結構主義是一種有效的數學哲學嗎？

楊睿之

1 引言

上世紀八九十年代以來，隨著夏皮羅（S.Shapiro）、赫爾曼（G.Hellman）以及帕森斯（C.Parsons）等人的推動，數學哲學的結構主義（Structuralism）一直是數學哲學公開發表中的熱門議題。然而，本文試圖質疑，數學結構主義以及圍繞它的熱烈辯論是否如之前的數學哲學議題那樣深刻地影響了數學的發展，或者實實在在地促成了許多數學成果的發現。

數學結構主義起源于對集合論基礎主義（set-theoretic foundationalist position）的批評。以一階邏輯為代表的現代謂詞邏輯起源于弗雷格（G.Frege）為數學尋找基礎的努力。而策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論（Zermelo-Fraenkel set theory），在某種意義上，起源于弗雷格邏輯主義的災難——羅素悖論。自那以后，公理化集合論被廣泛接受為數學的基礎。人們是在下述意義上稱公理化集合論是數學的基礎的。首先，幾乎所有的數學概念都可以在集合論語言1只含有等詞和一個用來表達屬于關系的二元謂詞符號{∈}的一階語言。中被定義。在這些定義之下，幾乎所有的數學定理都可以被看作是集合論公理系統ZFC 的內定理，并且涉及的數學對象都被定義成一個個集合。例如，自然數被定義為有窮馮·諾依曼序數（von Neumann ordinal）：?,{?},{?,{?}},...。由此，關于數學對象的本體論問題至少在字面上可以歸約為關于集合的本體論問題。而正是后者引起了貝納賽拉夫（P.Benecerraf）等數學哲學家的不滿。

在[2] 中，貝納賽拉夫提出數學對象的認定難題（Benacerraf’s identification problem），其主要論據就是自然數結構N=(N,≤,+,·)在集合論中可以被定義為不同的集合，但彼此作為結構是同構的。傳統上，集合論學家往往采用有窮馮·諾依曼序數作為自然數結構的論域。但人們還可以在集合論宇宙中找到任意多與N同構卻有不同論域的結構，例如策梅洛序數（Zermelo ordinal）：?,{?},{{?}},...。由此，貝納賽拉夫認為這是數學柏拉圖主義，尤其是集合論基礎主義者的一個根本性難題：數學對象無法在本體論意義上被認定為特定的集合。爭對這一難題，貝納賽拉夫提出的建議是，自然數這樣的數學對象不應該被認定為集合，甚至根本就不是一個對象。相對地，他認為對數學來說真正重要的是所謂的抽象結構（abstract structure），以有窮馮·諾依曼序數或策梅洛序數為論域的自然數結構都是展現（exhibit）那個自然數抽象結構的具體結構。貝納賽拉夫在該文中沒有進一步討論抽象結構的本體論問題，但確實明確指出他的觀點不應該劃入形式主義。這與后來結構主義內部非可取消論與可取消論的爭論形成呼應。我們將在第3 節中進一步討論。

應該說，貝納賽拉夫關于特定的自然數不應該被作為對象等同于特定的集合這一觀點本身是沒什么爭議的。早期邏輯學家逐漸接受馮·諾依曼序數作為自然數更多是基于準確、方便等實用上的考慮。弗雷格在《算術基礎》中將自然數0定義為所有與“不等于自身”這個概念等數的概念組成的類，而自然數1 是所有與“等于0”這個概念等數的概念組成的類。弗雷格的這個定義可能在本體論上是有嚴肅的考慮的。從現代集合論的觀點來看，弗雷格定義的自然數作為集合過于龐大以至于其存在性會導致矛盾。現代集合論在處理過大的等價類時往往會采取被稱作斯科特技巧（Scott’s trick）的方法，取等價類中在馮·諾依曼層譜（von Neumann hierarchy）下最低層的代表組成的集合來代替整個等價類。這是一個純技術的操作。應該沒有集合論學家會嚴肅地認為等價類的這一替代會有什么特別的本體論意義。人們對于馮·諾依曼序數的偏好在一定程度上也是基于類似的考慮。除此以外，還有可以直接將集合論初始符號∈來表示自然數上的小于關系以及更便于推廣到超窮等方面的考量。因此，即使持柏拉圖主義的集合論學家也未必真的認為自然數1 作為實體就是且只能是集合{0}。

事實上，作為數學哲學柏拉圖主義者的代表的哥德爾（K.G?del）心目中客觀存在的抽象實體是“概念”等。然而，人們關于“概念”這樣的抽象實體的認識是相當有限的。集合論可以看作是試圖描繪概念世界的某些面向的一些努力。例如，集合論只關心概念的外延。哥德爾哲學的一個核心就是其對于概念理論的若干設想（參見[24]）。顯然，哥德爾不是貝納賽拉夫所描繪的那種平凡的集合論基礎主義者。哥德爾這類關注基礎問題的邏輯學家偏好集合論的理由可能是，集合論提供了比較嚴格又足夠豐富的表達能力，能夠讓人們在一個寬廣的視野下討論看似跨領域的數學概念之間的關系，并產生對數學哲學討論有影響的數學結果。例如，哥德爾與科恩（P.Cohen）關于連續統假設獨立性的證明就是在集合論框架下給出的。哥德爾與科恩關于這個結果的哲學意義的不同解讀成為區分當代數學柏拉圖主義與形式主義的測試標準。

總之，結構主義者所想象的他們哲學立場上的對手似乎并不確切地存在。或者說，數學結構主義在哲學上似乎是一種無關痛癢的立場。這個觀點或許還有待商榷。而本文所關心的是，數學結構主義作為一個具有相當影響力的數學哲學思潮在數學上是否也是一種基本無效的立場。

