反映原理作為大基數內在辯護的不可行性

寇亮

1 引言

大基數1一個序數κ 是基數當且僅當|κ|= κ。并非所有的序數都是基數，例如ω+1 不是基數，因為|ω+1|= ω。是集合論中的一個主要研究領域。所謂大基數公理2以可測基數為例，一個基數κ 是可測基數當且僅當存在κ 完全的非主超濾。加入可測基數的大基數公理即：存在可測基數。有時，大基數公理并不是斷言某個很大的基數存在，而指它的一致性強度很強，例如“0?存在”是一個大基數公理，但它斷言的是某種非平凡初等嵌入的存在。我們說大基數公理A 比B 強，若在ZFC+A 中能證明ZFC+B 一致。所有大基數公理+ZFC 都能證明ZFC 一致。本文既強調大基數的客觀存在性方面，也強調它作為備選公理的一致性一面，因此有時使用大基數一詞，有時使用大基數公理一詞。，是一些無法在ZFC 中證明的、但和序數的本質緊密相關的命題。

自然的問題是：既然ZFC 無法證明大基數的存在，那么為什么對它的研究會成為集合論的一個重要分支？為什么有集合論學家相信它的一致性，甚至相信它存在？3有些大基數公理斷言某個集合存在，而有些大基數公理僅僅是一個強度較強的斷言。一致性與存在性也并不總是相同，例如，我們可以相信PA 是一致的，但并不接受自然數作為客觀對象存在。

以上問題涉及如何對集合論公理進行辯護（justification）。哥德爾在其《什么是康托爾的連續統問題》（見[5]）一文中最早引入了兩種對集合論公理辯護的方式：內在辯護和外在辯護。盡管在討論集合論公理的文獻（可見[4,8,12,13]）中多有對內在辯護和外在辯護二詞的提及，但仍有諸多不清晰之處有待研究。例如：什么是內在辯護？目前有什么樣的內在辯護？內在辯護能為新公理做何種程度的辯護？

本文之中，筆者將新公理局限在大基數公理。針對上述三個問題，本文將對內在辯護的含義做出一些界定，并基于此考察典型的大基數公理內在辯護——反映原理。面對諸多形式的反映原理，筆者將逐一討論它們為大基數公理所作內在辯護的成功程度。

2 什么是內在辯護

哥德爾在其《什么是康托爾的連續統問題》一文中認為，如果公理具有數學上的成功性，那么其能夠獲得外在辯護。其中，“成功性”指：“其成果的豐富性，特別是‘能證實的’成果（的豐富性），即，不使用新公理能證的那些成果，卻在新公理的幫助下能異常簡潔且容易發現，還能把許多不同的證明壓縮成一個”（[5]，第521 頁）。

與外在辯護對應的是同時引入的內在辯護。哥德爾認為，有一些公理是內在必要的（intrinsically necessary），我們要引入的新公理可以“僅僅展開了……集合概念的內容”（[5]，第519 頁）就得到辯護。更具體一點，哥德爾指出，我們應該尋找那些“斷言‘……的集合’運算的更遠迭代存在的新公理”（[5]，第519 頁），集合就是“那些從整數（或其它良定義的對象）通過迭代應用‘……的集合’運算得到的東西”（[5]，第519 頁）。更具體地，哥德爾在未發表的《數學基礎的現狀》中指出，“假設集合的公理系統（ZF）達到了終點……是錯誤的。因為，在系統中所有出現的類可以被看作一個新的對象的域，且被用來作為一個新的起點，來創造出更高的類型（type）”（[6]，第47 頁）。

P.Koellner 在其《集合論基礎——尋找新公理》中總結道，“簡單地講，對新公理的基于集合迭代觀念的內在辯護指表明新公理只是展現了集合這個觀念的內涵。相反，對集合的外在辯護則著眼于別的特征，諸如豐富成果或與其它公理的結構性關系?！保╗10]，第10 頁）P.Maddy 在其《為公理辯護》中，將內在辯護總結為自明的、直觀的，是“集合這個概念”的一部分，而外在辯護是有效的（effective），豐富的（fruitful）和富有成果的（productive）（[13]，第47 頁）。

