，且在SNR(r，d)=SNR(s，d)+2 時，對于碼RS(63，51)，最佳權值系數(Coefficient)c=0.6(注：這里的量化單位精度到小數點后1位，即量化間隔最低0.1，經實驗證實，0.01的單位精度下，系數之間的性能差異性不是很大。所以通過沿著(Eb/N0)從小往大并從大往小兩側逼近的方式，找到精度為0.1的最佳系數)。誤碼率在10-6時，相比于非協作通信，c= 0.6的方案大約有4 dBs的增益。

圖6 采用權重協作方案的分布式RS(63，51)通過AWGN信道的BER性能曲線，編碼率r=51/126 Fig.6 BER performance curve of distributed RS (63，51) using weight cooperation scheme over AWGN channel，coding rate r=51/126

考慮碼RS(255，239) 在AWGN信道下的協作表現，圖7采用和圖6中一樣信道條件進行仿真對比，顯而易見，c=0.6 依舊是在SNR(r，d)=SNR(s，d)+2信道條件下的最佳系數。可知，在AWGN信道下，權值分配方案在協作通信中具有較好的性能表現。

圖7 采用權重協作方案的分布式RS(255，239)通過AWGN信道的BER性能曲線，編碼率r=51/126 Fig.7 BER performance curve of distributed RS (255，239) using weight cooperation scheme over AWGN channel，coding rate r=51/126

圖8是在快衰落信道下的表現。在SNR(r，d)=SNR(s，d)+2 的信道條件下，在25 dB之后，各協作方案的BER曲線都有了大幅下降。系數c=0.6的協作方案的誤碼率是要略低于c=0.7的協作方案，是性能最優的方案，且性能差異較為明顯。系數c=0.6的協作方案，相對于非協作方案來說，誤碼率在10-6時，大約有5 dBs的性能增益。

圖8 采用權重協作方案的分布式RS(255，239)通過快衰落信道的BER性能表現，編碼率r=239/510Fig.8 BER performance of distributed RS (255，239) using weight cooperation scheme over fast fading channel，coding rate r=239/510

4 結束語

提出了分布式RS碼的中繼協作系統和基于權重分配的譯碼算法，研究了2種信道條件下的性能表現。對于RS(63，51)和RS(255，239)來說，該方案帶來的性能增益顯著，不過在特定情況下，不同協作系數的性能差異不明顯。除了文中提到的情況外的系數選擇，需要通過實驗中逐漸逼近的方式得到。該方案加入MIMO之后的性能增益和不同MIMO帶來的性能差異，是之后的研究方向。