筆者在[19]中曾提出一種實用主義的數學哲學觀，即通過衡量一種數學哲學立場對數學實踐的影響（正面、負面或者有多正面）來評價其優劣。而本文所涉及的是一種更低的評價標準：一個數學哲學立場對數學實踐是否有影響。更確切地，我們可以將各種數學哲學立場劃分為數學有效的哲學（mathematically effective philosophy）以及數學中性的哲學（mathematically neutral philosophy）。在第2 節中，我們將探討一些主要的數學哲學立場何以是數學有效的。在第3 節中，我們試圖通過經驗研究說明結構主義何以不是數學有效的哲學立場。最后，筆者將結合集合論多元主義有關的數學結果向結構主義發起挑戰，試圖使結構主義陷入兩難：要么是錯的，要么進一步被驗證為是數學中性的。

2 數學有效的數學哲學

本節中，筆者將簡單回顧自弗雷格邏輯主義以來一些主要的數學哲學立場如何與數學實踐產生真實的互動，以展示它們何以至少是數學有效的數學哲學。

2.1 面向數學工作者的真實困惑

黑格爾（G.W.F.Hegel）曾以“密涅瓦的貓頭鷹只在黃昏的時候起飛”為哲學的遲到辯護。而今，哲學的聲譽甚至遠不及它在黑格爾的時代。今天的哲學逐漸淪為一個個學術團體內部的智力游戲，不僅無法為現實問題提供參考意見（這或許是可辯護的），甚至發展出成套的技巧和說辭來回避人們的問題。筆者希望接下來的討論能夠讓讀者認同數學哲學自十九世紀末以來的許多工作至少在試圖回應數學工作者真實的困惑。

現代邏輯起源于弗雷格為數學尋找基礎的努力。為數學尋找基礎的需求來源于無窮與極限在數學中的廣泛應用以及由此帶來的對嚴格性的懷疑和更高的要求。許多數學結果可以被運用于工程、科學和其他場合，它們的成功運用反過來為這些數學結果提供了經驗證據，甚至讓數學獲得了嚴格和普遍有效的聲譽。但當數學更多地踏入無窮的領域，遠離了來自經驗世界的評價標準，數學工作者會面對來自兩方面的困惑。一是，（這部分）數學工作的意義，即這些數學證明和結果意味著什么，它們是人類對未知世界探索的發現，抑或只是人類自己劃定規則的游戲。二是，這些數學工作是否是可靠的。如果數學是發現，那么它的成果是否是可信的；如果數學是游戲，那么這個游戲規則本身是否是有漏洞的。這些疑問可能針對全部數學或者一部分數學工作，對這些問題的看法會直接影響數學工作者或潛在的數學工作者對智力資源的分配。

弗雷格的工作直接針對這兩方面的困惑。首先，弗雷格希望能夠將所有數學工作建立在嚴格的邏輯的基礎之上。2主要指弗雷格在《概念文字》（Begriffsschrift）、《算術基礎》（Die Grundlagen der Arithmetik）以及《算術基本原理》（Grundgesetze der Arithmetik）等著作中的工作。我們不再把這類眾所周知的經典文獻列為引文。為此，弗雷格發明了謂詞邏輯。今天，我們知道弗雷格試圖作為數學基礎的邏輯公理超出了狹義的一階謂詞邏輯，實質上是與集合論具有類似功能的一個二階邏輯。這部分工作，如果成功了，至少向人們提供了一個統一的、原則性的方法來判斷一個數學證明何以是成立的，滿足了數學工作者關于嚴格性的基本需求。其次，弗雷格通過《論意義與指稱》（über Sinn und Bedeutung）等哲學工作將邏輯公理和數學命題與抽象世界的真聯系起來，從而完成對第一個困惑的回應。

弗雷格的邏輯主義計劃自始就面對挑戰與反對。龐加萊（J.H.Poincaré）是弗雷格同時代較有影響的反對者。作為一名數學家與哲學愛好者，龐加萊的哲學論述雖然顯得難以把握，卻更直接地源于數學實踐中的思考。他反對弗雷格將數學基礎歸為邏輯。明顯受到康德的影響，龐加萊認為數學直覺為數學提供了認識論上的先天基礎。龐加萊在幾何學上采取了一種約定論（conventionalism）的立場，這明顯是應對非歐幾何帶來的沖擊。也因此，龐加萊關于數學直覺的理解相對康德有所調整。后者認為數學真的先天性來源于時間直覺和空間直覺。布勞威爾（L.E.J.Brouwer）的直覺主義和羅素（B.Russell）類型論中體現的直謂主義（predicativism）某種意義上都是對龐加萊想法的澄清與修正。

一般認為，羅素悖論（Russell’s paradox）的發現標志著弗雷格的失敗，盡管它對弗雷格邏輯主義立場來說并不是根本的挑戰。（[22]）但悖論的出現及其揭示的潛在危險迫使數學工作者不得不更多地關注基礎問題。3這在一定程度上可以解釋為什么包括邏輯學在內的數學基礎工作在二十世紀前期在整個數學工作的版圖中相比其他時期更引人注目。而數理邏輯在今天的式微或許是公理化集合論作為數學基礎成功的表現。另一方面，一些曾經被認為是純數學的工作會受到更嚴格地基礎審查，甚至迫使作者給出基于哲學的辯護。例如，策梅洛關于選擇公理的辯護。參見[21]。以希爾伯特（D.Hilbert）為代表的形式主義在很大程度上正是回應了這些關切。面對哲學的追問，數學工作者可以選擇退守形式主義的避難所，宣稱懸置一切本體論和認識論問題，數學工作只是在給定規則下的游戲。然而，數學工作者仍然不得不面對這些問題：數學的游戲規則到底是什么，這些規則是否可玩的。更準確地說，數學工作到底基于怎樣一個形式化的公理系統，以及這個公理系統是否是一致的。因為，如果數學所基于的公理系統是不一致的話，那么所有數學工作都是平凡的了。基于這些幾乎無法回避的最低需求，希爾伯特綱領（Hilbert’s program）被提出。它要求：1.找到一個公理系統（包括形式語言與可判定的公理）；2.證明這個公理系統對數學是完全的，即任何數學命題都可以在這個公理系統中被證明或證否；3.證明這個公理系統是一致的。而這些證明都應該在希爾伯特所謂的有窮數學（finitary mathematics）中得到。