根據上文提到的哥德爾本人的陳述與Koellner、Maddy 對內在辯護的粗略概括，不難發現，所謂內在辯護，是基于集合這個概念本質的辯護。

然而，什么是集合這個概念的本質？我們如何知道集合這個概念的本質？

討論集合概念的本質有特別的困難，因為：實在論4這里指數學哲學中的實在論。簡單來說，實在論是一種認為抽象的數學對象客觀存在的哲學觀點。者容易接受有確定不變的集合概念5這不意味著實在論者的集合概念是不變的，而意味著集合概念是客觀的，但我們對它的認識是變化的。，因而我們可以討論它不變的那個本質；而對非實在論者而言，也許根本沒有所謂集合概念的本質，因為集合概念并不是一個固定不變的對象。但是，我們可以將討論的范圍限制在廣泛接受的范圍內，即只討論ZFC 所確定下來的、我們共同認可的集合。在這種前提下，基于對數學實踐的尊重，自然的追求集合概念本質的方法似乎不外乎兩種：

1.尋找ZFC 之中的一些定理，論證這些定理向我們傳達了我們共同信任的集合概念應該具有的性質。

2.從ZFC 本身中尋找我們共同認可的集合概念應該具有的性質。

以上的第二種方法已經被王浩（見[19]）、C.Parsons（見[14]）和G.Boolos（見[2]）用于討論集合這個概念的本質，他們從G.Cantor 對于集合概念的理解出發，分別尋找了一些我們共同認可的對集合概念本質的“直觀”，并對其進行了一定程度的嚴格刻畫，來說明ZFC 的公理已經滿足哥德爾所謂的“……的集合的迭代”。而Koellner 則基于哥德爾相關論述的分析刻畫了集合這個概念的特點（見[8]）。

其中值得提到的是王浩、Boolos、Koellner 和Sy D.Friedman 與N.Barton 對集合這個概念的解讀。王浩和P.Koellner 明確提到了“V的兩個特點”（[19]，第310 頁）和“集合這個概念的最關鍵特征”（[8]，第29 頁），他們的總結均基于對ZFC 中V的觀察；Boolos 對集合概念的討論則主要為了表明什么是“……的集合的迭代”（見[2]）；Barton 與Friedman 在2017 年的一篇文章（見[1]）中則考察了極大化原則。

2.1 集合概念的不可窮盡性與不可定義性

王浩在其《大集合》（Large Sets）一文中（[19]，第309-333 頁）認為，對一個集合而言，我們只需要保證集合中的元素作為對象存在，而無需保證我們對這些元素有所知。例如，若X是集合，那么P(X)也是集合，盡管我們并不完全清楚每一個X的子集的性質。因此，元素的存在是為了整體（集合）的存在；為了整體存在，這些對象必須存在。而V則沒有這個特點：它之中的元素——集合——的存在，反而使得V不能作為集合存在。因此，V是一種比單個的集合更為“高層次”的存在。因此，不能把這樣的一個對象作為完成了的對象。這符合Cantor面對V時的態度：“對于那種在由其元素的‘共同存在’組成的這個假設下會產生矛盾的復多而言，不可能接受它們是一個整體，一個‘已經完成之物’?！保╗3]，第443 頁）

由此可見，王浩與Cantor 同時認為，集合概念不應該是一個像具體集合那樣的、已經完成的對象；換言之，作為研究對象而言，集合這個概念是不可窮盡的。這與哥德爾對集合概念的認知是一致的。在哥德爾文集第三卷（[6]）中的《數學基礎的一些基本定理和它們的推論》（Some basics theorems on the foundations of mathematics and their implications）一文中指出（[6]，第305 頁）：

這些元數學結果都是圍繞著一個基本事實展開的，甚至可以說，它們僅僅是其不同側面，這個事實或可稱作數學的不可完全性（incompletability）或不可窮盡性（inexhaustibility）。

即，哥德爾對于數學的理解（亦即是哥德爾對于集合論或者說集合這個概念的理解）是不可完全性和不可窮盡性。

其次，王浩還提到，集合這個概念具有不可定義性（undefinable）。特別地，他指集合概念不能通過任何結構性的性質（structural property）定義（[19]，第318頁）。假設A是集合，則其子集也是集合。注意到，這一點與我們是否能用一個性質來刻畫這些A中的元素無關，即與可定義性無關。

性質P是結構性質，當：如果僅集合能有性質P，那么所有具有性質P的x組成的復多亦為集合。這個定義的等價于：或者不僅集合能有性質P，或者所有具有性質P的x組成的復多是集合。因此對任意結構性質P有兩種情況：

