基于統計學的隴東地區溝谷分布及演化研究

袁 爽, 許 強, 趙寬耀, 李驊錦, 王 絢, 周 琪

(成都理工大學 地質災害防治與地質環境保護國家重點實驗室, 四川 成都 610059)

大規模的城鎮建設和農業發展帶來的溝道侵蝕和水土流失問題日益嚴重，黃土塬區已支離破碎。黃土高原地質環境本身異常脆弱，近年來一系列重大工程建設(如平山造城、治溝造地、固溝保塬等)其作用速度和強度遠超地質營力，對地質環境產生重大影響，并導致災變不斷發生。研究黃土塬區溝谷的分布和發育的規律可以幫助了解黃土溝谷的演化進程，從側面對黃土地貌的演化分割做出解釋，提高人們對黃土地貌演變全過程的認識。研究人類活動驅動下的黃土層內溝谷發育過程及提取溝谷發育量化參數，更是利于人們正確認識自身對黃土溝谷演化的影響，從而達到減緩水土流失和保證生產生活安全的目的。故本文通過對隴東地區溝谷分布和發育規律的統計定量化及可視化表達，得出溝谷間具體的影響程度和發育規律，為固溝保塬工程的實施提供指導。

統計學是通過搜索、整理、分析、描述數據等手段，以達到推斷所測對象的本質，甚至預測對象未來的一門綜合性科學。統計學用到了大量的數學及其他學科的專業知識，其應用范圍幾乎覆蓋了社會科學和自然科學的各個領域[1]，前人運用統計學方法已經對泥石流規模估計[2]、黃土滑坡滑動距離預測等[3-5]方面做了詳盡的研究。在黃土高原水系演化方面，學者們也從節理和構造應力場[6]、新構造運動[7]、構造抬升[8-9]和地貌演變等[10]方面做了詳盡的研究。在以往的黃土溝谷間發育規律的研究中，前人多從溝谷發育規律與構造的關系[11-12]和溝谷網絡發育的模式和速率等[13]方面入手，而隨著技術的成熟和發展，通過遙感手段了解土地利用類型對溝谷發育的影響已經成為學者們的一種基礎研究手法[14-15]。除此之外，國內外學者還探討了降雨[16-17]、道路和農業發展[18]、草地固沙[19]、田地與耕作等[20-33]因素對溝谷侵蝕速率的影響，尤其是耕作導致塬邊裂隙的產生，加速了溝谷的侵蝕演化[34-35]。研究黃土溝谷的分布與發育規律不能缺少對量化參數的研究，曲率[36-37]、溝壑密度[11]、侵蝕速率[38]都能更好的幫助人們了解溝谷發育的程度。前人雖然已經將統計學方法應用于多個學科的研究，已有學者利用機器學習和統計學方法已經能十分準確的預測泥石流的規模和黃土滑坡的滑動距離[2-5]，但很少有人通過統計學方法研究黃土溝谷的分布和發育規律；針對黃土層內溝谷發育的研究，前人從較小的流域尺度研究了田地、草地、道路等用地類型[18-33]和降雨[16-17]對溝谷發育的影響，但對于黃土層內溝谷在耕作條件影響下的演化模式仍缺乏認識；對于黃土溝谷量化參數的研究，前人在溝壑密度、山坡曲率、侵蝕速率等方面[11,36-38]已經研究得十分透徹，但對于較大規模溝谷間分布參數的研究仍不夠詳盡。

故本文基于野外工作、前人研究和遙感影像的解譯，研究構造對溝谷的發育影響關系；通過遙感影像解譯隴東地區溝谷的分級情況并將溝谷水系分級；再基于統計檢驗方法分析溝谷間發育的影響關系；最后，引用安全距離等概念參數量化溝谷發育的規律，旨在為防災減災作出貢獻，并為黃土溝谷發育、黃土地貌演化及土壤侵蝕研究提供參考依據。