哥德爾的兩個不完全性定理，在其廣泛被接受的解釋下，幾乎宣判了希爾伯特綱領注定失敗。即，任何滿足作為數學基礎候選的基本要求的公理系統既不能是完全的，也無法證明自己的一致性。在哥德爾定理之后，仍然有努力試圖局部地推進希爾伯特綱領。例如，根岑（G.K.E.Gentzen）對皮亞諾算術的一致性證明。其證明使用到超窮序數ε0下的歸納原理。還有哥德爾本人基于一種“擴張了有窮主義限制的系統”T 的皮亞諾算術的相對一致性證明。4關于根岑結果及其哲學辯護可以參考[17]，關于哥德爾的工作可以參考[25]。關于這些工作是否可以被認為是希爾伯特綱領部分實現的爭議揭示了希爾伯特形式主義在哲學上的主要缺陷：它試圖避免談論數學真，卻訴諸一種特殊的有窮數學來證明數學公理的一致性為真。由此，希爾伯特形式主義將數學分成了承載特殊哲學承諾的一部分，和只作形式主義理解的其他部分。形式主義者必須對這個劃分做出說明。

形式主義的這一困難對柏拉圖主義者來說是不存在的。弗雷格與希爾伯特（盡管二者都試圖為全部經典數學辯護）的分歧在于，弗雷格作為實在論者認為數學命題關于抽象世界的敘述是否為真才是關鍵的，一組真命題自然是一致的。哥德爾的柏拉圖主義與弗雷格在精神上是一致的，卻面對來自數學的不同的挑戰——獨立性現象。哥德爾證明諸如ZFC 這樣的公理系統如果是一致的，那么是不完全的。進一步，哥德爾與科恩的結果表明存在自然的數學命題（如連續統假設），它們無法被ZFC 等集合論公理系統證明或證否。這是關于業已被數學工作者接受的數學基礎——集合論公理系統的一個結果，它召喚著一個哲學的說明。圍繞連續統假設的獨立性結果，其發現者哥德爾與科恩的觀點就區分為柏拉圖主義與基于公理集合論的形式主義。前者認為獨立性結果無非揭示了以現有公理系統為代表的人們關于數學世界的認識是不完全的，因此需要并且可以更進一步地理解數學世界，其表現就是為數學尋找到新的公理來判定獨立于現有公理系統的命題。而科恩認為，相對ZFC 的獨立性結果就是連續統假設等問題的最終解決。其前提是，全部的數學就是在ZFC 下做證明。

隨著科恩發明的技巧的廣泛應用，現代集合論產生了大量獨立性命題。集合論學家傾向于把這些結果表述為，這些獨立命題分別在不同的集合論宇宙中成立。隨著積累，人們在各種集合論宇宙中工作的這些經驗愈來愈強健，這對柏拉圖主義者帶來了新的挑戰。后者認為存在客觀的集合論宇宙，而公理集合論就是對那個客觀世界（尚不完全）的描述。因此，任何集合論命題終有一個真假。人們的經驗與這種又被稱作集合論單一宇宙觀（Universe view）的柏拉圖主義立場似乎形成了一定的沖突。集合論的多宇宙觀正是應這種困惑而產生的新的哲學立場。（[26]）

以上，我們簡單回顧了邏輯主義、直覺主義、形式主義、柏拉圖主義與新進的集合論多宇宙觀等數學哲學思想如何起源于數學研究中實際產生的困惑。

2.2 數學哲學觀點產生的數學后果

筆者在[19] 中結合若干案例討論了數學哲學觀點影響數學實踐的幾種途徑。包括基于哲學立場提出的數學研究綱領，如哥德爾綱領；從哲學立場出發做出的數學猜想并導致最后的數學發現，如基于實在論立場尋找利用大基數公理證明投影實數集（projective set）的正則性質；以及哲學立場對一些數學研究造成的障礙，如羅素的構造主義傾向使之沒有進一步推廣他的分支類型論到超窮階，而后者正是哥德爾后來定義的可構成集。本節中，筆者僅就[19]中的論述做些補充。

與多數數學柏拉圖主義者或形式主義者試圖捍衛數學工作者現有的做法或捍衛“數學自治”不同，一些數學哲學立場試圖宣稱某些數學工作是合法的，而另一些是不合法的，從而試圖改造或規范數學工作的樣態。它們被稱作數學的修正主義（revisionism）。直覺主義是其中的代表。龐加萊基于其哲學上的考量，反對康托的實無窮理論，反對非直謂的定義。布勞威爾基于直覺主義的立場反對排中律以及基于排中律的反證法不加限制的使用。盡管在事后看來，修正主義沒能廣泛地影響數學工作者的工作方式，但這些哲學立場無疑是試圖實際影響數學研究的。直覺主義以及更廣泛的構造主義的繼承者們，如海廷（A.Heyting）、特魯爾斯特拉（A.S.Troelstra）等人的一項重要工作就是將直覺主義等哲學立場所認可的數學以公理化或其他形式化的方式嚴格地刻畫出來。在此基礎之上，人們可以嚴格地驗證哪些經典數學的工作是可以在諸如直覺主義數學中被接受的，哪些必須被放棄。例如，源于自然主義立場的有窮主義者試圖論證，在經驗科學中用到的涉及無窮的數學都可以在有窮主義數學中找到相應的結果。（[20]）當代遞歸論的一個方向，反推數學（reverse mathematics）在一定意義上就是這類工作的延續，至今已經產生了豐富的結果。許多命題間細致的差別在一個更強的公理系統（如ZF）下是無法看到的，它們在這些公理系統下是可證等價的。而在一個較弱的系統中，人們就可以清楚地看到它們之間的強弱關系。因此，包括直覺主義在內的各種構造主義在以下兩個意義上都是有數學后果的：(1)這些哲學立場蘊含了對數學工作方式的限制；(2)這些哲學主張試圖引用數學結果澄清其立場或為自身辯護，并由此催生了一類數學研究，產生了豐富的數學成果。