1.一些集合和一些非集合對象都有性質P（析取前件成立）；

2.有性質P的x組成了一個集合，因此有性質P的必須也是集合，故而性質P決定了一個集合（析取后件成立）。

由于V不是集合，因此不可能有結構性質P刻畫V：因為第一條表明P還對一些集合也成立；第二條表明P只能刻畫集合。因此王浩聲稱，V是不可使用結構性質定義的。因此能刻畫V都不是結構性質，而且我們要非常清楚地意識到這個性質不是結構性質。目前已知的刻畫V的非結構性質都幾乎不給我們提供信息：例如“……是集合”這個性質不是結構性質，又例如x=x也可以刻畫V。在這個意義上，王浩認為集合概念是（使用結構性質）不可定義的。

2.2 集合概念與序數的本質

Boolos（見[2]）和P.Keollner（見[8]）則分別從另外的角度刻畫了集合概念的本質。

Boolos 對集合概念的討論則主要為了表明什么是“……的集合的迭代”，并且基于Cantor 和哥德爾的集合概念論證ZFC 的公理都滿足由“……的集合的迭代”推理而來。他刻畫了一種階段理論，它的語言包括變元符號x,y,z···是所有的集合和r,s,t是所有的階段（[2]，第220-224 頁）。所謂階段，是如下的直觀：假設一開始沒有任何對象，在第零階段則將這個空無一物收集起來，即空集；第一階段則將前面所有階段形成的所有對象收集起來，即空集和空集的集合；以此類推。語言中還包括兩個關系符號E,F，分別為“在……之前”和“在……形成”。Boolos 引入了幾條公理，包括斷言ω階段存在的公理：存在一個階段，不是最早的階段，也不緊接任何階段之后。這個階段理論能推出所有的ZFC 公理，且避免了無窮下降鏈、避免了斷言V是集合。

這一理論是對哥德爾陳述的“……的集合的迭代”的一種精確化。正如Koellner 在其《集合論基礎——尋找新公理》中分析的那樣，哥德爾的這種方法事實上是從空集出發，順著有窮類型向上，事實上會得到V0,V1,...,Vn,...，而Vω的構造則完全是將已有的有窮類型作為起點，創造更高的類型Vω，即取前面所有集合的并集。這樣的過程無窮無盡進行。這樣的方法，實際上將集合概念的無限性轉移到了序數的無限性上。

Koellner 在其博士論文中明確指出了集合這個概念的關鍵特征，即不可定義性。他首先比較了兩種哲學立場，一種是潛在主義者（potentialist），一種是實現主義者（actualist）。前者認為V不是形成了一個確定的（determinated）復多，后者認為V是一個完成了的、確定的復多（[8]，第48 頁）。他基于對集合觀念辯護的實用性6事實上，Koellner 發現不將V 看作完全實現的對象時，反映原理能對大基數做出更強的辯護。而這種方法論自然主義的做法與前面王浩的分析不謀而合。，首先假定V是一個并未完成的對象。因此，與自然數集相比，V滿足某種閉包規則。如果無法“自下而上”來刻畫V，那么可能其與自然數集類似，是某種閉包。比如，自然數集是對后繼運算封閉的最小集合，任意自然數，其后繼也是自然數。容易觀察到，任意集合的冪集也是集合。盡管V滿足在冪集運算下封閉這一閉包規則，但我們發現沒有任何閉包規則可以刻畫V：因為那樣會生成一個新的集合。因此，V拒絕被任何確定的閉包規則所刻畫。因此，V是不可定義的。

與王浩的不可定義性相比，Koellner 的不可定義性偏重于強調V不可被“由上而下”，即不可通過對序數進行不斷地限制進行定義，而王浩的不可定義性則偏重于強調V不可被描述地定義。

2.3 極大化原則

另一種基于哥德爾“……的集合的迭代”的觀察是極大化原則。例如，Barton與Friedman 在2017 年的一篇文章（見[1]）中指出，基于集合的迭代：

集合論語句的真值由宇宙的“寬度”和“高度”決定7“高度”指什么樣的序數存在，使得其能成為Vα 的下標α，“寬度”指的是Vα 的哪些子集在Vα+1 之中。見[1]。，因此，集合概念的一個特征是極大性。從不同的哲學觀點出發，對極大性的理解也各不相同。例如，有的人會認為集合宇宙應當包含非可構成的集合以滿足極大性，因此根據極大性；有些人會認為序數應該在某個運算下封閉以達到極大性（不難指出不可達基數即符合這種極大性）。盡管集合論學家對極大化原則有不同側面的理解，但他們對這一策略整體上持正面態度。王浩也曾評論：“我們相信所有序數的類是非?！L’的，并且每一個無窮集合的子集是非?！昂瘛钡?。因此，任意達到這個效果的公理都滿足了我們直觀。”（[19]，第315 頁）