1 研究區概況

研究區位于甘肅省東部慶陽市，習稱“隴東地區”。隴東地區地處東經106°20′—108°45′與北緯35°15′—37°10′之間。東接陜西省的宜君、黃陵、富縣、甘泉、志丹等縣；北鄰陜西省吳起、定邊及寧夏回族自治區的鹽池縣；西與寧夏的同心、固原縣接壤；南與該省的涇川縣及陜西省的長武、彬縣、旬邑縣相連。南北長207 km，東西跨208 km，總面積27 119 km2。地形北高南低，海拔在885～2 082 m之間，中南部為黃土高原溝壑區，北部為黃土丘陵溝壑區，東部為黃土丘陵區；山、川、塬兼有，溝、峁、梁相間，高原風貌雄渾獨特。董志塬面積約為910 km2，平均海拔1 421 m，平疇沃野，一望無垠，是世界上面積最大，土層最厚，保存最完整的黃土塬面，堪稱“天下黃土第一塬”。地處東南部的子午嶺，林木茂密，水草豐盛其3.13×105hm2次生林，為植被最好的水源涵養林，有“天然水庫”之美譽。境內有馬蓮河、蒲河、洪河、四郎河、葫蘆河5條河流，較大的支流有27條。年平均總流量為26.7 m3/s，總徑流量8.43×108m3。全市地下水靜儲量約4.34×109m3，動儲量3.71×107m3。全年降水量502.6～985.1 mm，全年平均氣溫8.8～10.9 ℃，全年全市日照時數2 108.4～2 521.5 h。

2 材料與方法

本文使用ArcGIS 10.3軟件基于2009年10月17日至2018年7月26日的3.88 m分辨率Google拼接遙感影像目視解譯隴東地區3條流域溝谷的分級情況并將溝谷水系按照所屬關系分為主溝、一級支溝、二級支溝和三級支溝。

然后，本文提出一種“正交偏差弧度值”的概念來研究溝谷間的正交關系，從影像上獲取的最直接的信息就是溝谷的走向，為了凸顯溝谷是存在影響關系的，本文對溝谷的走向做了以下的處理(見圖1)：先令主溝正交方向的左側為負，右側為正，將一級支溝的走向減去其主溝的正交方向得到正交偏差值θ，θ的范圍在±90°之間，然后對其除以2π，得到正交偏差弧度值ε。對二級支溝的處理同理。

(1)

式中：ε為正交偏差弧度值；θ為正交偏差值,θ的范圍在±90°之間；α為一級支溝(二級支溝)的走向；β為主溝(一級支溝)正交方向走向。

圖1 溝谷走向參數處理

對于非隨機分布的溝谷走向數據，檢驗其是否符合正態(常態)性是必要的，而對于大樣本的數據統計檢驗，K-S檢驗和A-D檢驗是常用的也是更好的選擇。故本文基于Matlab R2018 b軟件利用統計學K-S檢驗和A-D檢驗來驗證數據的連續性和正態性，而滿足正態分布的數據則通過“3σ原則”來得到正交偏差弧度值的具體概率分布。

Kolmogorov-Smirnov檢驗(K-S檢驗)是比較一個頻率分布F(x)與理論分布Fn(x)或者兩個觀測值分布的檢驗方法。其原假設H0:兩個數據分布一致或者數據符合理論分布。當實際觀測值Dn>Dn(n，α)則拒絕H0，否則則接受H0假設。對于一個樣本集的累計分布函數Fn(x)和一個假設的理論分布F(x)，Kolmogorov-Smirnov statistic定義為：

(2)

(3)

式中：I│-∞,x│為indicator function(指示函數):

(4)

Anderson-Darling檢驗(A-D檢驗)是將樣本數據的經驗累積分布函數與假設數據呈正態分布時期望的分布進行比較。如果實測差異足夠大，該檢驗將否定總體呈正態分布的原假設。A2和P-value表述數據正態分布程度，A2值越小，P-value越大，則代表實際的分配和理論分配的差異越小，數據越符合正態分布。

度量假設分布F(x)與經驗累積分布Fn(x)之間的距離:

(5)

是權函數：

w(x)={F(x)〔1-F(x)〕}-1

(6)

A-D檢驗:

{ln〔F(Xi)〕+ln〔1-F(Xn+1-i)〕}

(7)

正態分布(normal distribution)，也稱“常態分布”，又名高斯分布(Gaussian distribution)，是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變量X服從一個位置參數為μ，尺度參數為σ的概率分布，且其概率密度函數為：

(8)