2.3 測試問題

判斷一種數學哲學立場是否是數學有效的一個充分的標準是，它能否提出相應的測試問題（test problem）。此外，能否提出測試問題也是一個哲學上的想法是否成熟的標志之一。所謂測試問題是一個或一組具體的（在提出時的）數學開問題，這些問題可能的答案指向對目標哲學觀點的佐證、證否或其反面的佐證、證否。

例如，希爾伯特為貫徹其形式主義的立場提出的希爾伯特綱領。希爾伯特綱領本身可以被看作是一組相對明確的數學問題。它要求給出一個形式化的公理系統，希望這是一個完全的公理系統，即任何數學命題要么可以該系統中被證明，要么可以被證否；更關鍵的是要證明該系統是一致的，并且一致性證明只能在有窮數學中給出。客觀地說，希爾伯特綱領作為測試問題仍然留有些許不精確的地方。它要求完全性卻無法明確全部數學的范圍，它要求一致性證明在有窮數學中被給出，但也沒有明確有窮數學的定義。后來的故事前文已提及，哥德爾的兩個不完全性定理在很強的意義上宣告了希爾伯特綱領是不可能實現的。任何擴張了基本算術能力的形式化公理系統如果是一致的，就不是完全的，（并且如果能表示基本的邏輯句法事實）也無法證明自己的一致性。因此，在一般的理解下，無論是要求涵蓋所有數學（至少得包括基本的一階算術）還是要求基于有窮數學（至少帶完整一階算術歸納的皮亞諾算術很難被認可是有窮數學）的一致性證明都難以實現。盡管希爾伯特綱領的模糊之處使得希爾伯特式的形式主義在哥德爾定理之后仍有一定的生存空間，但哥德爾不完全性定理作為純數學的結果幾乎終結了希爾伯特綱領，這一事實至少說明希爾伯特形式主義提出了有效的測試問題。

類似的贊許也可以被給與弗雷格的邏輯主義。邏輯主義要求為經典數學提供邏輯的基礎。類似希爾伯特綱領，邏輯主義關于邏輯的或分析的界定尚未達到我們對一個數學概念的嚴格性標準。我們也提到羅素悖論的發現是對弗雷格邏輯主義的重要打擊，而后續包括公理化集合論在內的數理邏輯的發展使得邏輯主義逐漸被冷落。羅素悖論讓人們意識到弗雷格的所謂邏輯基礎也是需要被懷疑的，后續的數理邏輯發展，讓人們能夠清晰地區分狹義的（一階）邏輯公理與算術公理、類型論或集合論公理。邏輯主義的主要挑戰變成為如何論證，例如部分集合論公理也應被納入邏輯或分析真的范疇。無論弗雷格的邏輯主義的最終命運如何，其興衰明顯受具體數學工作的影響，這一事實說明弗雷格的邏輯主義至少是足夠成熟且數學有效的數學哲學立場。

關于測試問題更晚近的例子來自于武丁（W.H.Woodin）的終極L（UltimateL）計劃。武丁繼承哥德爾綱領，希望為數學尋找新的公理以判定連續統假設等獨立于已有集合論公理系統的數學命題。終極L計劃也是試圖為大基數公理提供辯護的內模型計劃的終極版本。武丁發現，一旦構造出兼容超緊基數（supercompact cardinal）的內模型，那么所有已知通過初等嵌入構造的大基數性質5不包括那些已知與選擇公理沖突的無選擇大基數（choiceless large cardinal）。都與該內模型兼容。由此，內模型計劃終極問題就是尋找與超緊基數兼容的類似L內模型，又稱作終極L。武丁在終極L的構造甚至是否存在等問題尚未可知的情況下，試圖分析了V=終極L公理的可能候選及其推論（如廣義連續統假設），并刻畫了終極L猜想。6目前為止，在正式發表的文獻中，[18]包含了終極L 猜想最詳細的刻畫。中文介紹文獻可參考[23]。終極L猜想是一則明確的數學命題。它的得證意味著內模型計劃的完成以及一系列獨立的數學問題因為被大基數公理和V=終極L蘊含而得到證明。而終極L猜想的證否意味著一則反內模型定理，那將迫使人們不得不重新審視包括大基數公理在內對集合宇宙的理解。因此，終極L猜想是一則對于包括承認大基數公理等在內的一套集合實在論思想的測試問題。武丁在2014 年著名的郵件辯論中對弗里德曼（Sy Friedman）的超宇宙（hyperuniverse）計劃提出的挑戰便是給出類似終極L猜想這樣的測試問題（[5]）。

3 對結構主義有效性的質疑

本節中，筆者試圖論證數學結構主義不是有效的數學哲學。上一節中，筆者已經展示了一種數學哲學立場如何與實際數學工作產生互動，從而能夠被認可為有效的數學哲學。本節意在從幾個主要的方向來說明數學結構主義在這些方面都尚未與數學實踐形成上述意義上的互動。這是一項非常困難的任務。首先，這是一則全稱判斷，無法通過例證，或必須窮盡一類相關情況才能得出有限的結論。其次，筆者既非構造主義者，亦非許多構造主義者所推崇的，例如范疇論等數學研究領域的專家。筆者所知相對于該論證的要求明顯欠缺。因此，讀者應該將本節的內容視作對結構主義者發起的一個挑戰。筆者樂見更多關于數學結構主義如何切實影響數學研究實踐的有關討論。

3.1 結構主義是否影響了集合論的發展

正如引言中提到的，數學結構主義是作為集合論基礎主義的競爭立場而被提出的。且不論數學結構主義所描繪的極端的集合論基礎主義的支持者是否真實存在，以哥德爾為代表的數學柏拉圖主義，以及由柏拉圖主義衍生出來的諸多集合論哲學立場，甚至包括集合論形式主義之間的爭論的確推動了集合論的發展。以直覺主義為代表的構造主義，試圖限制經典數學使用的部分方法，同時發展出成套的構造主義數學系統，并產生了有趣的成果。數學結構主義對于集合論的發展是否存在類似的影響？