2.4 集合概念的本質

基于上述的分析，我們可以將模糊的內在辯護這一概念進行具體化。內在辯護是根據集合概念的本質進行的辯護，而集合概念的本質包含以下幾個方面：

1.可以從ZFC 的定理出發，刻畫集合概念的特質并以此對公理進行辯護；

2.集合概念是非完成的、不可窮盡的；

3.集合這個概念要滿足極大化原則；

4.集合概念是不可定義的，包括不可通過限制進行定義和通過描述進行定義；

5.集合這個概念的本質主要體現在序數的本質上。

由此，我們可以依據上述特性，論證反映原理可以是大基數公理的一種內在辯護。

3 反映原理及其限度

反映原理是基于ZFC 中的反映定理提出的若干條假想公理。反映定理說，對任意有窮的公式集而言，存在一個整個宇宙的“初等子模型”。即，使用有窮多語句描述的集合宇宙的性質，都能在集合宇宙的一部分中找到一個對應，這個更小的宇宙足以反映集合的宇宙所擁有的那些性質。

定理1(反映定理).給定任意公式φ1,...,φn，（[11]，第136 頁）

反映原理被普遍接受為一種有力的內在辯護方式。因為，反映定理暗示我們，也許整個集合宇宙V的任意性質都會反映到其一個片段Vα之中。這樣，ON的性質也會反映到Vα中。特別地，ON的無限性特征也會被分別反映到不同的Vα之中。正如我們在哥德爾方法一節中所講，哥德爾的方法實際上是將數學的無限性轉化到序數類ON的無限性上，因此，不同的反映原理實際上表達了我們對集合這個概念能認識到何種不同的程度。而對不同反映原理的辯護能到什么程度，我們對ON無限性的刻畫就能到什么程度，對大基數的辯護亦相應能到不同程度。

我們期待的反映原理是如下的形式：

即，任意的集合宇宙V中的性質φ，都會在V的一個片段Vα中成立。

可以將RP1 具體化為RP2 中的多種形式。我們能在ZFC 中證明的反映定理只是RP1 的一階形式，即我們限定φ是一個一階公式，有：

我們將φ為更高階的公式時的反映原理分別稱為RP2.1，RP2.2，……這樣形式的反映原理能被廣為接受，是因為反映定理是ZFC 的一個定理，并且，基于迭代方法，我們知道了集合宇宙的無限性體現在序數類的無限性上，集合宇宙的每個性質體現為某個序數κ的性質，即Vκ的性質。

Reinhardt 在他的文章中（見[15-17]），基于一種“合理候選人”理論，提出了加入二階參數的反映原理：(Vα0,X)?(Vα1,j(X))8我們這里同樣使用?符號表示二階形式的初等嵌入。將語言擴張到含二階對象，則除一般初等嵌入的定義外，帶二階參數的初等嵌入還要求保持二階對象。在下一節還將會有說明。。這種形式的反映原理是一種不同層間的反射，能證明存在可擴張基數。

P.Welch 則于其2012 年的文章中（見[20]）提出了一種片段與V之間的、全局的（Global）的反映原理。令V下所有類為C。Welch 的反映原理斷言，(V,∈,C)會被反映到(Vκ,∈,Vκ+1)之中。準確地講：

存在一個非平凡的初等嵌入j和一個序數κ滿足crt(j)=κ，使得：

上面我粗略介紹了反映原理的幾種形式，下面我將詳細介紹幾種反映原理的強度和面臨的困難。

3.1 RP2 的極限

Koellner 在他的博士論文之中考察了RP2 的二階形式和高階形式能達到的極限。二階形式的反映原理允許類作為參數和量詞限制的對象：

定義1.令Lα,β是有≤α階量詞和≤β階參數的集合論語言。我們用x,y,z...表示一階對象，用X(α),Y(β),Z(β)表示β階對象，用ON表示全體序數的類。（[8]，第30 頁）

首先我們考慮二階對象的相對化。類似一階對象的相對化，我們令二階對象A(2)對Vα的相對化A(2)α=A(2)∩Vα，即Vα看A(2)時會省略那些不在其世界中的部分。對公式相對化到Vα，則將二階量詞約束的對象限制在Vα-1，即這些對象屬于Vα。