則這個隨機變量就稱為正態隨機變量，正態隨機變量服從的分布就稱為正態分布，記作X～N(μ,σ2)。

最后，本文引用溝間距、縱降比等概念參數量化溝谷發育的規律，為地貌演化進程的重現和預測做出貢獻。

3 結果與分析

3.1 各級溝谷發育現狀及分布關系

以隴東地區董志塬東側的馬蓮河為例，主體河流已經切穿黃土層，下切至基巖層，尚且不能判定河流是在黃土堆積之前就形成的，還是在黃土堆積之后不斷下切形成的。但這種現象在隴東地區主要的溝谷水系普遍存在，主要水系的形成可能與構造運動有關。

姜琳等[6]研究發現鄂爾多斯盆地東南部中生代地層中發育有6組節理并且構成3期的正交節理系統(E-W與N-S，ENE-WSW與NNW-SSE，WNW-ESE與NNE-SSW)，這與隴東地區主要溝道的走向大致相同。而據白占國[40]研究，黃土溝谷系統空間格局與區域新構造應力場基本吻合，隴東地區新構造主壓應力方向為NE 47°～61°，則進一步指明隴東主要溝谷的形成與構造有關。隴東地區主要溝道共16條(見圖2)，其中近0°～90°走向的溝道有6條，近40°～310°走向的溝道有7條，近70°～340°走向的溝道有3條。

圖2 隴東地區主要溝道及研究流域

此外，作者在馬蓮河流域觀測到許多節理的走向與河流的走向近似正交(見圖3—4)。而從遙感影像上來看，主溝與支溝呈現近似正交的關系，節理的走向與支溝的走向大致相同(見圖2流域B及圖3)。這說明主溝與支溝的正交關系類似于正交節理，是受構造控制的。國內外學者也認為支溝的發育與主溝的橫斷面發育密切相關[11]，河谷是平行且間隔規律的構造線[12]。據此本文認為，構造對溝谷的發育起一定的控制作用。

注：左圖中地質調查點序號與右圖節理走向序號對應，N表示溝數。

注：節理位置見圖3地質調查點。a對應序號2；b對應序號5；c對應序號7；d對應序號10；e對應序號12。

3.2 溝谷對下一級溝谷的影響關系

本文首先在隴東地區選取主溝走向不同的3個流域(見圖2流域a，b，c)作為研究對象，其中第一個流域位于隴東地區東部，走向NEE-SWW，主溝分為較長的①溝和較短的②溝(見圖5a)；第2個流域是馬蓮河流域，位于隴東地區中部，走向近N-S(見圖5b)；第3個流域位于隴東地區西部，走向NWW-SEE(見圖5c)。其次，為了研究主溝是如何影響其一級支溝發育的，本文結合溝谷間的發育關系，將溝谷分為主溝、一級支溝和二級支溝。為了研究一級支溝是如何影響其二級支溝發育的，本文又選取馬蓮河流域作為研究對象，將兩個小流域(圖6中①流域和②流域)的溝谷分為主溝、一級支溝、二級支溝和三級支溝(見圖6)。

統計學是通過搜索、整理、分析、描述數據等手段，以達到推斷所測對象的本質，甚至預測對象未來的一門綜合性科學。對于溝谷間發育的研究，考慮到溝谷的走向并是一個大樣本的隨機分布，它是存在客觀規律的，而統計學檢驗可以通過對數據的整理分析得到這個客觀規律。本文對3個流域溝谷的正交偏差弧度值進行統計分析，得到了4組一級支溝對主溝的正交偏差弧度值數據和2組二級支溝對一級支溝的正交偏差弧度值數據。對于數據的處理方法，本文基于Matlab R2018 b軟件參照前人研究[2]先對6組數據進行K-S檢驗(Kolmogorov-Smirnov檢驗)來檢驗數據的連續性，然后滿足K-S檢驗的數據進行A-D檢驗(Anderson-Darling檢驗)來檢驗數據的正態性。

