彈性約束的功能梯度曲梁等幾何振動分析

陳明飛 靳國永 張艷濤 劉志剛

摘要：基于一階剪切變形理論并采用等幾何有限元方法對任意曲率的功能梯度曲梁進行自由振動分析。假設曲梁的材料屬性在厚度方向上為均勻分布，但是在跨度方向上是呈功能梯度變化。利用等幾何中的基函數對曲梁幾何形狀和位移分量進行描述，可以實現任意曲率半徑的曲梁動力學特性分析。采用人工彈簧模擬曲梁邊界，可以實現任意邊界約束。在數值算例中，驗證了該方法的收斂性和精確性，并給出新的數值結果和重要參數分析。

關鍵詞：結構振動;等幾何分析;功能梯度;曲梁;一階剪切變形理論

中圖分類號：0327文獻標志碼：A 文章編號：i004-4523（2020）05-0930-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.05.008

引言

功能梯度結構是一種材料屬性在指定方向上呈連續功能梯度變化的優質復合結構，由于其具有高剛度、耐高溫和無脫層等優點而廣泛應用于航空航天、交通運輸、醫療設備等。功能梯度曲梁的振動特性一直是振動噪聲控制領域的熱門課題。工程中常用于求解功能梯度曲梁靜力學和動力學特性的數值方法有傳統有限元法、傅里葉法、微分求積法等。Piovan等利用有限元法計算了曲梁的動力學特性和屈曲特性。Su等利用傅里葉級數法分析了功能梯度壓電曲梁的自由振動和瞬態響應。Jin等還利用譜一空問陪面法研究了功能梯度可變曲率曲梁的振動特性。Malekzadeh等利用微分求積法計算功能梯度曲梁在熱環境下的振動特性。然而，大部分的數值方法不利于復雜結構建模和分析處理。如傳統有限元方法在分析曲梁力學特性時很難保證結構幾何的精確性和高階函數連續等問題。等幾何方法是一種能夠實現CAD與CAE的無縫連接，并具有高精確性的數值方法。由于該方法具有高精度，高收斂，網格細化方便與高階函數連續性等優點而被廣泛應用于求解各種復合結構的靜力學和動力學行為。Yu等用該方法分析了功能梯度板的非線性振動特性、帶孔層合板、功能梯度板的線性振動特性。Chen等利用該方法計算了功能梯度三維直梁_1引、各向異性四邊形板和功能梯度曲殼的自由振動。Xue等利用該方法并結合限制板理論分析了功能梯度板的振動特性。Luu等利用等幾何方法研究了功能梯度曲梁的振動特性和層合曲梁的振動特性。Hos-seini等利用等幾何方法研究了曲梁的非線性力學特性。Zhang等利用等幾何方法進行了三維曲梁的靜力學分析。然而，關于功能梯度曲梁的大部分文獻只考慮了厚度方向上的功能梯度變化和經典邊界約束，對彈性約束下跨度方向上呈功能梯度曲梁的研究較少。本文基于一階剪切變形曲梁理論，并結合等幾何有限元方法分析任意曲率的功能梯度曲梁自由振動特性，同時考慮了跨度方向上的功能梯度與彈性邊界條件對頻率參數的影響。通過數值結果驗證該方法的收斂性和精確性。

1功能梯度曲梁

1.1曲梁幾何建模

本文研究的功能梯度曲梁如圖1所示，其材料屬性沿跨度方向（圖中z方向）呈功能梯度變化。L，6和h分別為曲梁的長、寬和高。笛卡爾坐標（z，z）和曲線坐標（a，β）的選擇如圖1所示。Ls為曲梁在跨度方向上的長度，甜和叫為曲梁在a方向和β方向上的位移分量，θ為曲梁的中面法線關于a方向的轉角。曲率半徑R（a）是關于a的函數。

3.3參數影響

表5給出了Al/Al2O3功能梯度圓弧曲梁的前4階無量綱固有頻率，在該表中，曲梁左端點材料為鋁（A），右端點材料為三氧化二鋁（Al2o3），并按功能梯度指數kin=1復合而成，材料屬性如表1所示。幾何參數設置如下：R=1m，h/R=0.1，θ=π/3。圖3給出了表5中C-C，C-S，S-S邊界下所對應的模態圖。從圖3和表5可以看出，邊界約束能引起固有頻率和模態振型的變化，邊界約束越強，結構的固有頻率就會越高。然而邊界C-S，S-S下的第1階和邊界C-C，C-S，S-S邊界下的第4階頻率和模態振型變化較小。在該結構尺寸下，曲梁左端轉角約束對第1階振動特性影響較小，曲梁右端轉角約束對第4階振動特性影響較小。相比于各向均勻材料或者在厚度方向上呈功能梯度變化的曲梁模態圖，可以看出在C_c邊界下跨度方向功能梯度曲梁的模態圖在跨度方向的模態不是對稱的。這是因為跨度上的功能梯度材料導致梁的局部剛度和密度不同。圖5給出了不同邊界下功能梯度指數kin對曲梁的前4階無量綱固有頻率的影響。在該分析中材料參數與曲梁的幾何參數同表5中的一樣。由圖5可以看出，在該種功能梯度材料屬性下，功能梯度指數的增加能夠導致結構的無量綱固有頻率降低。當功能梯度指數為0時，該曲梁可認為只含有三氧化二鋁材料，其系統的無量綱固有頻率最大。當功能梯度指數增加時，鋁在總材料中的比例增加，系統的固有頻率降低。改變曲梁某一端點轉角約束，部分階次振動頻率變化曲線幾乎不變，由前文可知該端點邊界轉角約束對振型的影響較小。

圖6給出了C-C邊界下不同材料屬性功能梯度指數kin對曲梁的前4階無量綱固有頻率的影響。在該分析中，曲梁的左端點金屬材料為Al，右端點陶瓷材料分別為ZrO2-2，ZrO2-3和ZrO2-4，其材料屬性如表1所示。曲梁的幾何參數與圖5中的一樣。通過圖6可以看出，隨指數kin的增加，材料ZrO2-4所對應的無量綱頻率先急劇降低然后趨于平緩，而材料ZrO2-2和ZrO2-3所對應的無量綱頻率先降低然后緩慢升高或趨于平緩。因此，梯度指數kin對曲梁的無量綱頻率的影響還與曲梁兩端的材料屬性有關。

4結論

本文針對彈性邊界下的任意曲率半徑的功能梯度曲梁進行幾何建模和振動特性分析。該曲梁的材料屬性沿曲梁的跨度方向上呈功能梯度變化。利用非均勻有理B樣條NURBS對任意曲率的曲梁進行幾何建模。通過人工彈簧實現任意邊界約束。通過數值算例總結出以下幾點：本文方法擁有快速收斂性和優良的精確性;基函數的階數越高，計算的結果收斂速度越快;曲梁的厚度增加能導致曲梁的無量綱固有頻率降低;功能梯度指數的增加能導致復合材料屬性中楊氏模量和密度變化，然而固有頻率隨功能梯度指數的變化還與復合材料中的材料參數有關;固支邊界下同階次固有頻率比其他邊界下高;邊界彈簧約束只在一定區域內對固有頻率有明顯影響。