首先，結構主義批評集合論基礎主義者將數學對象定義為具體的集合。例如，自然數不應就被看作就是有窮馮·諾依曼序數。那么結構主義是否如直覺主義一樣，明確提出哪些數學研究或集合論的研究方法是不合法的，或者對邏輯公理或數學公理提出他們的見解？筆者認為，數學結構主義不僅未給出這樣的限制，甚至從未企圖給出這樣的限制。多數結構主義者與直覺主義者不同，是持反修正主義立場的。毋寧說，結構主義對數學結構的強調基于結構主義者對數學實踐的觀察。的確，在數學實踐中，同構關系或許是除等同關系外最強的且最重要的等價關系。數學工作者也的確不怎么關心同構關系下的非不變量（invariant）。貝納賽拉夫正是觀察到了這點，提出策梅洛序數就數論學家所關注的不變量而言與馮·諾依曼序數沒什么不同。可以說，這是一個數學哲學家所能做出的盡可能安全的，甚至顯得平凡的關于數學的非數學論述。從當代結構主義主要代表人物夏皮羅關于數學哲學角色的分類和自白中（[16]，第21-35 頁），我們也可以看出，現代數學結構主義與幾乎同期興起的分析哲學的自然主義思潮相呼應，將數學哲學的主要工作定位為對數學工作的解釋和描述。

也因此，結構主義者似乎放棄了對集合論研究中產生的實際困惑的回應。與其他數學工作不同，集合論研究無疑更多地牽涉哲學問題。就結構主義所關心的問題而言，集合論研究的對象，按照一般的理解，是集合論宇宙(V,∈)。但與數論的標準模型(N,≤,+,·)不同，我們關于集合論宇宙的知識非常有限。現代集合論通過司寇倫殼（Skolem hull）、超積、內模型和力迫法等工具，構造出各種各樣ZF 或ZFC 的模型。其中，有些模型是可數的，有些構造是保持一階性質的，更多的構造則會改變一階性質。這里似乎有大量與結構相關的問題，但結構主義者要么回避了這些問題，要么沒有給出相比其他集合論哲學更精細的分析。例如，作為一種結構主義的普特南的如果那么主義（if-then-ism）。它將一則數學命題，如“2+3=5”解釋為：對任意結構M，如果M 是皮亞諾公理的模型，那么

7參見[15]。

按照一階邏輯完全性與可靠性定理提供的字面解釋，這等價于PA?2+3=5。如果那么主義由此退化為樸素的形式主義。這種立場對于上述來源于集合論實踐的困惑能夠提供的見解也就不會比集合論的形式主義更多。

那么，結構主義是否會基于其哲學立場提出或推動一些數學研究規劃，或提出相應的測試問題以激勵某些方面的數學研究呢？蒯因（W.V.Quine）在1937 年提出了被稱作新基礎（New Foundations，簡記為NF）的公理集合論以更好地刻畫羅素的類型論。（[14]）雖然NF 沒能成為集合論研究的主流，但至今仍然有零星的相關研究，其中主要的目標是它與主流公理系統的一致性強度關系。8一些相對晚近的NF 研究可以參考https://math.boisestate.edu/～holmes/holmes/nf.html。我們是否能期望結構主義至少能提供類似的研究課題？一些結構主義者的確試圖更嚴格地刻畫它們的理論，這似乎為引出真實的數學問題提供了契機。其中較有影響的是夏皮羅的結構理論（theory of structure，參見[16]，第93-95 頁）。

夏皮羅理解的結構并非數理邏輯中定義的特定形式語言的某個特定的解釋。夏皮羅將數理邏輯中定義的結構（包括一個具體的集合作為論域和論域上的關系與函數）稱作系統（system），而夏皮羅的結構是對那些互相同構的系統的抽象。讀者或許可以將結構理解為，例如馮·諾依曼序數和策梅洛序數背后共同的東西，抑或從外延上來看是所有同構于(N,≤,+,·)的（一階語言的）結構組成的類。9按照夏皮羅對結構的描述，這個比喻并不準確。夏皮羅的結構上有諸多位置（places），這些位置也可以被看作是對象。由此，一個作為諸系統的抽象的結構本身也可以被看作是一個系統，并且還與例示（exemplify）這個結構的諸系統同構。這一細節在下面子類公理的表述中顯得尤為關鍵。為了進一步闡明關于結構這個概念，夏皮羅試圖利用公理化的方式來定義結構。這與人們用集合論公理來隱定義集合這個概念是類似的想法。夏皮羅的結構理論包含下面幾組公理。

如果以形式化公理系統的標準來要求夏皮羅的結構理論，會有許多令人疑惑的地方。例如，替換公理中的跨結構的函數f的所指令人生疑。按結構主義的立場，函數只能是某個結構上的函數。因而，看似跨結構的函數f實際上是某個結構上的函數。那么下述命題（在諸如子類公理等其他公理存在的情況下）與替換公理等價：給定結構S，如果每個S中的位置x也是某個結構Sx中的位置，那么存在一個結構T，T中位置與諸Sx中位置的“不交并等勢”。這樣做的好處是避免提及看似跨結構的函數f。還如，反映公理模式中提到的（一階或二階的）結構理論語言到底是如何定義的，其中結構和結構中的位置是以不同階的變元，或二種類（two-sorted）變元抑或同一種變元通過它們出現在某個類似∈的二元謂詞符號后的不同位置，如∈xy，來區分的？更多的批評指向協調性公理。其中的“協調性”顯然缺乏進一步的界定。夏皮羅本人也意識到，為了保證得到所需的標準模型（范疇性），協調性公理必須能夠涵蓋二階公式；而由于二階邏輯不滿足完全性，基于有窮證明概念的一致性不足以推出模型的存在性，因而這里的協調性必須比一致性更強；而直接采用可滿足性則會使協調性公理成為同語反復。對此，夏皮羅的回答是：“我把‘協調性’當作一個初始的、直觀概念，不被歸約為任何形式的東西，所以我不冒險給出一個嚴格的定義”（[16]，第135 頁）。夏皮羅關于“協調性”的這一立場，例示了他對整個結構理論的期待。即結構理論無法被看作是任何形式化的關于結構世界的刻畫。如此，我們也就無法期待結構主義者提出類似“結構理論是否一致”這樣的形式化了的測試問題。