圖5 3個典型流域主溝與一級支溝的分布

圖6 二流域一級支溝與二級支溝的分布

K-S檢驗是比較頻率分布與理論分布的檢驗方法，對于一組數據先提出假設H，即假設該組數據連續，當H=0時，表示接受該假設，數據連續；當H=1時，表示拒絕該假設，數據不連續。檢驗結果顯示：6組數據的假設H結果均為0，6組數據均滿足連續性(見表1)。A-D檢驗是將樣本數據的經驗累積分布函數與假設數據呈正態分布時期望的分布進行比較，目的是檢驗數據的正態性。A2和P-value表述數據正態分布程度，A2值越小，P-value越大，則代表實際的分配和理論分配的差異越小，數據越符合正態分布，即當A2值較小，且P-value >0.05時，可認為其符合正態分布。

表1 3個典型流域K-S檢驗結果

本文選取了5種正態函數分布(普通函數、極值函數、對數函數、指數函數和韋布爾函數)去擬合數據的正態性，發現多組數據對normal函數的符合性較好，且都符合正態分布(見表2)。

結合K-S和A-D檢驗的結果，本文認為4組一級支溝對主溝的正交偏差弧度值數據和2組二級支溝對一級支溝的正交偏差弧度值數據均符合正態分布。

表2 3個典型流域A-D檢驗結果

3.3 各級溝谷演化分析

正態分布的形狀是一條鐘形曲線，中間高，兩邊低，關于x=mean(均值)對稱。正態分布有一個性質“3σ原則”，也就是在95%的置信率下，在距離均值1倍標準差(Std)的時候，其概率分布為68.3%；2倍標準差的時候概率分布為95.4%；3倍標準差的時候概率分布為99.7%。對于本文研究來說，相當于有68.3%的正交偏差弧度值落在了±1倍標準差的區間內，95.4%的值落在了±2倍標準差的區間內，99.7%的值落在了±3倍標準差的區間內(見表3)。

表3 正交偏差弧度值的正態性分布

在統計學中，80%的概率稱為統計學顯著。但是“3σ原則”所表現出的概率分布要么過小要么過大，不能很好的體現正交偏差弧度值的分布規律。所以，本文通過查表求得，當概率為80%時，為距離均值1.281倍標準差。

那么有理由相信，一級支溝的走向是落在其主溝正交方向±1.281倍標準差的區間內的。本文在6組正交偏差弧度值數據的支撐下認為：在忽略均值大小的情況下(6組數據均值都較小，均未超過8.2°)，3個流域的一級支溝分別是向其主溝正交方向±20.1°，±22.4°，±30.1°，±21.2°方向發育的；而二級支溝是向其一級支溝正交方向±34.2°和±19.5°方向發育的(見表4)。換一種說法來講，在80%的顯著概率下，主溝與一級支溝的夾角ω(ω范圍在±90°之間)不小于69.9°，67.6°，59.9°和68.8°；一級支溝與二級支溝的夾角ω不小于55.8°和70.5°。這充分說明了主溝與一級支溝、一級支溝與二級支溝在統計學上是存在發育上的聯系的，70°可視為溝谷發育夾角的極限值。

本文根據構造影響和溝谷統計檢驗以及溝谷正態分布性質綜合分析溝谷演化的始末。演化伊始，主溝在構造應力的影響下不斷擴張形成與現今大致相同的分布情況(見圖7a)，部分受構造控制的一級支溝開始沿與主溝近似垂直的方向擴張發育，這類一級支溝延申較長，此時水系網絡構建了雛形；而后，黃土堆積和侵蝕并行，大量一級支溝漸漸沿與主溝近似垂直的方向擴張發育，但延申較短(見圖7b)，與此同時原先受構造控制發育的一級支溝繼續侵蝕延申，并發育出大量樹杈狀的二級、三級支溝(見圖7c)；最后，隨著侵蝕不斷加劇，溝壑蔓延，最終形成了見圖7d所示的溝谷現狀。

表4 80%概率分布下的θ取值

圖7 溝谷演化過程示意圖

4 討論與結論

4.1 討 論

本文溝谷分級方法有別于Strahler和Shreve等人的經典河網分級方法，原因有二：首先本文著重于較大規模的溝谷間分布的研究，忽略較小規模的溝谷，而經典河網分級方法則是對所有溝谷進行命名分級，對于本文研究不能突出重點，徒增工作量；其次，Strahler和Shreve等人的經典河網分級方法是從新到老依次分級，而本文研究的是溝谷的演化，需要從老到新分級研究。故分級方法和命名有所不同。