二階形式的RP2 能為較小的二階大基數做辯護。事實上這些二階形式的大基數無非在重復我們對于集合宇宙不可定義的直觀。L2,2中，ON本身是不可達的，且ON下有任意大的不可達基數：因為，（在V中）ON是不可達基數的一個極限，根據二階反映原理存在某一層Vα(2)中ON也是不可達基數的一個極限，且下面除ON外還有真類β(2)多個不可達基數。類似地，ON也是馬洛的：因為令C是任意ON中的club9本文用club 指代閉無界集（closed unbounded set）。，可知（在V中）C在不可達的ON中無界，因此在某一層Vα(2)中，C ∩α(2)在不可達的ON ∩α(2)中無界，且是一個club。由于C是ON中的club，因此C中小于ON的極限點都在C中，因此不可達的ON ∩α(2)也在C中，因此C與這些ON下的不可達基數全體總是相交，故在ON下的不可達基數構成了平穩集。類似地，還可以證明ON是弱緊致的、不可描述的10需要注意的一個細節是，Koellner 的證明中所使用的相關大基數的定義與通常定義不盡相同。例如，對一集公式Γ，他定義κ 是Γ-不可描述的當且僅當Vκ |=Γ-反映原理，這里的Γ 反映原理以Levy 層譜為標準，例如反映原理。具體可見[8]。?？傻玫饺缦率聦崳?/p>

定理2.假設ZF+L2,2-反映原理，則存在二階的不可達基數、馬洛基數、弱緊基數、不可描述基數。（[8]，第45 頁）

而含高階參數的高階形式反映原理則不適用于為大基數做辯護，因為它們蘊涵矛盾。以三階形式為例，它是不一致的。出現矛盾的地方則是三階對象的相對化。我們如何相對化三階對象？或者說，Vα將如何看這些三階對象？一個自然的考慮是三階對象包含的是二階對象，因此相對化三階對象只需相對化二階對象，再取這些二階對象的類。即Y(3)α={X(2)α|X(2)∈Y(3)}。這種相對化方法和一階、二階對象的相對化是一致的。

考慮三階類A(3)，它包含所有具有如下性質的二階類：包含有界序數的所有前段。如果將所有包含小于α序數的二階類記為[0...α)11它們對Vα 而言都是二階對象。，則A(3)={[0...α]|α ∈ON}。

此時會出現違背三階反映原理的結果：令Φ(X)為X的每一元素都有界。則顯然，Φ(A(3))每個元素有界，它們的高度都在ON之下，即Φ(A(3))成立。那么根據三階反映原理，存在某個β使得Φ(A(3))的任意元素在Vβ中有界。但，我們將A(3)相對化到Vβ，現在考慮那些在β之上的A(3)中的元素（因為Vβ中的元素秩都小于β），把它們全部切掉。我們會發現上部被切掉的部分在β中無界。因此Φ(A(3)β)在Vβ中不成立，矛盾。因此：

定理3.三階反映原理不一致。（[8]，第50 頁）

因此，RP2 無法很好地為大基數做辯護。

3.2 Reinhardt 的反映原理及其問題

W.Reinhardt 所使用的集合論以及他對集合概念的理解均來源于Ackermann（見[15]）。Ackermann 聲稱，對集合的良好定義不能包含“……的集合在V中”這樣的陳述，即集合x的定義不能使用形如y ∈V的表述。同時，他允許使用V并將其看作已經完成的對象，因此我們還可以談論或者想象{V}這樣的對象。這種觀念來源于Cantor，他使用VΩ這樣的記號，并聲稱我們可以想象VΩ之外的“似集合的對象”。

假設我們有V的多個候選解釋Vα0,Vα1,Vα2....，則根據Reinhardt 的結論，以前兩個解釋為例，對任意語句σ，都有：Vα0|=σ當且僅當Vα1|=σ。這意味著它們初等等價。對有參數的公式φ(x)，則有：

注意，這意味著Vα0?Vα1，并且這個初等嵌入j0是在α0之下是平凡的。這就是Reinhardt 的一階形式反映原理，它是一種固定片段之間的相互反映。

此時，我們再將語言中加入二階參數。先看一種情況：假設X ?Vα0是對Vα0而言的二階對象，則Reinhardt 要求，(Vα0,X)也應該反射到某一層，因此初等嵌入j也會重新解釋X，使得j(X)是Vα1之中的類，并且(Vα0,X)?(Vα1,j(X))。此時，則存在初等嵌入j使得：