夏皮羅把自己關于“協調性”的立場比作丘奇論題（Church’s thesis）。這仍然是不恰當的，因為丘奇論題有著明確的對于能行可計算性概念的候選的形式化刻畫——圖靈可計算性。或許更恰當的比照對象是布勞威爾關于直覺主義數學的描述。布勞威爾也反對任何將直覺主義數學形式化的努力。盡管如此，海廷等人仍然嘗試將直覺主義數學形式化，并由此得到豐富的數學成果。那么，夏皮羅的結構理論是否有可能引導出類似的發展？首先，夏皮羅在關于結構理論的介紹中反復強調，結構理論是“二階策梅洛-弗蘭克爾集合論的重做（reworking）”。例如，夏皮羅宣稱，上述公理中到冪集結構公理為止的公理集的標準模型是Vω+ω，添加替換公理后的標準模型是Vκ（κ是一個不可達基數），再添加反映公理后標準模型中會出現基數為不可達基數的結構，等等。事實上，夏皮羅的結構理論幾乎無法獨立于背后預設的集合論。例如，冪集結構公理用到“每個s的子集”這樣的表述，而這個表達式的涵義依賴于對冪集P(s)的集合論理解。我們知道，在現代集合論中，對無窮集合s，冪集P(s)的涵義是不明確的。因此，冪集結構公理的具體涵義依賴于背后預設的集合論對冪集的解釋（例如，是否所有子集都是可構成的）。筆者認為，夏皮羅的結構理論甚至無法被視為ZF 集合論的重做，而是基于集合論，即在集合論語言中，對結構世界的一個刻畫。這與在集合論中刻畫自然數或實數概念是一樣的。因此，對結構理論的研究反過來促進集合論研究的機會至少不會多于數論或分析反過來促進集合論研究的機會。10顯然，夏皮羅本人沒有期待結構理論能否反過來啟發集合論的工作。結構理論中的反映公理與集合論中的反映原理功能相似，可能具有一定的大基數強度，但對其具體強度的分析依賴于對諸如結構理論語言更嚴格的刻畫。

3.2 結構主義對范疇論發展的影響？

范疇結構主義（categorical structuralism）是近二十年來興起的結構主義流派。奧德（S.Awodey）是其主要推動者。（[1]）正如我們已經看到的，無論貝納賽拉夫還是夏皮羅對結構主義與集合論基礎主義的區別或對結構概念的刻畫幾乎是基于集合論語言的。范疇結構主義則認為范疇論（category theory）才是最適合結構主義者的數學框架。其主要理由是，在結構主義者看來，數學關心的只是結構性質（structural property）。

由于所有范疇性質都是結構性質，因而給定范疇中的給定對象，即作為那個范疇中的對象，可能具有的性質就只能是結構的了。（[1]）

因此，范疇論是比集合論或其他基礎理論更適合的框架。這顯然是一種限制性的論述，與直覺主義者試圖限制數學的合法范圍類似。

范疇論始于艾倫伯格（S.Eilenberg）和麥克蘭恩（S.Mac Lane）上世紀四十年代的工作（[4]）。他們刻畫的范疇論框架是為了推廣他們在[3]中有關代數拓撲的工作。范疇論背后的想法是，數學研究的對象是結構，而理解結構就要理解保持結構的各種態射（morphism）。塔斯基語義所刻畫的結構（給定語言的解釋）的缺點在于，討論相互有態射的這些結構往往是同一個或一類語言的結構。而范疇論的一個優勢是便于談論不同語言、甚至不同類型的結構，如代數結構與拓撲結構之間的聯系。

早在上世紀六十年代勞威爾（B.Lawvere）就試圖推動范疇論取代集合論作為數學的基礎。由于范疇論公理總是針對某個范疇的，作為數學基礎候選的范疇理論有若干個，其中比較有代表性的是對集合范疇的公理化——ETCS（the Elementary Theory of the Category of Sets，[12]）。顯然，范疇論理論都能被解釋到集合論中。對試圖推動范疇論作為數學基礎的數學家來說，首先需要證明的是相應的范疇論在解釋力上不弱于ZFC 等集合論公理系統，這對多數范疇論候選理論來說都是可以做到的。而認為范疇論作為數學基礎優于集合論的主要論據是，例如ETCS 不用關心集合的內部結構（internal structure），如實數集中具體有哪些元素，而可以專注于，諸如實數集與有理數集之間的關系。

或許未來有可能啟發一些有關研究。

應該說，無論是來自哲學的數學結構主義還是來自數學的范疇論關于結構主義優于集合論基礎主義或范疇論由于集合論的論點基本是一致的。但歷史上，兩者的確是各自獨立發生的（[13]）。范疇論誕生于現代數學結構主義興起之前，試圖用范疇論取代集合論作為數學基礎的想法幾乎與數學結構主義同時出現。可以說，范疇論學家對于諸如ETCS 等替代理論的研究源于其試圖推廣范疇論以取代集合論作為數學基礎的動機，而這一動機在事實上和原則上都獨立于數學結構主義。或許可以說，就對集合論基礎主義的批評而言一些數學結構主義者和一些范疇論學家形成了合謀，數學結構主義為范疇論的宣傳和推廣提供了支持。但筆者并沒有發現結構主義實際推動范疇論本身發展的具體例證。

此外，或許恰恰是那些在范疇論鼓吹者看來的冗余信息（如集合內部結構）使得集合論可以被用來澄清、比較各種數學哲學立場。而范疇論能否提供這樣一個話語系統，不僅僅適合結構主義，還能用來討論不同的數學哲學立場？如果答案是否定的，便可部分解釋為什么結構主義的哲學討論難以在范疇論中啟發更多的新問題，從而促進后者的發展。