關于黃土高原早期水系的形成時間，雷祥義等[7]認為早期的黃土高原水系由一系列內流水系和湖盆構成，而水系形成的主要動力受第四紀新構造運動及其古氣候環境變化的控制。李吉均等[8]潘保田等[9]指出，在1.67×106～1.45×106a間，黃土高原隆升至1 100 m，后續的隆起活動導致流水落差逐漸增大，支流增多，逐漸形成現代黃土高原水系。而從水系發展上來看，六盤山以東河谷階地一般為5級，黃土開始堆積的時間不早于1.23 Ma BP[7]，直到早中更新世末、晚中更新世初黃河一級支流和較大的二級支流形成了較完整的水系。然而，馬蓮河是涇河最大支流，并且長于涇河正源，漢以前曾作為涇河干流上游。涇河是黃河第一大支流渭河的第一大支流。也可認為馬蓮河曾是黃河的二級支流。結合前人研究及《中國14C年代學研究》中對第四紀地層年代的分析，本文認為黃土開始堆積的時間和馬蓮河的形成時間相差無幾。

在許多情況下，河谷是位于平行和規則間隔上的構造線[12]，說明溝谷的發育規律是有跡可循的。本文統計了3個流域一級支溝和二級支溝的溝間距和縱降比，研究發現：4條一級支溝的溝間距幾乎相同。在50%的概率范圍內，一級支溝的溝間距為0.6～1.0 km，二級支溝的溝間距為0.4～0.7 km，一級支溝的溝間距總體上大于二級支溝；而在80%的概率范圍內，一級支溝的溝間距為0.4～1.3 km，二級支溝的溝間距為0.3～1.0 km，二者相差無幾(見圖8)。本文認為，溝間距可以作為一種安全距離的指標，比如：當一條二級支溝侵入到人類活動范圍內時，其兩側1 km范圍內是不應耕種農田的。除了溝間距之外，坡度也被視為影響溝谷演化的重要因素[39]，但一條溝谷的坡度是不固定的，故本文通過溝谷總體的縱降比(比降)來研究“坡度”的影響：除一流域一級支溝b外，其他幾條一級支溝的縱降比大致相同。而事實上，一流域一級支溝b是一條很小的溝，統計樣本量較少，誤差率高，可以忽略(見圖9)。從總體上看，一級支溝的縱降比是小于二級支溝的。

本文期望以后的研究能通過對多類參數(溝間距、縱降比等)的模擬和數據的運算，可以得到某個塬區被溝谷蠶食的演化全過程，也可以預測該塬區被進一步蠶食甚至消失的時間。

4.2 結 論

本文通過遙感影像解譯隴東地區三條流域溝谷的分級情況并將溝谷水系按照所屬關系分為主溝、一級支溝、二級支溝和三級支溝；再基于統計檢驗方法分析主溝與一級支溝、一級支溝與二級支溝的正交偏差弧度值，得到了溝谷間發育存在近似正交影響關系；最后引用安全距離等概念參數量化溝谷發育的規律，重現和預測地貌演化的進程。

圖8 隴東地區3條典型溝谷溝間距箱線圖

圖9 隴東地區3條典型溝谷縱降比箱線圖

(1) 基于遙感解譯和前人研究發現，主溝與支溝呈現近似正交的關系，節理的走向與支溝的走向大致相同，構造對溝谷的發育起一定的控制作用。

(2) 基于統計檢驗發現，4組一級支溝對主溝的正交偏差弧度值數據和2組二級支溝對一級支溝的正交偏差弧度值數據均符合正態分布。

(3) 在80%的顯著概率下，主溝與一級支溝的夾角不小于69.9°，67.6°，59.9°和68.8°；一級支溝與二級支溝的夾角不小于55.8°和70.5°。主溝與一級支溝、一級支溝與二級支溝在統計學上是存在發育上的聯系的，70°可視為溝谷發育夾角的極限值。

(4) 在50%的概率范圍內，一級支溝的溝間距總體上大于二級支溝；在80%的概率范圍內，二者相差無幾。溝間距可以作為一種安全距離的指標；一級支溝的縱降比總體上小于二級支溝。