注意到，在α0之下的那些序數β，顯然由于見證Vα0?Vα1的j0在α0下是平凡的，因此j(β)=β。反之，由于j(X)顯然是不同于X的一個解釋，必有j(α0)≠α0，故而crt(j)=α0。這意味著α0是1-可擴張基數。

更一般地，由于Reinhardt 允許VON,ON作為對象出現，那么對于VON的二階對象ON而言，(VON,ON)也會相應地有一個(Vj(ON),j(ON))使得crt(j)=ON。這意味著VON+1?Vj(ON)+1。對任意大于ON的λ亦如此。這意味著ON是可擴張的，因此根據反映原理，存在可擴張基數。繼而存在超緊基數。

但是Maddy 和Koellner 同時指出了Reinhardt 反映原理的不可靠之處。

第一個問題是，一系列的解釋Vα是沒有盡頭的：

圖1 :帶二階參數的Reinhardt 反映原理

Reinhardt 的一個重要前提是，這些V的解釋之間初等嵌入總是存在，這才使得我們能夠得到后面的非平凡初等嵌入。但Kunen 告訴我們12可見集合論教材[7]，第323 頁。，V到V之間不存在非平凡的初等嵌入，并且L到L之間存在非平凡初等嵌入需要0?這樣的大基數來保證。因此，很難保證假設總是存在非平凡的初等嵌入不會導致矛盾。

并且，由于這些Vα全部都是V的前段，Reinhardt 很難解釋為什么不選用最高的某一層作為V的最有力的解釋，而要將所有的Vα視為平行的對V的解釋。例如，比較Vω和Vn，顯然Vω有更強的閉包性質，因為它對自然數的后繼運算封閉。

即便忽略上述問題，仍然有其它問題。其一則是Maddy 和Koellner 都提及的追蹤問題（Tracking Problem）（見[9,12]）。以上文的Vα0和Vα1為例，我們不知道這個j是什么樣的初等嵌入，當問j(X)是一個什么樣對象的時候，則難以追蹤X在Vα1中的性質，只能非常模糊地講是某個對象j(X)。對可定義的子集X ?Vα0這一點容易辦到，可以通過定義X的參數和公式追蹤j(X)，但對于j(X)而言，很難知曉這是個什么樣的對象，因為這個初等嵌入j對我們而言是模糊的。而這個Vα的序列無窮進行，將有數量龐大的模糊的對象出現。這是不可接受的。

再次，即便允許V、ON這樣的對象是完成的對象，可以使用，但讓人難以理解的是“ON+1”、“VON之外”這樣的概念。畢竟，除了它們沒有良好的定義之外，我們還很難想象V之外的所謂“類似集合的對象”是什么樣。

最后，Reinhardt 的反映原理是固定層數的反映原理，甚至某種意義上講，他的反映原理就是可擴張基數本身的定義。如果他的反映原理可以被當作反映原理合理地使用，那為什么我們不可以直接使用可測基數、超緊基數的定義作為反映原理？因此這種“反映原理”對大基數的辯護顯然是不成立的。

3.3 Welch 的GRP 及其問題

盡管RP2 和它的修改版本、Reinhardt 帶有哲學背景的反映原理都不能很好地為大基數的存在性或者一致性做出辯護，但是，仍然有集合論學家和哲學家嘗試找出超出V=L的反映原理。RP2 看起來太弱：它試圖超出0?，卻無法達到ω-Erd?s 之上；而Reinhardt 的反映原理看起來太強：它能證明存在可擴張基數，但卻同時也無法完全避免出現V到V的非平凡初等嵌入。那么，是否可以尋找一種反映原理，證明存在Woodin 基數的真類？

前文中的反映原理嘗試了在語言中加入高階參數、允許高階量詞，也嘗試了在不同層數之間使用高階參數進行反射。而Welch 則引入了某些特定高階對象的類進行反射（見[20]）。V的“部分”既包括了一些集合，也包括了一些類，例如序數類ON。我們令所有V的“部分”為C。則GRP 斷言，任意(V,∈,C)的性質都會在某個(Vκ,∈,D)中已經成立。其中，D是Vκ的某些“部分”，即其中有一階對象：Vκ中的集合，也有二階對象：秩為κ的集合。因此，D ?Vκ+1。

定義2.定義GRP 如下：存在非平凡初等嵌入j滿足crt(j)=κ，使得：（[21]，第9 頁）

可知此反映原理的強度與D的寬度相關。若D極端“窄”，則j表達的東西極少。例如D=?時，則是前面討論過的RP2。如果D取到合適的寬度，則可以獲得足夠強的大基數。首先，它可以達到我們的最低目標。