3.3 結構主義的細分立場是否產生數學后果

即使在支持集合論作為數學基礎的集合論學家內部，也存在哲學立場的顯著分歧。諸如，集合論的實在論者、集合論的形式主義者和近年來興起的多宇宙觀立場。甚至實在論者內部的爭論亦十分激烈。集合實在論者往往繼承了哥德爾關于為集合論尋找新公理的想法，但他們關于集合論宇宙的理解非常不同，這直接表現為他們力推的新公理的候選各不相同。例如，弗里德曼考慮到一階語言的限制，希望考察由所有ZFC 可數傳遞模型構成的超宇宙，并且依據極大化原則等有待嚴格化的標準從中挑選更令人喜歡的模型，以此來決定V的一階真。武丁則強調著眼于V的全局性質，為此他不惜放棄了早些時候基于多宇宙真理觀的Ω-邏輯計劃（后者被證明具有局部性），并啟動了尋找大基數的終極內模型的計劃。這些基于集合論哲學上的考量推動了包括大基數與內模型、力迫公理以及內模型假設（Inner Model Hypothesis）的研究，可以說構成了當代集合論發展動力的主要來源。結構主義內部同樣存在諸多分歧，這些分歧之間的碰撞是否也能促進相關的數學研究？

首先，結構主義內部有可消去（eliminative）結構主義與不可消去（non-eliminative）結構主義之分。不可消去結構主義者，如貝納賽拉夫和夏皮羅把結構或抽象結構視作獨立的存在，它們是數學研究的對象。而可消去結構主義認為結構只是一種說話方式，在對數學命題意義的解釋中是可消去的。例如，前文提到的如果那么主義。顯然，不可消去結構主義者更接近于實在論，而可消去結構主義更接近唯名論。

按照實在論-唯名論的維度，我們可以簡單地分類結構主義。首先是結構主義者構想的集合論基礎主義，這種立場認為自然數這樣的數學對象存在，它們是特定的集合，而數學命題就是關于這些數學對象，也即特定的集合的謂述。其次是不可消去結構主義，他們認為存在抽象的數學結構，抽象結構中有位置，抽象結構被具體的系統例示，抽象結構的位置被系統中的對象填充，而數學命題應該被理解為關于這些抽象結構的謂述。特別地，夏皮羅認為抽象結構中的位置也能被看作是對象，因此抽象結構也是例示自己的具體的系統。在可消去結構主義中又根據反實在論的程度分成若干類型。比較溫和的不承認抽象結構的存在，但認可例示抽象結構的系統的存在，對他們來說數學命題是關于一個或一類系統的謂述。更極端的可消去結構主義也不認可具體系統的存在，尤其是自然界不存在的無窮系統。正如如果那么主義所展示的，極端的可消去結構主義幾乎退化為樸素的形式主義。在前兩種可消去形式主義之間較有影響的還有赫爾曼的模態結構主義。

模態結構主義將算術命題φ解釋為：存在自然數系統S是邏輯可能的；同時，邏輯必然地，在任何自然數系統S上，φ成立。模態結構主義的這個解釋是為了避免不承認抽象結構存在但承認具體系統存在的溫和的可消去結構主義的困難：如果不存在某個數學結構的例示系統（例如物理世界中不存在自然數結構的例示系統），那么關于這個系統的任何謂述都空洞地成立。顯然，模態邏輯主義解釋的關鍵是其中模態詞“邏輯可能”與“邏輯必然”的涵義。顯然，模態結構主義者不會將“邏輯可能”解釋為ZFC 可證存在或其存在與ZFC 一致。類似夏皮羅在結構理論中對協調性概念的處理，模態結構主義者也將這些模態詞列為初始概念。赫爾曼在[10]和[11]中分別給出了對算術、分析和集合論的基于模態結構主義的形式化語義。通過該形式化語義間接解釋他對其中涉及的模態詞的理解。然而，類似夏皮羅的結構理論，赫爾曼的這些工作幾乎沒有在數學界產生任何影響。

近年來，在有關數學結構主義的發表中又出現進一步細分的不同立場。相對結構主義（relativist structuralism）試圖迎合數學家們的樸素想法：實用主義地選取例示結構的數學系統，由于這些系統彼此同構，這些選擇不會產生任何問題。概念結構主義（concept structuralism）強調對于現代公理化數學來說，重要的不是數學對象或數學結構，而是諸如“自然數系”這樣的概念。各種抽象主義的結構主義（abstractionist structuralism）或直接將結構等同于例示這些結構的系統組成的模同構的等價類，或是聲稱結構是通過抽象掉具體系統中對象的特殊屬性只保留結構屬性得到的東西。這些細分立場大多是基于前述立場通過哲學術語的細微調整得到的。筆者同樣未能發現上述細分立場之間的辯論能夠像集合論哲學諸立場之間的辯論那樣，頻繁引用相關數學結果，并且能夠促進有關數學問題的研究或提出具體的測試問題。

4 集合論多元論對結構主義的挑戰

在本節中，筆者試圖結合包括集合論多宇宙觀和潛在主義（potentialism）在內的集合論多元論（pluralism）的一些結果，向數學結構主義發起挑戰，試圖論證：結構主義要么已經被一些數學結果證明是錯的或至少是部分錯的，要么不接受對這些數學結果的解釋，因而進一步被證實是數學中性的。

對結構主義者來說，數學結構最重要的屬性是范疇性。無論對數學結構作怎樣的解釋，一個數學結構的各個例示或一個數學結構概念下的各個標準結構之間必須是同構的。如此，當我們談論一個數學結構，如“自然數系”時，才能有明確的所指。也正因為此，結構主義者對由一階語言表達力的局限而導致的非標準模型的存在十分警覺，往往運用如二階算術或二階集合論公理來定義有關結構。

哈姆肯斯（Joel D.Hamkins）在[8]中基于當前集合論研究呈現出的圖景提出了一種被稱作多宇宙觀的集合論哲學。11中文介紹可以參考[26]。其中特別挑戰了二階理論確保范疇性的通常認知。例如，皮亞諾關于二階算術公理12引入二階歸納原理：?X ?N(0 ∈X →?x ∈N(x ∈X →x+1 ∈X) →?x ∈N(x ∈X))。蘊含只有模同構唯一模型的論證依賴于關于自然數子集的理解。而基于不同的集合概念的各種集合論宇宙中通過二階算術公理定義的自然數系未必是互相同構的。

為進一步澄清他的多宇宙觀，哈姆肯斯提出了所謂復宇宙公理（Mulitverse axioms）。其中的良基幻象公理（Well-Foundedness Mirage）表述為：對每個集合論宇宙V都存在另一個集合論宇宙V ′，在V ′看來V不是良基的。特別地，V中定義的在V看來唯一的自然數系（選擇馮·諾依曼序數抑或策梅洛序數作為例示，在這類結果中并不重要）在V ′看來可以是非標準的。或者更具體地，在V ′看來，V中定義的自然數系可能滿足?Con(PA)。哈姆肯斯和吉特曼（V.Gitman）在[6]中證明了這些復宇宙公理至少是一致的。因此，結構主義者要堅持認為二階算術公理能保證自然數結構的范疇性，就必須否定集合論多宇宙觀，也即要預設背后有唯一的集合概念或唯一的真正的集合論宇宙。這種被稱作單一宇宙觀的集合論哲學立場蘊含數學真本質上是關于這個唯一的集合論宇宙的正確描述。這顯然與結構主義的立場沖突。要避免這一尷尬的情況，結構主義者必須提出其他的理由以拒絕對上述數學結果看起來最自然的解釋。

對結構主義者來說，另一個看似平凡成立的重要預設是，結構決定了結構真。換句話說，兩個同構的結構應該滿足同樣的一階、二階語句。哈姆肯斯與筆者證明了[7]，在多宇宙觀的視角下，給定結構的真謂詞并不是絕對的。可以存在兩個集合論模型，它們中定義的自然數結構同構，然而，它們中定義的算術真卻不被這個同構保持。這一結果可以輕易地推廣。例如，兩個集合論宇宙定義了相同的自然數和實數，但卻有不同的投影真（projective truth）；或兩者具有某個相同的前段Vδ，但其中所定義的Vδ的真卻不相同。再一次，結構主義者要么必須在集合論單一宇宙觀和多宇宙觀之間做出選擇（無論怎樣選擇都意味著對結構主義至少部分立場的否定），要么給出其他的理由拒絕這些數學結果至少表面上的意義。

此外，一些結構主義細分立場對結構的特殊理解也面臨類似的挑戰。前文中提到的赫爾曼對集合論真給出了模態結構主義的解釋。其中，“邏輯可能”“邏輯必然”作為初始概念出現。然而從赫爾曼對“邏輯可能地存在一個集合論模型”或“邏輯必然地對所有集合論模型”的解釋中可以看出他似乎持有一種特別的集合潛在主義。赫爾曼對“邏輯可能地存在一個集合論模型”的解釋（[11]）大致可以被翻譯為，存在一個在標準的馮·諾依曼層譜中的現有集合論結構Vσ的尾節擴張Vδ。這是一種非常受限的特別的潛在主義圖景。哈姆肯斯和林內貝（?ystein Linnebo）在[9]中刻畫了多種集合論潛在主義。包括與赫爾曼的上述潛在主義立場幾乎一樣的（馮·諾依曼）秩潛在主義（rank potentialism），允許不相容的尾節擴張的頂擴張潛在主義（top-extensional potentialism），專注于可數傳遞模型（允許橫向、縱向擴張）的可數傳遞潛在主義（CTM potentialism）以及力迫潛在主義（forcing potentialism）等。針對不同的潛在主義圖景，他們分析了其中的模態有效式。例如，S4.3 中可證公式都是秩潛在主義解釋下的模態有效式，而秩潛在主義解釋下的模態有效式都是S5 中可證的；頂擴張潛在主義解釋下模態有效式則正好是S4 可證公式。這些結果提示，模態結構主義必須明確選擇一種潛在主義的圖景，因為這會切實地影響數學命題的語義。赫爾曼當時可能并沒有意識到這些區別。他無意中選擇了受限較多的秩潛在主義，或許是出于結構主義者對范疇性的執著。顯然，在諸多潛在主義的圖景中，秩潛在主義是最接近于集合論單一宇宙觀的。赫爾曼要么放棄這一選擇，要么必須為這個接近集合實在論的選擇辯護。當然，他仍然可以提出其他理由試圖消解上述數學結果的意義。

5 結論

夏皮羅將元數學哲學立場的兩個極端稱作哲學第一原則（philosophy-first）和哲學最后原則（philosophy-last-if-at-all）。對持有哲學第一原則立場的人來說，數學實踐應該接受數學哲學的指導；而對持有哲學最后原則立場的人來說，數學哲學必須觀察數學實踐的發展，并隨時準備根據新的數學發現改變或修正自己的立場。無論持有哪種立場，都不會期望一種既不會影響數學發展又不受數學發展影響的數學中性的數學哲學。夏皮羅和大多數結構主義者都將自己的元數學哲學立場定位在上述兩個極端之間。顯然，他們所期望的數學哲學也不是數學中性的，而是既能對數學實踐提出恰當的批評，又符合數學發展的實際情況。假設本文第3 節關于結構主義是數學中性的經驗觀察成立，結構主義的支持者可能會這樣解釋：這說明結構主義對數學和數學實踐本質的描述是正確的，并且當代數學的發展也符合結構主義所描繪的數學的理想形態。然而，源于數學實踐關于數學的困惑仍然存在，它們大多不僅僅是數學問題。關心數學基礎的人仍然在爭論連續統假設是否有一個客觀的解，若有，會有怎樣的解。數學結構主義者似乎對這些問題漠不關心。另一方面，一些來自集合論研究的結果已經直接指向結構主義者對于數學結構的樸素認知中所存在問題。如果結構主義者不能對這些直接挑戰做出有針對性的回應，那么會更難令人相信數學結構主義仍然是與現實中的數學研究有關的數學哲學立場。