定理4.假設P(κ)L ?D ?Vκ+1。若存在j使得crt(j)=κ滿足j:(Vκ,∈,D)→(V,∈,C)，那么0?存在。

證明.由于P(κ)L ?D ?Vκ+1，可知κL ∈D，且可知j(κ)=ON ∈V。我們定義κ上的L-濾（即U ?P(κ)∩L）如下：

容易驗證這是一個κ完全的非主超濾。令Ult(L,U)為L在U下生成的超冪模型。令j0見證L是Ult(L,U)初等子模型的初等嵌入。由莫斯托夫斯基坍塌和哥德爾凝聚引理，可知存在π見證Ult(L,U)與L同構，因此j′=j0?π是L到L的非平凡初等嵌入。因此0?存在。

我們引入Shelah 基數和Woodin 基數的幾種等價刻畫。

定義3.κ是Shelah 基數當且僅當對任意f:κ →κ，存在傳遞的M使得j:V →M滿足

1.crt(j)=κ；

2.Vj(f)(κ)?M。（[18]，第3390 頁）

Woodin 基數有如下的等價定義（[7]，第384 頁）：

1.κ是Woodin 基數；

2.對任意f:κ →κ，存在α ＜κ使得存在傳遞的M，j:V →M滿足：

(a)crt(j)=α；

(b)f[α]?α；

(c)Vj(f)(α)?M。

3.對任意f:κ →κ，存在α ＜κ使得：

(a)f[α]?α；

(b)存在擴張（extender）E ∈Vκ且jE(f)(α)=f(α)，Vf(α)?UltE。

可證明，任意的Shelah 基數都是Woodin 基數?，F在，考慮D=Vκ+1這種極端情況?？梢岳肈=Vκ+1時的GRP 證明存在Shelah 基數。

定理5.假設GRP且D=Vκ+1，那么κ是Shelah基數。（[21]，第10 頁）

因此可以有如下證明存在Woodin 基數的真類：

因此，我們有：

定理6.GRP可以證明V中存在Woodin基數的真類。（[21]，第10 頁）

GRP 看似是一種強大的反映原理，或者說，它似乎是前面各類反映原理的一個推廣。Welch 同樣引入了二階參數來為大基數做辯護，但他的二階參數并不是允許在語言中使用高階量詞和高階對象，他似乎明確地指出了C是哪些二階對象，即V的所有“子集”。那么，GRP 是本文語境討論下的可用于內在辯護的反映原理嗎？

首先需要考察GRP 是否是本文語境中討論的反映原理。我們先看哥德爾心中的反映原理是什么樣的：

“所有確立集合論公理的原則都應該能歸約到阿克曼的原則：絕對（無窮）是不可知（unknowable）的。這一原則的強度隨著我們獲得越來越強的集合論系統而增強。其他的原則都是（這一原則）派生的原則。因此，核心的原則是反映原則，它可能將隨者我們經驗的增加被更好地理解。同時，它還幫助我們分離出更多的具體原則，這些原則或者給我們更多信息，或者我們尚未從現在理解的反映原理中推理出來。”（[22]，第七章）

GRP 類似Reinhardt 所介紹的Ackermann 反映原理（見[15]）。這是一種“語法”的反映原理，即它是與具體的每條公式F(y,x1,...,xn)和具體的集合y,x1,...,xn相關。相反，GRP 的形式不是如此，甚至存在(Vκ,∈,Vκ+1)是(V,∈,C)的子結構，這件事是無法在一般的一階邏輯中表達的，因此在一般的意義下，它當然不是可以通過(V,∈,C)定義的。如果說一般的反映原理是試圖刻畫“我們的語言無法固定集合宇宙”，那么GRP 相比之下則是斷言存在一個D和j，以至于有一個刻畫(V,∈,C)的子結構。從這個意義上來看，顯然GRP 不是我們所認可的具有內在辯護合法性的反映原理。

其次，GRP 顯然總是依賴一個不可定義的j和D來進行論證。它不僅不是一階的，更是不可定義的對象。考慮如下命題，假設V=HOD，令X={A:A在V中不使用參數可定義}。那么我們有X是HOD 的初等子模型：假設對任意φ(x,和任意∈X，若HOD|=?xφ(x,，則存在一個集合a使得HOD|=φ(a,。由選擇公理，令a0是最小的見證這一點的a，可知a0可定義且HOD|=φ(a0,。由于X是HOD 的初等子模型，在V=HOD 下，V中的元素都應該是可定義的。V=HOD 是一個有諸多證據的命題。由此，使用不可定義的對象對V中大基數進行辯護的論證都不可靠。

最后，盡管GRP 體現了“集合概念的不可窮盡”特性，但蘊含集合概念不可窮盡特性的命題很多，這些命題并不都能看成是對大基數的內在辯護。例如，對可測基數，我們令“原則U”定義如下：存在可測基數的平穩類13S 是一個平穩集當且僅當其與任意閉無界集相交非空。。則可知14原則U 和下列結果來自筆者與H.Woodin 教授的討論。：

定理7(ZFC).下列等價：

1.原則U；

2.任意可定義的序數閉無界類C，存在κ ∈C是可測基數；

3.對任意n，存在無界多κ使得Vκ ?Σn V且κ是可測基數。

證明.我們證明2 與3 等價。

2 推3：對任意序數閉無界類，都可以取κ為可測基數，此時存在傳遞模型M使得M ?V且crt(j)=κ。易知，因此對任意Σn語句，有Vκ ?Σn M ?V。

3 推2：由于“存在閉無界類C”是Σn+1的，因此若κ滿足Vκ ?Σn V，則Vκ也滿足“存在閉無界類C”，因此在κ下有無界多C中的點。而由于C是一個閉無界類，故κ ∈C。

因此，若令定理7的第三條為RP*，那么對原則U 的斷言實際上等價于某種形式的反映原理RP*。并且，我們有一些ZFC 的定理支持我們接受RP*：

定理8.1.若κ是不可達的，那么Vκ ?Σ1V。

2.若κ是超緊基數，那么Vκ ?Σ2V。

3.若κ是可擴張基數，那么Vκ ?Σ3V。（[7]，第384-385 頁）

因此，按照Welch 的做法，我們完全可以認為RP*是一種反映原理。若假設RP*成立，則從ZFC+RP* 可得原則U，即可獲得可測基數的平穩類。并且，這種反映原理強度強于可測基數，其強度在o(κ)=1 和o(κ)=2 之間15o(κ)指κ 的Mitchell 秩。。對許多大基數公理，我們都能構造類似原則U 的命題。這些命題從表面上看刻畫了V的不可定義性，并且可以從一些定理得到形式上的支持；可以證明，這些命題能夠使我們獲得比可測基數更強的大基數。但是，這種反映原理并不給我們某些特定大基數存在的證據。因為這些反映原理事實上等價于斷言存在某些大基數的平穩類。換言之，對于斷言這些大基數存在，我們需要一個解釋（explanation），尤其是需要集合論內部的一個解釋。如果這個解釋實際上等價于斷言大基數的存在，那么顯然它不是對大基數存在的合法解釋。

在以上兩種意義上，筆者認為GRP 不能作為大基數的合理內在辯護。

4 總結

基于哥德爾所提出內在辯護的涵義，不難發現內在辯護就是基于集合概念本質的辯護。然而什么是集合概念的本質？在考察了王浩等人的工作后，筆者簡單總結了集合概念的幾個特點，即不可完全性、不可定義性、需要滿足極大化原則和與序數概念緊密相關。如果我們這樣界定集合概念的本質，那么反映原理的確是一種內在辯護。利用反映原理的幾個變種：RP2、Reinhardt 的反映原理和Welch的GRP，我們的確可以獲得不同強度的大基數，甚至可以獲得Woodin 基數的真類。但是正如前文所述，筆者認為這些反映原理或者強度不夠，或者存在哲學上的困難。因此目前我們無法使用反映原理對大基數進行內在辯護。

那么，這是否意味著對大基數的內在辯護是失敗的？筆者認為，反映原理對大基數公理辯護的失敗，很可能源自于我們對于“集合概念的本質”的界定是過于簡單的16例如，從我們對“集合概念的本質”的界定來看，甚至很難說明為什么反映原理的確比大基數公理本身更加“內在”。。不僅如此，筆者認為，盡管目前我們對集合概念在數學上有了一些理解，但對這些數學結果的利用是遠遠不夠的17我們在前文對“集合概念的本質”的界定幾乎沒有使用到任何當代集合論發展的成果，例如力迫。，這是我們對“集合概念的本質”缺乏認知的重要原因。因此，本文的結果并不意味著對大基數的內在辯護是不可能的，而僅僅意味著反映原理無法很好地為大基數公理進行內在辯護。同時，這也意味著對集合概念的本質的探索將是一個有廣闊前景的問題。